2025年中考数学二轮复习-专题16二次函数与特殊几何图形【课件】（共53张PPT）

(共53张PPT)
专题十六　二次函数与特殊几何图形
类型一 二次函数与特殊三角形
　　在解决抛物线与等腰三角形、直角三角形相结合的问题时，先通
过画图确定特殊点的位置→利用两点间距离公式（AB＝
）→建立等腰方程或勾股方程→确定点
坐标.
（1）如图①，在直线l上确定一点P，使得以A，B，P为顶点的
三角形是等腰三角形→分别以A，B为圆心，AB的长为半径作圆与直
线l交于点P＋作AB的垂直平分线与直线l交于点P→简记为“两圆一
垂线”.
（2）如图②，在直线l上确定一点P，使得以A，B，P为顶点的
三角形是直角三角形→分别过A，B作AB的垂线交直线l于点P＋作以
AB为直径的圆交直线l于点P→简记为“一圆两垂线”.
1. [2024·遂宁改编]如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与
x轴分别交于点A（－1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，－3），P，C两点关于抛物线的对称轴对称，Q为抛物线上一点.
（1）求二次函数的解析式；
解：（1）二次函数的解析式为y＝x2－2x－3.
（2）若△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形，求点Q的坐标.
解：（2）如图，由（1）易得对称轴为直线x＝1，
∴P（2，－3）.设Q（m，m2－2m－3）.
∵∠OPQ＝90°，∴OP2＋PQ2＝OQ2，
∴[（0－2）2＋（0＋3）2]＋[（2－m）2＋ ]＝
（0－m）2＋ ，
整理可得3m2－8m＋4＝0，解得m1＝ ，m2＝2（舍去），
∴点Q的坐标为（ ，－ ）.
2. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4交x轴于A（－3，0），B（4，0）两
点，与y轴交于点C，连接AC，BC. M为线段OB上的一个动点，过点
M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q.
（1）求抛物线的解析式.
解：（1）抛物线的解析式为y＝－ x2＋ x＋4.
（2）过点P作PN⊥BC，垂足为N. 设点M的坐标为（m，0），请用
含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值.最
大值是多少？
解：（2）易得点C的坐标为（0，4），由点B，C的坐标可得直线BC
的解析式为y＝－x＋4.
∵M（m，0），则P（m，－ m2＋ m＋4），Q（m，－m＋4），
∴PQ＝－ m2＋ m＋4＋m－4＝－ m2＋ m.
∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB＝45°，PM∥y轴，∴∠PQN＝
∠BQM＝45°，
∴PN＝PQ· sin 45°＝ （－ m2＋ m）＝－ （m－2）2＋ ，
∴当m＝2时，PN有最大值，最大值为 .
（3）点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为
顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存
在，请说明理由.
（3）∵点A（－3，0），C（0，4），∴AC＝5.设
点Q（m，－m＋4）.
①当AC＝CQ时，如图，过点Q作QE⊥y轴于点E，则CQ2＝EQ2＋
CE2，即m2＋[4－（－m＋4）]2＝52，
解得m＝ 或－ （舍去），∴Q（ ， ）.
②当AC＝AQ时，AQ＝AC＝5.在Rt△AMQ中，[m－（－3）]2＋（－
m＋4）2＝52，解得m＝1或0（舍去），∴Q（1，3）.
③当CQ＝AQ时，2m2＝[m－（－3）]2＋（－m＋4）2，解得m＝
（舍去）.
综上所述，点Q的坐标为（ ， ）或（1，3）.
3. 如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴
交于点C，其中B（1，0），C（0，3）.
（1）求二次函数的解析式；
解：（1）二次函数的解析式为y＝x2－4x＋3.
（2）Q是对称轴l上一点，且点Q纵坐标为m，当△QAC是锐角三角形
时，求m的取值范围.
解：（2）如图，过点C作CE⊥AC交对称轴于点E，过点A作AF⊥AC交对称轴于点F，
作以AC为直径的圆交对称轴于M，N两点，则△AEC，
△AMC，△ANC，△AFC是直角三角形.
∵△QAC是锐角三角形，∴点Q应在线段EM，NF上（端点除外）.
设直线x＝2上的动点坐标为（2，m）.∵A（3，0），C（0，3），∴AC2＝18.
①当∠ACE＝90°时，AC2＋CE2＝AE2，
∴18＋（m－3）2＋（2－0）2＝m2＋（2－3）2，解得m＝5，∴E
（2，5）.
②当∠CAF＝90°时，AC2＋AF2＝CF2，
∴18＋m2＋（2－3）2＝（m－3）2＋（2－0）2，解得m＝－1，∴F
（2，－1）.
③当动点（2，m）在圆上时，（m－3）2＋（2－0）2＋m2＋（2－3）2
＝18，即m2－3m－2＝0，
解得m＝ ，∴M（2， ），N（2， ）.
综上所述，当△QAC是锐角三角形时，m的取值范围为 ＜m＜5或
－1＜m＜ .
类型二 二次函数与特殊四边形
　　在解决抛物线与平行四边形、矩形、菱形、正方形相结合的问题
时，关键要结合点的平移规律描述点的坐标＋线段中点坐标公式＋特
殊平行四边形的几何特征→建立特殊点的坐标参量方程组→确定特殊
点坐标，同时，要注意分类讨论.
（1）如图①，“三定点（A，B，C）＋一动点（D）”→利用
点的平移规律描述动点D坐标.
（2）如图②，“两定点（A，B）＋两动点（M，N）”→利用
对角线的交点平分对角线→建立动点坐标参量方程组
（3）若遇到矩形、菱形、正方形时，在（2）的坐标参量方程组
中，再附加一个矩形（对角线相等）、菱形（一组邻边相等）、正方
形（一组邻边相等＋对角线相等）的特性建立坐标参量方程.
1. 如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A（－1，0），C（0，3）两
点，并交x轴于另一点B，M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点
D.
（1）求抛物线的解析式.
解：（1）抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.
（2）若P是抛物线上一动点，则在对称轴上是否存在点Q，使得以
D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所
有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（2）易得对称轴为直线x＝1，M（1，4），D（0，2）.设Q
（1，n），P（m，－m2＋2m＋3）.
如图①，当DM为对角线时， 解得
∴Q（1，3）.
如图②，当MQ为对角线时， 解得
∴Q（1，1）.
如图③，当MP为对角线时， 解得
∴Q（1，5）.
综上所述，存在满足题意的点Q，点Q的坐标为
（1，3）或（1，1）或（1，5）.
2. 如图，抛物线y＝ax2＋2x＋c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点
A，B（3，0），与y轴交于点C，连接AC.
（1）求抛物线的解析式.
解：（1）抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.
（2）已知E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使
以点B，C，E，F为顶点四边形为矩形？若存在，求出点F的坐标；
若不存在，请说明理由.
解：（2）由（1）易得A（－1，0），B（3，0），C（0，3）.设E
（1，n），F（s，t）.分以下两种情况讨论：
如图①，当BC为矩形的边时，由矩形的对角线交点为对角线的中点及
矩形的对角线相等，
得
解得
∴点F的坐标为（4，1）或（－2，1）.
如图②，当BC为矩形的对角线时，以BC为直径作圆可确定点E的位
置，由矩形的对角线交点为对角线的中点及矩形的对角线相等，
得 解得
∴点F的坐标为（2， ）或（2， ）.
综上所述，点F的坐标为（4，1）或（－2，1）或（2， ）或（2，
）.
3. 如图，抛物线y＝ax2－2x＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点
C，△AOC是等腰直角三角形，且面积为 .
（1）求抛物线和直线AC的解析式；
解：（1）抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3，直线AC的解析式为
y＝x＋3.
（2）若P是直线AC上的动点，Q是平面内一点，当以B，C，P，Q
为顶点的四边形是菱形时，求点Q的坐标.
解：（2）易得B（1，0），C（0，3）.设P（r，r＋3），
Q（m，n），
则BC2＝10，BP2＝（1－r）2＋ ＝2r2＋4r＋10，
CP2＝（0－r）2＋ ＝2r2.
如图①，当BC为边，且BC＝BP时，
解得 ∵当r＝0时，P
（0，3）与点C重合，舍去，∴Q（－3，4）.
如图②，当BC为边，且CB＝CP时，
解得 ∴Q（
＋1， ）或Q（－ ＋1，－ ）.
如图③，当BC为对角线，且PC＝PB时，
解得 ∴Q（ ， ）.
综上所述，当以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形时，点Q的坐标
为（－3，4）或（ ＋1， ）或（－ ＋1，－ ）或（ ， ）.
类型三 二次函数与圆
　　在解决抛物线与圆相结合的问题时，关键要利用抛物线上的动点
坐标描述与圆相关的线段→结合圆的相关性质建立动点坐标参量方程
→确定特殊点坐标.
1. 如图，抛物线y＝x2－2x－3的对称轴与x轴交于点M，☉M与y轴相
切，P是抛物线上一动点，作PQ与☉M相切于点Q，求PQ的最小值.
解：如图，连接PM，MQ.
由y＝x2－2x－3易得抛物线的对称轴为直线x＝1，∴M（1，0）.
∵☉M与y轴相切，∴☉M的半径为1.
设P（x，x2－2x－3），则PM2＝（x－1）2＋ ＝
（x－1）2＋ ，
令n＝（x－1）2，则PM2＝n＋（n－4）2＝ ＋ ，
∴当n＝ 时，PM2的最小值为 .
∵PQ与☉M相切于点Q，∴PQ2＝PM2－MQ2＝PM2－1，
∴PQ2的最小值为 －1＝ ，∴PQ的最小值为 ＝ .
2. 如图，抛物线y＝ax2＋ x＋c经过点A（－1，0）和点C（0，3），
与x轴的另一交点为点B. M是直线BC上一动点，过点M作MP∥y
轴，交抛物线于点P.
（1）求抛物线的解析式.
解：（1）抛物线的解析式为y＝－ x2＋ x＋3.
（2）在抛物线上是否存在一点Q，使得△QCO是等边三角形？若存
在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（2）不存在.理由如下：
∵OC＝3，∴以OC为边的等边三角形QCO的顶点Q在OC的垂直平分
线y＝ 上，
∴点Q的横坐标为 或 ，
∴点Q的坐标为（± ， ），当x＝± 时，y＝－ x2＋ x＋
3≠ ，
∴等边三角形QCO的顶点Q不在抛物线上，∴抛物线上不存在点Q，
使得△QCO是等边三角形.
（3）以M为圆心，MP为半径作☉M，当☉M与坐标轴相切时，求出
☉M的半径.
解：（3）令y＝0，即－ x2＋ x＋3＝0，解得x＝－1或x＝4，∴B
（4，0），易得直线BC的解析式为y＝－ x＋3.
设M（m，－ m＋3），0＜m＜4，则P（m，－ m2＋ m＋3），
∴PM＝ .
①当☉M与y轴相切时，有 ＝ ，即 m2－3m＝m或 m2
－3m＝－m，
解得m＝0（舍去）或m＝ 或m＝ ，∴☉M的半径为 或 .
②当☉M与x轴相切时，有 ＝ ，即 m2－3m＝
－ m＋3或 m2－3m＝ m－3，
解得m＝4（舍去）或m＝－1或m＝1，∴☉M的半径为 或 .
综上所述，当☉M与坐标轴相切时，☉M的半径为 或 或 或 .
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