8.6.1直线与直线垂直 课件(共16张PPT)

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普通高中教科书数学必修第二册
8.6.1直线与直线垂直
复习回顾
新知探究
平面内两条直线相交形成4个角，其中不 大于90°的角称为这两条直线所成的角（或夹 角），它刻画一条直线相对于另一条直线倾斜 的程度，如图.
O
问题1：在空间，如图, 正方体ABCD－A'B'C'D'中, 直线A'C'与直线AB是异面直线，那么直线A'C'相 对于直线AB的倾斜程度可以怎样来刻画呢
问题2：经过空间任意一点如何引已知直线的平行线？
由推论1知，经过直线a、及空间不在直线a上的点O，可确定一 个平面，不妨记为α. 在平面α内，经过点O作直线a′∥a，这样的直 线a′就是过直线a外一点O且平行于直线 a的直线．
问题3：直线a与b所成角的大小与点O 的位置有关吗？
异面直线
相交直线
平移
空间图形问题
平面图形问题
转化
异面直线所成的角
已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，
b′∥b，把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
两条异面直线垂直
特殊
如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂 直．直线a与直线b垂直，记作a⊥b ．
设θ为异面直线a与b所成的角，则0°<θ≤90°.
当两条直线a，b相互平行时，规定它们所成的角为0°. 所以空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°.
典例解析
直线分别与直线AA' 垂直.
例1 如图，已知正方体ABCD－A'B'C'D' .
（1）哪些棱所在的直线与直线AA' 垂直？
（2）求直线BA' 和CC' 所成的角的大小.
（3）求直线BA' 和AC 所成的角的大小.
解：（1）棱AB，BC，CD，DA，A'B'，B'C'，C'D' ，D'A' 所在的
两条直线垂直，它们一定相交吗？
垂直于同一直线的两条直线一定平行吗？
所以异面直线 BA'与CC'所成的角等于45°.
（2）因为ABCD－A'B'C'D' 是正方体，
所以BB'//CC' ，
因此∠A'BB'为异面直线BA' 与CC'所成的角.
又因为∠A'BB' =45°，
例1 如图，已知正方体ABCD－A'B'C'D' .
（2）求直线BA' 和CC' 所成的角的大小.
平移法
（3）如图，连接A'C'.
因为ABCD－A'B'C'D' 是正方体，
所 以 AA'∥CC' ， AA' = CC'.
所以四边形AA' C' C是平行四边形． 所 以 AC//A' C'.
于是∠BA' C'为异面直线BA'与AC所成的角.
连接BC' ，易知△A' BC'是等边三角形，所以∠BA' C' =60°.
从而异面直线 BA'与AC所成的角等于60°.
一作二证三求解
例2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1 的中心．求证AO1⊥BD.
分析：要证明AO1⊥BD，应先构造直线 AO1与BD所成的角，若能证明这个角是直 角，即得AO1⊥BD.
典例解析
例2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1 的中心．求证AO1⊥BD.
证明：如图，连接B1D1.
∵ ABCD－A1B1C1D1是正方体，
∴ BB1∥DD1，BB1 =DD1.
∴ 四边形BB1D1D是平行四边形．
∴ B1D1∥BD.
∴ 直线AO1与B1D1所成的角即为直线AO1与BD所成的角．
连接AB1，AD1，易证AB1＝AD1.
又 O1为底面A1B1C1D1的中心，
∴ O1为B1D1的中点，
∴ AO1⊥B1D1.
∴ AO1⊥BD.
转化思想
在求作异面直线所成的角时，点O常取在两条异 面直线中的一条上(如线段的端点,线段的中点等).
如图所示，在三棱锥 A BCD 中，AB＝CD，AB⊥CD， E，F 分别为 BC，AD 的中点，求直线 EF 与 AB 所成的 角的大小．
课堂练习
解：如图所示，取 BD 的中点 G，连接 EG，FG.
因为 E，F 分别为 BC，AD 的中点，AB＝CD，
所以 EG∥CD，GF∥AB，且 EG 1 D，GF 1 B.
＝2C ＝2A
所以∠GFE(或其补角)就是异面直线 EF 与 AB 所成的角，EG＝GF. 因为 AB⊥CD，所以 EG⊥GF.
所以∠EGF＝90°.
所以△EFG 为等腰直角三角形． 所以∠GFE＝45°，
即 EF 与 AB 所成的角为 45°.
课堂小结
定义
异面直线
所成的角
范围
异面垂直
线线垂直
相交垂直