9.1.2分层抽样 课件(共22张PPT)

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普通高中教科书数学必修第二册
9.1.2 分 层 抽 样
第 九 章 统 计
1.简单随机抽样的概念
2.最常用的简单随机抽样
（1）抽签法 （2）随机数法
3.用样本平均数估计总体平均数.
（1）总体平均数：
（2）样本平均数：
复习回顾
抽样调查最核心的问题是样本的代表性.简单随机抽样是使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中,但因为抽样的随机性，有可能会出现比较“极端”的样本.
能否利用总体中的一些额外信息对抽样方法进行改进呢
例如，在对树人中学高一年级学生身高的调查中,可能出现样本中50个个体大部分来自高个子或矮个子的情形,这种“极端”样本的平均数会大幅度地偏离总体平均数，从而使得估计出现较大的误差.
探究新知
问题3 在树人中学高一年级的712名学生中，男生有326名，女生有386名. 能否利用这个辅助信息改进简单随机抽样方法，减少“极端”样本的出现，从而提高对整个年级平均身高的估计效果呢？
我们知道，影响身高的因素有很多，性别是一个主要因素. 高中男生的身高普遍高于女生的身高，而相同性别的身高差异相对较小.
那我们就可以利用性别和身高的这种关系, 把高一年级学生分成男生和女生两个身高有明显差异的群体，对两个群体分别进行简单随机抽样, 然后汇总作为总体的一个样本. 由于在男生和女生两个群体中都抽取了相应的个体，这样就能有效地避免“极端”样本.
探究新知
思考 对男生、女生分别进行简单随机抽样，样本量在男生、女生中应分别分配？
显然，为了使样本的结构与总体的分布相近，人数多的群体应多抽一些，人数少的应少抽一些.
这样无论是男生还是女生，每个学生抽到的概率都相等. 当总样本量为50时，我们就可以计算出从男生、女生分别应抽取的人数为
因此，按男生、女生在全体学生中所占的比例进行分配是比较合理的方式. 即
探究新知
我们按照上述方法抽取了一个容量为50的样本，其观测数据(单位：cm)如下：
男生
173.0 174.0 166.0 172.0 170.0 165.0 165.0 168.0 164.0 173.0 172.0 173.0 175.0 168.0 170.0 172.0 176.0 175.0 168.0 173.0 167.0 170.0 175.0
女生
163.0 164.0 161.0 157.0 162.0 165.0 158.0 155.0 164.0 162.5 154.0 154.0 164.0 149.0 159.0 161.0 170.0 171.0 155.0 148.0 172.0 162.5 158.0 155.5 157.0 163.0 172.0
探究新知
通过计算，得出男生和女生身高的样本平均数分别为170.6，160.6. 根据男生、女生身高的样本平均数以及它们各自的人数，可以估计总体平均数为
所以树人中学高一年级学生的平均身高大约在165.2cm左右.
探究新知
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样（stratified random sampling），每一个子总体称为层. 在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.
分层随机抽样的概念
每一层抽取的样本数=
×总样本量
该层个体数
总体个体数
=抽样比例
×该层个体数
一.分层随机抽样
2
分层随机抽样的步骤
(1)分层：按某种特征将总体分成若干层;
(2)确定每层抽取个体的个数;
(3)各层分别按简单随机抽样方法抽取;
(4)综合每层抽样，组成样本.
例1、某高中共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用比例分配的分层随机抽样抽取容量为45的样本，那么高一、 高二、高三各年级抽取的人数分别为( )
A.15,5,25 B.15,15,15
C.10,5,30 D.15,10,20
D
一.分层随机抽样的步骤
2
例2．某林场有树苗30 000棵，其中松树苗4 000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为(　　)
A．30　　　　 B．25
C．20 D．15
C
例3．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康状况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是(　　)
A．简单随机抽样 B．抽签法
C．随机数表法 D．分层随机抽样
D
典例分析
二.分层随机抽样的平均数
１.在简单随机抽样中如何估计总体平均数？
２.那么在分层随机抽样中如何估计总体平均数呢？
是否也可以直接用样本平均数进行估计？
在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别m和n.
我们用X1, X2, …, XM表示第1层各个个体的变量值，用x1, x2, …, xm表示第1层被抽取样本的各个个体的变量值；用Y1, Y2, …, YN表示第2层各个个体的变量值,用y1, y2, …, yn表示第2层被抽取样本的各个个体的变量值，这样：
第1层的总体平均数和样本平均数分别为
第2层的总体平均数和样本平均数分别为
总体平均数和样本平均数分别为
二.分层随机抽样的平均数
2
由于可以用第1层的样本平均数 估计第1层的总体平均数 ,可以用第2层的样本平均数 估计第2层的总体平均数 ，因此我们可以用
估计总体平均数 .
在比例分配的分层随机抽样中，
可得
因此，在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数 估计总体平均数 .
二.分层随机抽样的平均数
1
2
3
4
5
例.某校高二年级化生史组合只有2个班，且每班50人，在一次数学测试中，从两个班抽取了20名学生的数学成绩进行分析，统计得在该次测试中，两班中各抽取的20名学生的平均成绩分别为110分和106分，则该组合学生的平均成绩约为_______分.
108
所以估计该组合学生的平均分约为108分.
典例分析
练习.随机抽样中，总体共分为2层，第1层的样本量为20，样本平均数为3，第2层的样本量为30，样本平均数为8，则该样本的平均数为_ 6 ____.
简单运用
问题4 小明想通过多次抽样考察一下分层随机抽样的估计效果.他用比例分配的分层随机抽样方法，从高一年级的学生中抽取了10个样本量为50的样本，计算出样本平均数如下表所示，小明有了一个重要发现 . 你是否也有所发现
利用表格与散点图，你发现了什么？
探究新知
根据表格，画出散点图。
（1）分层随机抽样的样本平均数围绕总体平均数波动，与简单随机抽样的结果比较，分层抽样并没有明显优于简单随机抽样.
（2）分层随机抽样的样本平均数波动幅度更均匀，简单随机抽样中出现了一个(第2个)偏离总体平均数的幅度比较大的样本平均数，即出现了比较“极端”的样本，而分层随机抽样没有出现.
探究新知
实际上，在个体之间差异较大的情形下, 只要选取的分层变量合适，使得各层间差异明显、层内差异不大, 分层随机抽样的效果一般会好于简单随机抽样，也好于很多其他抽样方法. 分层随机抽样的组织实施也比简单随机抽样方便, 而且除了能得到总体的估计外，还能得到每层的估计.
选择抽样方法的规律：
(1)当总体的个体数和样本量都较小时，可采用抽签法.
(2)当总体的个体数较大，样本量较小时，可采用随机数法.
(3)当总体按一个或多个变量可划分为若干个层时，采用分层随机抽样.
课堂小结
证明：
课堂练习
解：这种说法有道理. 因为一个好的抽样方法，一般随着样本量的增加，抽样调查结果会越来越接近于普查的结果. 因此，只要根据误差控制范围的要求取相应的样本量进行调查，就可以节省人力、物力和财力.
2. 有人说:“如果抽样方法设计得好，用样本进行视力调查与对24300名学生进行视力普查的结果差不多，而且对于想要掌握学生视力状况的教育部门来说，节省了人力、物力和财力，抽样调查更可取.”你认为这种说法有道理吗 为什么
课堂练习
3. 高二年级有男生490人，女生510人，张华按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到男生、女生的平均身高分别为170.2 cm和160. 8 cm.
(1) 如果张华在各层中按比例分配样本，总样本量为100，那么在男生、女生中分别抽取了多少名 在这种情况下，请估计高二年级全体学生的平均身高.
(2) 如果张华从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70，那么在这种情况下，如何估计高二年级全体学生的平均身高更合理
课堂练习
教材188页5、7、9
课后作业