福建省厦门市第一中学2024-2025学年高一下学期3月适应性训练数学试题(含详解)

福建省厦门市第一中学2024 2025学年高一下学期3月适应性训练数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．向量（ ）
A． B． C． D．
2．已知是虚数单位，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．在中，点是上靠近的三等分点，是上靠近的三等分点，则（ ）
A． B． C． D．
4．在中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，若三角形有两个解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量，，若，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．（
6．在一堂数学实践探究课中，同学们用镜面反射法测量学校钟楼的高度.如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为，之后将小镜子前移，重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为，已知人的眼睛距离地面的高度为，则钟楼的高度大约是（ ）

A． B． C． D．
7．已知的三个内角A、B、C满足，当的值最大时，的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
8．若的三个内角均小于120°，点满足，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点．根据以上性质，已知是平面内的任意一个向量，向量，满足，且，，则的最小值是（ ）
A．9 B． C．6 D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A．复数的共轭复数的模为1 B．复数在复平面内对应的点在第一象限
C．复数是方程的解 D．
10．已知为所在平面内的一点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则为等腰三角形
C．若，则为的垂心
D．若，则点的轨迹经过的重心
11．东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”．如图1，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．我们通过类比得到图2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形．对于图2．下列结论错误的是（ ）

A．这三个全等的钝角三角形可能是等腰三角形
B．若，则
C．若，则
D．若是的中点，则的面积是面积的5倍
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知，则的面积为 ．
13．在中，角的对边分别为，，，且的周长为，则角为 .
14．如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知向量，，．
(1)若向量，能构成一组基底，求实数m的范围；
(2)若，且，求向量与的夹角大小．
16．如图，观测站在目标的南偏西方向，经过处有一条南偏东走向的公路，在处观测到与相距31km的处有一人正沿此公路向处行走，走20km到达处，此时测得，相距21km.
(1)求；
(2)求，之间的距离.
17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，.
(1)求的外接圆半径；
(2)若为锐角三角形，求周长的取值范围.
18．折纸是一项玩法多样的活动.通过折叠纸张，可以创造出各种各样的形状和模型，如动物、花卉、船只等.折纸不仅是一种艺术形式，还蕴含了丰富的数学知识.在纸片中，，，所对的边分别为，，，的面积为，.
(1)证明：；
(2)若，求的值；
(3)在（2）的条件下，若，是的中点，现需要对纸片做一次折叠，使点与点重合，求折叠后纸片重叠部分的面积.
19．在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数.其中，双曲余弦函数：，双曲正弦函数：，双曲正切函数：.在中，，，所对的边分别为，，.前两问中，已知，，，其中.
(1)若，证明：，并判断的形状；
(2)若，作平分交于点，求的长；
(3)若，，，点为的内心，求点的横坐标.
参考答案
1．【答案】A
【详解】向量，
故选A.
2．【答案】A
【详解】当“”时，“”成立，故“”是“”的充分条件；
当“”时，“”或“”，故“”是“”的不必要条件；
综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
故选A.
3．【答案】C
【详解】由点是上靠近的三等分点，是上靠近的三等分点，
得
.
故选C.
4．【答案】C
【详解】依题意，，即，由，得，
所以的取值范围是.
故选C．
5．【答案】C
【详解】由，，，得，
解得．所以，，
所以，，
所以在上的投影向量为
故选C．
6．【答案】D
【分析】设钟楼的高度为，根据相似得到，代入数据计算得到答案.
【详解】如下图，设钟楼的高度为，
由，可得：，
由，可得：，
故，
故，
故选D.

7．【答案】C
【详解】因为，
由正弦定理得，所以，
则，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以当的值最大时，.
故选C.
8．【答案】C
【详解】设，，，，，，，
则，，，
所以，
因为为等边三角形，由题意，等边的费马点为的中心，
此时取最小值，
所以，
故选：C．
9．【答案】AD
【详解】，，故A正确；
复数在复平面上的对应点为，则该点在第四象限，故B错误；
由，则，解得，故C错误；
，故D正确.
故选AD.
10．【答案】BCD
【详解】A.如图，过点作，，
则由可知， ，
则，则，
得，故A错误；
B. 该向量位于的角平分线上，因，即角平分线与BC垂直，则为等腰三角形，故B正确；
C. ，则，则，同理可得，故为的垂心，故C正确；
D. 过点作，中点为，则，
则，即共线，
则点的轨迹经过的重心，故D正确.
故选BCD.
11．【答案】ACD
【分析】对于A选项：由，即可判断A；对于B选项：在中，利用正弦定理求得，进而可判断B；对于C选项：在中，设，利用余弦定理即可求得，进而可判断C；对于D选项：利用三角形的面积公式，可得，进而可判断D．
【详解】对于A，根据题意，题图2是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，
故，所以这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形，故A错误；
对于B，在中，，所以，
而，
所以，
由正弦定理得，解得，
又因为，所以，故B正确；
对于C，不妨设，
在中，由余弦定理得，
即，
解得，
所以，故C错误；
对于D，若是的中点，
，
所以，故D错误．
故选ACD．
【关键点拨】关键是利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式进行分析，由此即可顺利得解.
12．【答案】5
【详解】因为，所以，
故，由向量的模长公式得，，
且设的面积为，则.
13．【答案】
【详解】由题意知，，
由正弦定理得，，即，所以，
由余弦定理得，，
又，所以.
14．【答案】.
【详解】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD.
，
得即故.
15．【答案】(1)且
(2)
【详解】（1）若向量，能构成一组基底，
则向量，不共线，
则，解得且；
（2）因为，所以，
即，解得，
所以，，
则，
又因为，所以，
即向量与的夹角为.
16．【答案】(1)
(2)15km
【详解】（1）由题意知：，，
在中，由余弦定理
因为,
所以
（2），,，
由题意知：
在中，由正弦定理得：，所以
由余弦定理得：，
即，
解得：或（舍）
，之间的距离为
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由可得，
故，由于，故
由余弦定理得
由于，所以，
，根据解得，
所以的外接圆半径为.
（2）由（1）知，，，，
由正弦定理有，
所以
，
因为为锐角三角形，所以，解得 ，
所以，则，
所以，则.
所以周长的取值范围为.
18．【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）证明：由正弦定理可得，则，
又因为，所以；
（2）将代入，
得
即，所以，
即，解得：，
又因为，所以；
（3）由余弦定理得，则，
即，所以解得
则；
设折痕为线段，其中在上，在上，设，，
则，，，
在中，由余弦定理得，解得
在中，由余弦定理得，解得
重叠部分的面积为的面积，.
因为
所以.
所以
19．【答案】(1)证明见解析，等腰三角形
(2)
(3)1
【详解】（1）得证，
因为，则，
因为，则，
化简可得，则，故，，，
所以三角形为等腰三角形.
（2）余弦定理得，
又因，
代入解得，.
法1：由题可知，等面积法求：，
代入整理得.
在中余弦定理得，解得.
法2：内角平分线，中，，
中，，，
所以.
（3）设，，分别长为，，.
法1：，
注意到，
故，
类似地，.故.
如图，记内切圆在，，上的切点分别为，，，由于同一点向同一圆引出的两切线长度相等，故，，
而，
又，故，而，故
又由切线的性质知，故点的横坐标为1
法2：设坐标为，，，，
由三角形内心性质，知，即
，
解得③.
而，.
因为，
故，
类似地，
将，，取值代入③，得
故点的横坐标为1.
补证（*）式
如图，在中，为内心，下证.
证明：延长交于，
由角平分线性质，故，，
，
故，④
又，
故，⑤
⑤代入④，得.