广东省东莞市众美中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试卷(含详解)

众美中学2024-2025学年高一数学下学期月考
说明：本试卷共4页，19题，满分150分，考试用时120分.
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号 试室号 座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
一单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在年小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.下列说法中正确的是（ ）
A.单位向量都相等
B.若满足且与同向，则
C.对于任意向量，必有
D.平行向量不一定是共线向量
2.已知的边上有一点，且满足，则（ ）
A. B.
C. D.
3.若，则“”是复数“”为纯虚数的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知菱形的边长为，点是上靠近的三等分点，则（ ）
A. B. C.1 D.2
5.已知向量，若间的夹角为，则（ ）
A. B. C. D.
6.中，角所对的边分别为，若，则（ ）
A. B. C. D.
7.如图，圆为的外接圆，为边的中点，则（ ）
A.10 B.13 C.18 D.26
8.已知.若点是所在平面内一点，且，则的最大值为（ ）
A.13 B. C. D.
二 多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.全对得6分，少选得部分分，多选 错选不得分）
9.已知为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（ ）
A.
B.复数的虚部为
C.若复数为纯虚数，则
D.
10.已知的内角A，B，C所对的边分别为，下列说法正确的是（ ）
A.若，则是钝角三角形
B.若，则
C.若，则是锐角三角形
D.若，则只有一解
11.在中，若，角的平分线交于，且，则下列说法正确的是（ ）
A.若，则的面积是
B.若，则的外接圆半径是
C.若，则
D.的最小值是
三 填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.在中，若，则__________.
13.已知是虚数单位，若复数对应的点在虚轴上，则的值是__________.
14.已知点，且，若点在第一 三象限的角平分线上，则的值为__________.
四 解答题（本大题共5小题，第15题13分，第16-17题每小题15分，第18-19题每小题17分，共77分解答应写出必要的文字说明 正证明过程或演算步骤，）
15.已知向量.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
16.已知复数是方程的根（是虚数单位，）
（1）求：
（2）设复数（是的共轭复数），且复数所对应的点在第三象限，求实数的取值范围.
17.的内角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若的面积为，求的值.
18.为了迎接园博会，决定改造一个公园，准备在道路的一侧建一个四边形花圃种薰衣草（如图）.已知道路长为，四边形的另外两个顶点设计在以为直径的半圆上.记.
（1）为了观赏效果，需要保证，若薰衣草的种植面积不能少于，则应设计在什么范围内？
（2）若，求当为何值时，四边形的周长最大，并求出此最大值.
19.如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是轴与轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为
（1）在斜坐标系中的坐标，已知，求
（2）在斜坐标系中的坐标，已知求的最大值.
众美中学2024-2025学年高一数学下学期月考卷
一 单选题
1.【解析】A，方向相同，模相等的向量为相等向量，单位向量的方向不一定相同，故A错误；
B，向量模能比较大小，向量不能比较大小，故B错误；
C，根据向量加法的几何意义可得，故C正确；
D，平行向量也是共线向量，故D错误.
故选：C
2.【解析】由，得，故选：C.
3.【解析】若，则为纯虚数；若为纯虚数，，则有，解得.所以，当时，“”是复数“”为纯虚数的充要条件.故选：C
4.【解析】如图，作，因为是上靠近的三等分点，所以也都是三等分点，所以，，故选A.
5.【解析】解：的夹角为，.故选A.
6.【解析】，则，
即，
因为，所以，所以，
故选：C.
7.【解析】Q是边的中点，可得，是的外接圆的圆心，，同理可得，
.故选：B
8.【解析】以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，设则，可得，所以，即，故所以，当且仅当即时等号成立.故选：B.
二 多选题
9.【解析】因为，A正确；复数的虚部为，B不正确；
若，则不正确；设，所以，，D正确.故选：AD.
10.【解析】对于A，因为的三个角满足，所以由正弦定理化简得，设为最大边，由余弦定理得，所以为钝角，所以是钝角三角形，故A正确；对于B，由及正弦定理，得，解得，故B正确；对于C，因为，所以，所以，所以A为锐角，但无法确定和是否为锐角，故C错误；
对于D，由正弦定理得，解得，因为，所以，所以只有一解，故D正确.
故选：ABD.
11.【解析】因为，角的平分线交于，所以，所以，由正弦定理得，
所以，
所以，故A正确；
，设的外接圆半径是，由正弦定理，，所以，故B错误；因为，由正弦定理，因为和互补，所以，所以，故C正确；
设，则，因为，
所以
若，则，若，则
，令，
，当且仅当，即或时，则
或，故或（舍去），
综上：当为等边三角形时，的最小值是，故D正确.故选：ACD.
三 填空题
12.【解析】：因为，所以.由正弦定理，知，所以.
13.【详解】因为对应点在虚轴上，所以
14.【解析】，则点坐标为，
由于点在第一 三象限的角平分线上，则，解得.故答案为：
四 解答题
15.【解析】（1）由得
（2）由已知，又，解得
16.【解析】（1）由题知
即
（2）
17.【解析】（1）由正弦定理及.
得，即，即，
因为，所以，所以，所以.
（2）由题意得的面积，所以①.
又，且，所以②.
由①②得.
18.【解析】（1）解：，，
由题意，，
因为，所以，解得；
（2）由可知，，
故，，
从而四边形周长最大值是，当且仅当，即时取到.
19.【详解】（1）由题意可知：，
.
（2）由题意可知，
，
由（1）可得：，
令，
又因为，且，所以，
，又因为函数在单调递增，
即：时，函数取到最大值3，即，则有，
当时，的最大值为.