广东省广州市天河中学2024-2025学年高一下学期基础考试数学试卷(含详解)

广州市天河中学高中部2024学年第二学期基础考试
高一数学试卷
本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号和座位号填写在答题卡上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图所示）.，则这块菜地的面积为（ ）.
A． B． C． D．3
3．对于非零向量，下列命题中正确的是（ ）．
A．
B．在上的投影向量为（ 是与方向相同的单位向量）
C．
D．
4．在中，是角分别所对的边，，则一定是（ ）
A．底边和腰不相等的等腰三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
5．已知向量，不共线，且向量，，若与方向相反，则实数的值为（ ）
A．-1 B． C．1或 D．-1或
6．如图，在平面四边形ABCD中，
若点E为边CD上的动点，则的最小值为
A． B． C． D．
7．设锐角的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（ ）
A．(1，9] B．(3，9]
C．(5，9] D．(7，9]
8．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若，则（ ）
B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知复数满足，则（ ）
A．可以是
B．若为纯虚数，则的虚部是2
C．
D．
10．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则是锐角三角形
C．若，则为等腰三角形
D．若，则符合条件的有两个
11．在中，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．在方向上的投影向量为 D．若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知是虚数单位，复数，则 .
13．在中，，，若该三角形为钝角三角形，且b为最大边，则边的取值范围是 .
14．若的内角的对边分别为，，，点在边上，且的面积为，则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．分已知向量，，其中，，求：
(1)和的值；(2)与的夹角的余弦值．
16．（本小题15分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A；(2)若，的面积为，求b，c的值．
17．（本小题15分）已知甲船正在大海上航行，当它位于处时获悉，在其正东方向相距20海里的处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即以10海里/小时的速度匀速前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西，相距10海里处的乙船，乙船当即决定匀速前往救援，并且与甲船同时到达．（供参考使用：）.
（1）试问乙船航行速度的大小；
（2）试问乙船航行的方向(试用方位角表示，如北偏东…度).
18．（本小题17分）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，
(1)求B；（2）若B的角平分线交AC于点D，且BD=1，求△ABC的面积.
(3)若的面积为，求c．
19．（本小题17分）如图，在四边形中，已知的面积为，记的面积为.
（1）求的大小；
（2）若△ABC外接圆半径为1，求△ABC的周长最大值.
（3）若，设，，问是否存在常数，使得成立，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
《2025年3月28日段考卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C D B A D A ACD AD
题号 11
答案 ABC
1．B【详解】由可得，故复数z对应的点为，位于第二象限.故选：B
2．C【详解】在直观图中，过作于，
，∴，，
故原平面图形为梯形，其上底为，下底为，高为，
所以这块菜地的面积为，故选：C.
3．C【详解】A选项，时，，故错误；
B选项，当同向时，投影向量为，错误；．
C选项，时，，则，正确；
D选项，时，，即与垂直，不一定有，错误.故选：C．
4．D【详解】因为，所以，由余弦定理有，
整理得，即，为等腰三角形，又，所以为等边三角形.故选：D
5．B【详解】因为向量，不共线，且向量，，与方向相反，
所以存在实数使，则，即，
所以整理得，解得或，又，所以.故选B.
6．A详解：连接BD,取AD中点为O,可知为等腰三角形，而，所以为等边三角形，。设
=所以当时，上式取最小值 ，选A.
7．D【详解】因为，由正弦定理可得，
则有，由的内角为锐角，可得，
，
由余弦定理可得因此有
故选：D.
8．A【详解】依题意，，
于是，所以.故选：A
9．ACD【详解】当时，，选项A正确；
若为纯虚数，则，选项B错误；易知，选项C正确；
由可知，在复平面上，复数对应的点在以点为圆心，2为半径的圆上，
的几何意义是点到点的距离，可得，选项D正确，故选：ACD.
10．AD【详解】对于A，当时，，根据正弦定理得，
整理得，故A正确；
对于B，因为，由正弦定理得，所以，
因为，所以，即C为锐角，但因为A，B中可能有钝角，所以不一定是锐角三角形，故B错误；
对于C，，由正弦定理得，即，
所以或，所以是等腰三角形或直角三角形，故C错误；
对于D，由正弦定理得，即，
因为，所以，A为锐角，所以存在满足条件的有两个，故D正确．
故选：AD．
11．ABC【详解】A选项，对于，根据数量积的定义展开可得，，即，即，由正弦定理，，即，则为锐角，由，
解得，，A选项正确，
B选项：由A选项和题干可知，，
，故，B选项正确.
C选项：在方向上的投影向量为，
由B知，，，且，解得，
由正弦定理，，则，C选项正确.
D选项：由正弦定理，，即，解得，
于是，，D选项错误.故选：ABC
12．【详解】，则.故答案为：
13．
【详解】由三角形可得，解得，若该三角形为钝角三角形，b为最大边
则角为钝角，可得即，解得，
14．
【详解】因为，所以，
所以，所以，
即，所以，因为，所以，
因为，所以，又，所以，
因为点在边上，，所以，因为，，所以，所以，
所以，得，
故答案为：
15．(1)，(2)
【详解】（1）因为，所以，
所以，所以 .
（2）.
16．(1)(2)．
【详解】（1）由正弦定理及．
得，即，
即，因为，所以，所以，所以．
（2）由题意得的面积，所以①．
又，且，所以②．由①②得．
17．（1）海里/小时；（2）乙船应朝北偏东的方向沿直线前往处救援.
【详解】解：（1）依题意画出的方位图，如下
在中，，设乙船运动到处的距离为海里
则由余弦定理，
即，，又因为甲、乙两船行驶的时间小时，从而乙船的速度为.故乙船航行速度为海里/小时.
在中，由正弦定理可得，
所以，所以，
所以.故乙船应朝北偏东的方向沿直线前往处救援，速度为海里/小时.
18．(1)（2） (3)
【详解】（1）由余弦定理有，对比已知，
可得，因为，所以，
从而，又因为，即，
注意到，所以.
（2）由角平分得，所以,在△BCD中，由正弦定理得
（3）由（1）可得，，，从而，，
而，由正弦定理有，从而，
由三角形面积公式可知，的面积可表示为
，
由已知的面积为，可得，所以.
19．(1)，（2），(3)存在合题意
【详解】（1）在中，由余弦定理，，
因为，所以，
即，又因为，所以.
（2）由正弦定理得，所以的周长，
，，，因为，所以，所以，所以的周长的最大值为
（3）设，则，，，
在中，由正弦定理，，
在中，由正弦定理，，
两式作商，得，
即，因为，所以，，
，，
假设，所以，解得.