北京市东直门中学2024?2025学年高一下学期3月阶段考试 数学试题(含详解)

北京市东直门中学2024 2025学年高一下学期3月阶段考试数学试题
一、单选题（本大题共10小题）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．如果，那么下列不等式中正确的是
A． B． C． D．
3．下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是
A． B．y= C． D．
4．函数在区间上的图像是连续不断的，则“”是“函数在区间上没有零点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．在△中，为边上的中线，为的中点，则
A． B．
C． D．
6．已知非零向量，，满足，且，对任意实数，，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．在中，“”是“为钝角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．一观览车的主架示意图如图所示，其中为轮轴的中心，距地面（即长），巨轮的半径长为，，巨轮逆时针旋转且每分钟转一圈，若点为吊舱的初始位置，经过分钟，该吊舱距离地面的高度为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则（ ）

A．26 B．13 C．10 D．5
10．已知平面向量，满足，与的夹角为120°，记，的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题）
11．函数的定义域为 ．
12．已知平面向量，的夹角为，且，，则 ．
13．先将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则函数的解析式为 .
14．设，是两个不共线的非零向量，向量，，若向量，的方向相反，则实数 ．
15．已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值是 ；最大值是 .
三、解答题（本大题共6小题）
16．已知，，．
(1)求的值；
(2)求的值．
17．某地居民用电采用阶梯电价，其标准如下：每户每月用电量不超过180千瓦时的部分，每千瓦时电费是0.6元；每户每月用电量超过180千瓦时，但不超过350千瓦时的部分，每千瓦时电费是0.65元；每户每月用电量超过350千瓦时的部分，每千瓦时电费是0.9元．某月某户居民交电费y元，已知该户居民该月用电量为x千瓦时．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若该户居民该月交电费199元，求该户居民该月的用电量．
18．如图，在菱形中，.
(1)若，求的值；
(2)若，，求.
19．已知函数的部分图象如图所示．
(1)求的解析式及对称中心坐标；
(2)若函数，求在区间上的最大值和最小值．
20．已知函数．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，①在上单调递增，则的最大值为；②的图象与直线的两个相邻交点间的距离为；③的对称轴间的最小距离为．
（1）求的解析式；
（2）求方程在上所有解的和．
（注：如果选择多于一条件分别解答，按第一个解答计分）
21．设A是正整数集的一个非空子集，如果对于任意，都有或，则称A为自邻集．记集合的所有子集中的自邻集的个数为．
(1)直接写出的所有自邻集；
(2)若n为偶数且，求证：的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；
(3)若，求证：．
参考答案
1．【答案】C
【详解】由题设，，而，
∴.
故选C.
2．【答案】D
【详解】对于选项A，因为，所以，，则，故A错误；
对于选项B，因为，所以，则，故B错误；
对于选项C，因为，所以，则，故C错误；
对于选项D，由选项C知，则，故D正确.
故选D.
3．【答案】A
【详解】函数，
在区间 上单调递减，
函数 在区间上单调递增，故选A.
4．【答案】B
【详解】因为函数在区间上的图像是连续不断的，
由零点存在性定理，可知由可得函数在区间上有零点，
即由函数在区间上没有零点，可得，
而由推不出函数在区间上没有零点，如，，函数在区间上有零点，
所以“”是“函数在区间上没有零点”的必要不充分条件.
故选B.
5．【答案】A
【详解】根据向量的运算法则，可得
，
所以，故选A.
6．【答案】B
【详解】非零向量，，满足，且，
对于A，不恒为，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，不恒为，故C错误；
对于D，不恒为，故D错误.
故选B.
7．【答案】C
【详解】为钝角三角形.
∴在中，“”是“为钝角三角形”的充要条件.
故选C.
8．【答案】B
【解析】先通过计算得出转动的角速度，然后利用三角函数模型表示在转动的过程中点的纵坐标满足的关系式，则吊舱到底面的距离为点的纵坐标减.
【详解】如图所示，以点为坐标原点，以水平方向为轴，以所在直线为轴建立平面直角坐标系.
因为巨轮逆时针旋转且每分钟转一圈，则转动的角速度为每分钟，
经过分钟之后，转过的角度为，
所以，在转动的过程中，点的纵坐标满足：
则吊舱距离地面的距离.
故选B．
9．【答案】B
【详解】由于是边的中点，可得，
是的外接圆的圆心，
，
同理可得，
．
故选B
10．【答案】A
【详解】设，如图所示：
则，
因为与的夹角为120°，
所以，
因为，且的起点相同，
所以其终点共线，即在直线AB上，
所以当时，最小，最小值为，无最大值，
所以的取值范围为，
故选A.
11．【答案】
【详解】要使函数有意义，则，解得，
所以，
即函数的定义域为.
12．【答案】
【详解】因为平面向量，的夹角为，且，，
所以，
则.
13．【答案】
【详解】 向右平移，可得，
横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，可得，即.
14．【答案】
【详解】用向量共线定理可知存在唯一一个实数，使得，
因为向量，的方向相反，所以，
又因为，，
则，
所以，解得或（舍去），
故.
15．【答案】 0
【详解】正方形ABCD的边长为1，可得，，
0，
要使的最小，只需要
，此时只需要取
此时
等号成立当且仅当均非负或者均非正，并且均非负或者均非正．
比如
则.
点睛：对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的综合题．
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，，结合同角公式可得：，
又因为，所以；
（2）由（1）可求得：
所以.
17．【答案】（1）；（2）320千瓦时．
【详解】（1）由题意得
（2）当时，，
当时，，
当时，.
因为，所以，
则，解得．
即该户居民该月的用电量为320千瓦时．
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为在菱形中，.
故，
故，所以.
（2）显然，
所以
①，
因为菱形，且，，
故，.
所以.
故①式.
故.
19．【答案】(1)，；
(2)最大值，最小值0.
【详解】（1）由图象可知该三角函数的周期为，
又，所以，
因为，所以，则，
令，则，所以对称中心为；
（2）由上可知
，
当时，，所以，
所以，所以在区间上的最大值为，最小值为0.
20．【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）
所以，
若选①：由在上单调递增，则的最大值为
所以的，所以
所以
若选②：由的图象与直线的两个相邻交点间的距离为
即方程的两个相邻的实根间的距离为.
即函数与轴两个相邻交点间的距离为
所以的，所以
所以
若选③：由的对称轴间的最小距离为．
所以的，所以
所以
（2）即，
所以，或
即，或
由，所以的取值为0，，
所以.
即方程在上所有解的和为.
21．【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）由题意可得，的所有自邻集有：；
（2）对于的含5个元素的自邻集，
不妨设.
因为对于，都有或，，2，3，4，5，
所以，，或.
对于集合，，，，，
因为，所以，，2，3，4，5，
，
所以.
因为，，或.
所以，，
或，
所以对于任意或，，2，3，4，5，
所以集合也是自邻集.
因为当为偶数时，，所以.
所以对于集合的含5个元素的自邻集，在上述对应方法下会存在一个不同的含有5个元素的自邻集与其对应.
所以的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数.
（3）记自邻集中最大元素为的自邻集的个数为，，
当时，，，
显然.
下面证明：.
①自邻集含有，，这三个元素，记去掉这个自邻集中的元素后的集合为，
因为，，所以仍是自邻集，且集合中的最大元素是，
所以含有，，这三个元素的自邻集的个数为.
②自邻集含有，这两个元素，不含，且不只有，这两个元素，
记自邻集除，之外最大元素为，则，每个自邻集去掉，这两个元素后，仍为自邻集.
此时的自邻集的最大元素为，可将此时的自邻集分为个；
其中含有最大数为2的集合个数为，
含有最大数为3的集合个数为，，
含有最大数为的集合个数为.
则这样的集合共有个.
③自邻集只含有，这两个元素，这样的自邻集只有1个.
综上可得，
所以，
故时，得证.