2025 高二第二学期期中试题
一．选择题： B C D A D C C D
二．选择题： 9.BD 10.ACD 11.ACD
三．填空题: 12. (0, ) 13.30 14.[ 1, )
四．解答题：本题共 5 小题，共 77 分.
2
15.解:（1）由题意得 f (x) x 2x 3 (x 3)(x 1) , ………2 分
令 f (x) 0，则 3 x 1；令 f (x) 0，则 x 3或 x 1，
f (x)的单调递减区间为 ( 3,1)，单调递增区间为 ( , 3)和 (1, )； ………6分
（2）由（1）得 f (x)在 ( 3,1)上单调递减，在[ 4, 3]和[1,2]上单调递增， ………8 分
f ( 4) 6， f ( 3) 25 7 ， f (1) ， f (2) 0，
3 3
f (x) 7 25的值域为[ , ]. ………13分
3 3
16.解:（1）由题意得 Sn 1 2an 1 2， Sn 1 Sn 2an 1 2an，
an 1 2an， {an}是公比为 2的等比数列，
当 n 1时，a1 S1 2a1 2， a1 2 a a q
n 1 2n， n 1 (n N
*) . ………6 分
n
（2）由（1）得 an 2 ，b1 a1 1 1，b4 a2 4， ………8 分
设数列{bn}的公差为 d ，则b4 b1 3d 1 3d 4， d 1，
bn n(n N
*) a n *， nbn n 2 (n N )，
Tn a1b a
2
1 2b2 anbn 1 2 2 2 3 2
3 n 2n，① ………11 分
2Tn 1 2
2 2 23 3 24 n 2n 1，②
T 2 22 23 2n n 2n 1①-②得 n 2
n 1 2 n 2n 1，
Tn (n 1) 2
n 1 2 . ………15分
x 2
17.解：（1）由题意得 f (x) e (x 2)， x R， ………2 分
令 f (x) 0，则 x 2 或 x 2；令 f (x) 0，则 2 x 2，
f (x)在 ( , 2)和 ( 2, )上单调递增，在 ( 2, 2)上单调递减， ………4 分
当 x 2时， f (x) 2(1 2)有极大值 f ( 2) ，
e 2
当 x 2 2时， f (x)有极小值 f ( 2) 2(1 2)e . ………6 分
（2）由（1）得 f (x)在 ( , 2)和 ( 2, )上单调递增，在 ( 2, 2)上单调递减，
当 x ( , 2)时，当 x 时， f (x) 0，0 f (x) f ( 2(1 2) 2) ；……9分
e 2
当 x ( 2, 2)时， f ( 2) 2(1 2)e 2 f (x) f ( 2) 2(1 2) ，且 f (0) 0；
e 2
当 x ( 2, )时，当 x 时，f (x) 2，f (x) f ( 2) 2(1 2)e ，且 f (2) 0，
实数 a的取值范围为 (2(1 2)e 2 ,0] {2(1 2)} . ………15 分
e 2
18.解：（1）证明：当 n 1 a 1 1时，则 1 P1 1 a1， a1 ， 2，2 1 a1
P P 1 a 1 a ， a n 1 n 1 1n 1 n 1 n 1 ， an 1 ，Pn 1 an 2 an
1 1 1 1 1 1 1 ， 1，1 an 1 1 1 an 1 an 1 1 an
2 an
1
{ }是以首项为 2、公差为1的等差数列. ………4 分
1 an
1 n 1 2n ,n是奇数,
（2）由（1）得 n 1， an ，P1 a n
， bn ……6 分 n n 1 n 1 n 1,n是偶数,
当 n为偶数时， Sn (b1 b3 bn 1) (b2 b4 bn )
n
2
(2 23 2 (1 4 ) (n 4) n 2n 1) [3 5 (n 1)]
1 4 2 2
2 1
(2n 1) n(n 4)； ………9 分
3 4
当 n为奇数时， Sn (b1 b3 bn ) (b2 b4 bn 1)
n 1
2
(2 23 2n ) (3 5 n) 2 (1 4 ) (n 3) n 1
1 4 2 2
2
(2n 1 1) 1 (n 1)(n 3)；
3 4
2 n 1
(2 1) n(n 4),n是偶数,
S 3 4 ………12 分n
2 (2n 1 1 1) (n 1)(n 3),n是奇数. 3 4
n
（3）由（2）得 an ，a 1
2n 1 k 3 5 7 2n 1 1n ，原不等式等价于 ，n 1 n 1 2 3 4 n 1 n 1
令 f (n) 3 5 7 2n 1 1 3 5 7 n N*, ,则 f (n 1) 2n 3 1 ，
2 3 4 n 1 n 1 2 3 4 n 2 n 2
f (n 1) (n 1)(2n 3)
2
1 n n 1 1， f (n 1) f (n) ,
f (n) (n 2)2 (n 2)2
3 3
{ f (n)}单调递增， k f (1) ， 实数 k的最大值为 . ………17 分
4 4
19.解：（1）当 a 1时， f (x) x ln(x 1)， x 1，
则 f (x) 1 1 x ， f (1) 1 ， f (1) 1 ln 2，
x 1 x 1 2
曲线 y f (x)在点 (1, f (1)) 1处的切线方程为 y x ln 2 1 . ………4 分
2 2
1
f (x) x(ax 2a 1)
ax(x 2 )
（2）由题意得 a2 2 ， x 1， ………5 分(x 1) (x 1)
1 1
①当 2 0时，即0 a 时，
a 2
f (x)在 ( 1,0) (1 1和 2, )上递增，在 (0, 2)上递减；
a a
1 1 x2
②当 2 0时，即 a 时， f (x) 2 0， f (x)在 ( 1, )上递增，a 2 2(x 1)
1 1
③当 1 2 0时，即 a 1时，
a 2
f (x) ( 1, 1 1在 2)和 (0, )上递增，在 ( 2,0)上递减；
a a
1
④当 2 1时，即 a 1时， f (x)在 (0, )上递增，在 ( 1,0)上递减. ………10 分
a
1
（3）由（2）得当 a 时， f (x)在 (0, )上递增， f (x) f (0) 0，
2
1
此时 f (x)在 (0, )上无零点， a 不合题意； ………13 分
2
0 a 1当 时， f (x)在 (0, 1 2) (1 1 上递减，在 2, )上递增， f ( 2) f (0) 0，
2 a a a
x 2 1 ( 2) ax 1 2取 0 2 时， e 0 (x0 1) 1 ax0 a x
2
0 (x 1)a a 2 0
1
a2x 2 10 x0 x (a
2x 2) 0 eax， 00 0 x0 1， ax0 ln(x0 1)，2 2
f (x ) ax
2
0 x
2
00 ln(x 1)
ax0 ax 00 ln(x0 1) ax0 ln(x0 1) 0，x0 1 x0 1
1 1
x1 ( 2, xa 0
)，使得 f (x1) 0， 0 a 符合题意；2
综上，a 1的取值范围为 (0, ) . ………17 分
2
注：以上各题其它解法请酌情赋分.
