2025 年期中高一数学试题
参考答案及评分建议
一．选择题： B C A D C D A B
二．选择题： 9.ABD 10.ACD 11.BCD
三．填空题: 12.5 13. (1,2) 14. 48 3 24
四．解答题：
15.解：（1）当m 2 m 2 0时，即当m 1或m 2时，复数 z是实数； ………4 分
m 2 m 2 0,
（2）当 时，即当m 0时，复数 z是纯虚数； ………8 分2
m 2m 0,
m 2 m 2 0,
（3）当 时，即当 1 m 0时，2
m 2m 0,
复数 z对应的点位于复平面的第四象限. ………13 分
2 2
16.解:（1）设 a与b夹角为 ，则 | a b |2 a b 2a b 7 2 2 3 cos 13，
3
cos ， 0 180 ， 30 ； ………6 分
2
2 2
（2）由题意得m n (2a 3b) ( a b) 2 a 3b (2 3 )a b
8 9 2 3(2 3 ) cos30 8 9 2 3(2 3 )cos30 3 0， 3，
令m kn，则 2a 3b k( a b) k a kb，即 (2 k )a (k 3)b 0，
2 k 0, 2 , 2 2
3 或 ，
k 3 0,
3 3 3
k 3,
综上，实数 的取值范围为 ( 3, 2 ) ( 2 , ) . ………15 分
3 3
1
17.解：（1）由题意得 S ABD AB AD sin BAD
3 AD 21 ， AD 7，
2 2 2
由余弦定理得 BD2 AB2 AD2 2AB ADcos BAD 25， BD 5. ………6 分
2 2 2
（2）在△ ABD AD BD AB 4中，由余弦定理得 cos ADB ， sin ADB 3 ，
2AD BD 5 5
AD // BC ， CBD ADB 3 4， sin CBD ，cos CBD ， ………9 分
5 5
在△ BCD中， BDC 135 ， CBD DBC 45 ，
CD BD BD sin CBD 3
由正弦定理 ， CD
sin CBD sin BCD sin BCD sin(45 CBD)
3
15 2， ………13 分
2 (cos CBD sin CBD)
2
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△ BCD 1 75的面积为 S BCD DC BD sin BDC . ………15 分2 2
18.解：（1）当平面 与 的距离为 h(0 h R)时，
由题意得左边半球O1被平面 截得的截面为圆面，其半径 r1 R
2 h2 ，
则 S1 (R
2 h2 ) ； ………4 分
右边几何体被平面 截得的截面为圆心相同的圆环，易得大圆的半径为 R，因为圆柱的高
等于底面半径，所以小圆的半径为 r2 h，则 S2 (R
2 h2 ) . ………8 分
（2）由（1）得当平面 与 的距离为 h(0 h R)时， S1 S (R
2
2 h
2 ) ，
即对于任意 h [0,R]，都有 S1 S2， ………10 分
由祖暅原理可得左边半球的体积等于右边几何体体积，
即V半球 V圆柱 V圆锥 R
3 1 R3 2 R3， ………15 分
3 3
4 3
所以半径为 R的球体的体积公式为V R . ………17分
3
2 2 2 2 2 2
19.解：（1）由正弦定理得b c a 2bc 0， b c a 2bc，
2 2 2
cosA b c a 2 ， 0 A 180 ， A 135 120 ， ………3 分
2bc 2
点 P为点 A 2， PB PC AB AC bccos BAC bc 4， bc 4 2，……6分
2
a2 b2 c2 2bc cos BAC 2 (b c)2 2bc( 1) (b c)2 8 8 2 20，
2
(b c)2 12 8 2 ， b c 2 2 2， ………7 分
△ ABC的周长为a b c 2 5 2 2 2 . ………8分
cos A sin A
（2）由正弦定理得 ，
cosC 2sin B sinC
2cosAsinB sin AcosC cosAsinC sin(A C) sinB， 0 B 180 1， cosA ，
2
0 A 180 ， A 60 ， A,B,C都小于120 ， ………11 分
ABC 3 S 1△ 的面积为 ， ABC bcsinA
3
bc 3， bc 4， ………12 分
2 4
设 PAB (0 60 )，则 PAC 60 ，
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PAB PB AB c sin 在△ 中，由正弦定理得 ， PB ，
sin sin120 sin120
PAC bsin(60 )在△ 中，同理可得 PC ， ………14 分
sin120
PB PC 4 8 bcsin sin(60 )cos120 sin sin(60 )
3 3
8
sin ( 3 cos 1 2 4 sin ) sin(2 30 )， ………16 分
3 2 2 3 3
0 2 60 ， 30 2 30 150 ， PB PC 0，
3
2
PB PC的取值范围为[ ,0) . ………17分
3
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