2025年春季学期高二年级校联体第一次联考
数 学
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．书架上有5本不同的理科类书籍，4本不同的文科类书籍，现从书架上取一本书，不同的取法总数有
A．9种 B．45种 C．种 D．20种
2．若，则
A．3 B．4 C．5 D．6
3．的展开式中含项的系数为
A．60 B．40 C．20 D．15
4．已知函数在点处的切线的斜率为2，则a＝
A．－1 B．0 C．1 D．2
5．设随机变量X的概率分布列为
X 1 2 3 4
P a
则P(2≤X≤3)＝
A． B． C． D．
6．三条生产线生产同一型号产品，若A、B、C三条生产线生产该类产品的次品率依次为0.05，0.1，0.1，A、B、C三条生产线生产的产品分别占总数的，任取一个产品，则取得的产品是次品的概率为
A．0.08 B．0.075 C．0.07 D．0.06
7．从1，2，3，4，5，6中任取2个不同的数，事件“取到的2个数之和为偶数”，事件“取到两个数均为奇数”，则
A． B． C． D．
8．已知函数及其导数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”，给出下列四个函数：
（1） （2） （3） （4）
其中有“巧值点”的函数的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列函数求导正确的是
A．已知，则
B．已知，则
C．已知，则
D．已知，则
10．的展开式中，下列结论正确的是
A．第3项的二项式系数为 B．常数项为160
C．所有项的系数之和为 D．所有项的二项式系数之和为64
11．已知，函数有两个极值点，，下列说法中正确的是
A．
B．
C．
D．若存在，使得≤，则0＜a≤
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知函数，其在点处的切线斜率为_________．
13．已知函数，则的最小值为_________．
14．某银行贷款年利率为，按月计息利率为，小王计划向银行贷款a元，已知贷款利息按复利计算（即每期的利息并入本金，在下一期中一起计息），设按年计息与按月计息两种贷款方式一年后的还款总额（本金、利息之和）分别为M，N，则M，N的大小关系是_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）现有3名男生、3名女生站成一排照相.（用数字作答）
（1）6人一起排，有多少种不同的站法？
（2）三名女生不相邻，有多少种不同的站法？
（3）男生甲不在左端，男生乙不在右端，有多少种不同的站法？
16．（15分）已知函数在和处取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）若对任意，不等式恒成立，求c的取值范围．
17．（15分）已知函数．
（1）若，求函数的极值；
（2）讨论函数的单调性．
18．（17分）某校运动会4*100接力赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛、半决赛都获胜才能进入决赛．已知1班在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；2班在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；3班在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和．
（1）1班，2班，3班中哪个班级进入决赛的可能性最大？
（2）设三个班中进入决赛的班级数为，求的分布列．
19．（17分）已知函数，．
（1）当时，证明：在上是增函数；
（2）若，当时，
（i）证明：；
（ii）证明：，．2025年春季学期高二年级校联体第一次联考
数学 参考答案
一、选择题
1．答案：A
解析：由分类加法计数原理，可知不同的取法有种．
故选：A
2．答案：D
解析：由，得，解得（舍去）
故选：D．
3．答案：C
解析：由题意，的展开式中含的项为．故选：C．
4．答案：C
解析：依题意有，，
故选：C．
5．答案：B
解析：，
，
故选：B．
6．答案：A
解析：根据题意，设任取一个产品，分别来自A，B，C生产线的事件分别为A，B，C，设任取一个产品为次品为事件D，
则，，，，，，
所以
，
故选:A．
7．答案：D
解析：依题意，，故．
故选D．
8．答案：C
解：（1），不存在使得，没有巧值点；
（2），解得，或2，，有巧值点；
（3），如图，
由图象知有解，有巧值点；
（4），满足，有巧值点．
故选：C．
二、多项选择题
9．答案：ABD
解析：对于A，已知，则，故正确；
对于B，已知，则，故正确；
对于C，已知，则，故错误；
对于D，已知，则，故正确．
故选：ABD．
10．答案：BCD
解析：第3项的二项式系数为，A不正确；
展开式的常数项为，B正确；
取得展开式的所有项的系数之和为，C正确；
由二项式系数的性质得展开式的所有项的二项式系数之和为，D正确．
故选：BCD
11．答案：BC
解析：，由函数有两个极值点，，
故有两个变号零点，
当时，不符，故舍去;
当时，有、，
由，故、异号，故，即，
故A错误、B正确;
，
由，故，故C正确;
，
即存在，使得，
即存在，使得且，
由，故必存在，
对，
有，即，
即，故，D错误．
故选:BC．
三、填空题
12．答案：7
解析：由题意，
故答案为：7
13．答案：0
解析：由题意，
由得，由得，
所以单调递增区间是，单调递减区间是，所以函数最小值为
故答案为：0
14．答案：
解析：按年计息：，按月计息：，则．令，，在单调递减，所以，故．
四、解答题
15．解析:（1） 4分
（2） 8分
（3） 13分
16．解析：（1）， 1分
函数在和处取得极值．
，， 4分
联立解得：，． 6分
（2）由（1）知在单调递增，在单调递减， 9分
要使得对任意，不等式恒成立，则需， 11分
故，解得， 14分
c的取值范围是． 15分
17．解析：（1）若，，定义域为，， 2分
当时，函数在上单调递减，
当时 ，函数 在上单调递增， 5分
所以函数的极小值为，无极大值. 7分
（2）函数，定义域为，． 8分
①当时，，函数在上单调递增; 10分
②当时，令，得，所以函数在上单调递减，
12分
令，得，所以函数在上单调递增． 13分
综上所述，当时，函数在上单调递增;
当时，函数在 上单调递减，在上单调递增． 15分
18．解析：（1）1班进入决赛的概率为， 2分
2班进入决赛的概率为， 4分
3班进入决赛的概率为， 6分
因为
所以3班进入决赛的概率最大，所以3班进入决赛的可能性最大． 7分
（2）由（1）可知:1班、2班、3班进入决赛的概率分别为，，， 8分
的可能取值为0，1，2，3， 9分
， 10分
， 12分
， 13分
， 15分
所以的分布列为:
0 1 2 3
P
17分
19．解析：（1）当时，，， 1分
所以， 2分
设，则， 3分
当时，有，所以在区间上单调递减， 4分
当时，有，所以在区间上单调递增， 5分
所以，即对任意的恒成立，
所以在为增函数． 6分
（2） （i）因为，所以，，
7分
，有，所以， 9分
所以在单调递增，故，得证; 10分
（ii）由（i）可知
，，即 11分
令，则，， 13分
15分
累加得．
得证. 17分
