吉林省四平市第一高级中学2024-2025学年高二下学期期初验收考试数学试卷（含答案）

四平市第一高级中学2024-2025学年高二下学期期初验收考试
数学试题
一、单选题
1．已知直线：与：平行，且过点，则（ ）
A．-3 B．3 C．-2 D．2
2．若一组数据的方差为0.4，则另一组数据的方差为（ ）
A．1.6 B．0.8 C．0.4 D．0.1
3．在的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的系数是（ ）
A． B． C． D．7
4．已知点是圆上的动点，点，则的中点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．当双曲线的焦距取得最小值时，其渐近线的方程为
A． B． C． D．
6．以下说法：
①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；
②设有一个回归方程，变量增加1个单位时，平均增加5个单位
③线性回归方程必过
④设具有相关关系的两个变量的相关系数为，那么越接近于0，之间的线性相关程度越高；
⑤在一个列联表中，由计算得的值，那么的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大。
其中错误的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．为迎接第届冬季奥林匹克运动会，某校安排甲、乙、丙、丁、戊共五名学生担任冰球、冰壶和短道速滑三个项目的志愿者，每个比赛项目至少安排人，则学生甲被安排到冰球比赛项且做志愿者的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆的左顶点和上顶点分别为，，左、右焦点分别是，，在线段上有且只有一个点满足，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．2020年，我国全面建成小康社会取得伟大历史性成就，脱贫攻坚战取得了全面胜利.下图是2013—2019年我国农村减贫人数(按现行农村贫困标准统计)统计图，2019年末我国农村贫困人口仅剩的551万人也在2020年现行标准下全部脱贫.以下说法中正确的是（ ）
A．2013—2020年我国农村贫困人口逐年减少
B．2013—2019年我国农村贫困人口平均每年减少了1300万人以上
C．2017年末我国农村贫困人口有3046万人
D．2014年末与2016年末我国农村贫困人口基本持平
10．某单位开展“学习强国”知识答题活动，在5道试题中（有3道选择题和2道填空题），不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知点P是抛物线上一点，C的准线与x轴交于Q点，是以点P为圆心且过点Q的圆，则与C的交点个数不可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
三、填空题
12．过点P(3，0)有一条直线l，它夹在两条直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段恰被点P平分，则直线l的方程为 ．
13．已知函数有2个不同的零点，则k的取值范围是 ．
14．甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下:若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮. 无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.8，乙每次投篮的命中率均为0.6 . 由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、 乙的概率各为0.5 . 则第次投篮的人是甲的概率是 .
四、解答题
15．手机用户可通过某软件查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的比较和点赞.若某人一天的行走步数超过8000，则评定为“积极型”，否则评定为“懈怠型”.从小王的男性和女性好友中各随机抽取了50名，统计其一天的步数并给出评定，得到如下数据：
积极型 懈怠型
男 20 30
女 10 40
(1)能否有95%的把握认为“评定类型”与“性别”有关？
(2)以样本数据估计总体数据，且以频率估计概率.若从小王的所有男性好友中抽取3人，记其中评定为“积极型”的人数为，求随机变量的数学期望.
附：，其中.
0.050 0.025 0.010
3.841 5.024 6.635
16．已知双曲线E：与有相同的渐近线，且过点.
(1)求E的方程；
(2)已知O为坐标原点，直线与E交于P，Q两点，且，求m的值.
17．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1.
(1)求证:BC⊥平面ACFE.
(2)在线段EF上是否存在点M，使得平面MAB与平面FCB所成锐二面角的平面角为θ，且满足cosθ=，若不存在，请说明理由;若存在，求出FM的长度.
18．已知抛物线：，点为抛物线外一点（如图），过点作的两条切线，切点分别为，.
(1)求证：直线的方程为；
(2)若在直线上，以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求该圆的方程.
19．2022年11月4日上午，福建省福州市教育局对2023年初中毕业生体育考试抽考类、抽选考类项目进行摇号抽签，最终确定排球对墙垫球为抽考项目，立定跳远、50米跑、双手头上前掷实心球三项为抽选考项目（考生从这三个项目中自选两项考试）.此外，体育中考还有必考项目：1000米跑（男）、800米跑（女）或200米游泳（泳姿不限），考生按性别从2个项目中自选1项考试.若某初三男生参加中考体育测试的项目为排球对墙垫球、立定跳远、双手头上前掷实心球、1000米跑.为了提高成绩，该男生决定每天进行多次训练（一次练一项），第一次，在4个项目中等可能地随机选一项开始训练，从第二次起，每次都是从上一次未训练的3个项目中等可能地随机选1项训练.
(1)若该男生某天进行了3次训练，求第三次训练的是“排球对墙垫球”的概率；
(2)若该男生某天进行了5次训练，4个项目都有训练，且第一次训练的是“1000米跑”，前后训练项目不同视为不同的训练顺序，设5次训练中选择“1000米跑”的次数为，求的分布列及数学期望.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A C A B C A A ABC CD
题号 11
答案 ACD
1．D
利用两直线平行，斜率相等来求解即可.
解析：由直线：可得：，可知直线的斜率为：，
再由直线：可得：，可知直线的斜率为：，
由两直线平行，斜率相等可知：，即，
再由直线过点可得，，即，检验符合，
所以，
故选：D.
2．A
根据平均值与方差的计算公式，可得答案.
解析：数据的平均数，
数据的方差
数据的平均数，
数据的方差
，
所以数据的方差为.
故选：A.
3．C
由题意利用二项式系数的性质，求得的值，再利用二项式展开式的通项公式，求得的系数．
解析：在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，
它的展开式共计有9项，，
故二项展开式的通项公式为，
令，求得，可得在的展开式中的系数为，
故选：C．
4．A
设出线段中点的坐标，利用中点坐标公式求出的坐标，根据在圆上，得到轨迹方程．
解析：设线段中点，则．
在圆上运动，
，即．
故选：A．
5．B
解析：由题意可得6 2m>0，即有m<3，
由c2=m2+8+6 2m=(m 1)2+13，
可得当m=1时，焦距2c取得最小值，
双曲线的方程为，
即有渐近线方程为 .
故选：B.
6．C
解析：方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，故①正确；一个回归方程，变量增加1个单位时，平均减少5个单位，故②不正确；线性回归方程必过样本中心点，故③正确；根据线性回归分析中相关系数的定义：在线性回归分析中，相关系数为r，越接近于1，相关程度越大，故④不正确；对于观察值来说，越大，“x与y有关系”的可信程度越大，故⑤正确.
故选：C
7．A
解析：先考虑全部的情况，即将名学生分为三组，每组的人数分别为、、或、、，
所有将名学生担任冰球、冰壶和短道速滑三个项目的志愿者，每个比赛项目至少安排人，
不同的排法种数为种；
接下来考虑学生甲被安排到冰球比赛项且做志愿者，则做冰球志愿者的人数可为或或，
若做冰球志愿者的人数为且为甲，共有种；
若做冰球志愿者的人数为且包含甲，共有种；
若做冰球志愿者的人数为且包含甲，共有种.
因此，所求概率为.
故选：A.
8．A
解析：解：依题意，作图如下
，，，，
直线的方程为：，整理得：，
设直线上的点，则，
，，
，
令，
则，
由得：，于是，
，
整理得：，又，，
，
，又椭圆的离心率，
，
椭圆的离心率为.
故选：A.
9．ABC
根据折线统计图逐一判断可得选项.
解析：解：由题可知，2013—2020年我国农村每年减贫人数均大于0，因此贫困人口逐年减少，故选项A正确；
2013—2019年我国农村每年减贫人数的平均值为(万人)，又，故选项B正确；
2017年末我国农村贫困人口为(万人)，故选项C正确；
由于2013—2019年我国农村贫困人口每一年都大量减少，故选项D错误.
故选：ABC.
10．CD
根据古典概型，对立事件，条件概率的计算公式逐一计算每个选项进行判断.
解析：由题意可得，，故A错误，
，故B错误，
，，
，故C正确，
，故D正确．
故选：CD
11．ACD
根据题意知与抛物线必有两个交点，取抛物线上高于点N或低于点M的点，证明该点到点P的距离大于PN，即证明了不存在其他点到点P的距离等于的半径即可.
解析：

如图，与抛物线交于M、N两点且将抛物线分成圆内和圆外共三部分：
显然圆内部分每一点到圆心距离均小于，故圆内部分不存在满足条件的点；
设点坐标为，，，为抛物线上高于点的点且，则有
因为且，
所以，即在抛物线上高于N点的部分不存在到P点的距离等于的点；
同理，圆外部分且在点M下方的抛物线上亦不存在到P点的距离等于的点；
即与抛物线的交点只有两个.
故选:ACD
12．8x－y－24＝0
【解析】设出与两点的坐标，因为为线段的中点，利用中点坐标公式即可列出两点坐标的两个关系式，然后把的坐标代入直线，把的坐标代入直线，又得到两点坐标的两个关系式，把四个关系式联立即可求出的坐标，然后由和的坐标，利用两点式即可写出直线的方程.
解析：设直线夹在直线之间的线段是(在上，在上)，
的坐标分别是.
因为被点平分，所以
，
于是.
由于在上，在上，所以，
解得，即的坐标是.
直线的方程是，
即 .
所以直线的方程是.
13．
将问题转化为关于的方程在区间内有两个不等的实根，于是画出曲线与直线的图象，结合图象求解即可
解析：因为函数有2个不同的零点，
所以关于的方程在区间内有两个不等的实根，
即曲线（圆的上半部分）与经过定点的直线有两个不同的交点，如图
过作圆的切线，则点到切线的距离，
解得（舍去）或，
所以，得，
即k的取值范围是，
故答案为：
14．
记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，设，利用全概率公式求得，再构造等比数列即可得答案.
解析：记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，
设，则，
则，
于是，，
由，得，因此数列是首项为，公比为的等比数列，
则，即，
所以第次投篮的人是甲的概率为.
故答案为：
15．(1)有；
(2).
解析：（1）列联表如下：
积极型 懈怠型 合计
男 20 30 50
女 10 40 50
合计 30 70 100
则的观测值为，
所以有95%的把握认为“评定类型”与“性别”有关.
（2）由表格中的数据知，从小王的男性好友中任选一人，评定为“积极型”的概率为，
随机变量的可能值为，，
所以随机变量的数学期望.
16．(1)
(2)或
（1）利用待定系数法，结合代入法进行求解即可；
（2）将直线方程与双曲线方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可.
解析：（1）由题意，设E的方程为，又E过点，
所以，解得，
所以E的方程为.
（2）设，，由得，
因为，
所以，，
所以
，
所以，
解得或.
17．(1)证明见解析
(2)存在，
（1）将底面梯形单独分析得到，再根据面面垂直的性质定理即可证明；
（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，计算出相关法向量，利用二面角公式得到方程，解出的长度.
解析：（1）证明:如图所示的等腰梯形中,经过点,分别作,,垂足为,,则为矩形,.在中,,则,
同理可得.
在中,
,
又平面平面,平面平面平面,平面.
（2）如图所示,建立空间直角坐标系.
设,
,
设平面的法向量,
则，令，
则，取平面的法向量，
由题意假设:,.
解得.
因此在线段上存在点,使得平面与平面所成锐二面角的平面角为,且满足，.
18．(1)证明见解析
(2)或
（1）先利用导数几何意义分别求出在，两点处的切线方程，再分别代入点即可发现A，B两点都在直线上，进而得到直线的方程；
（2）由（1）得直线的方程，与抛物线联立，求出线段的中点为，再根据圆的性质所得建立方程进行研究即可.
解析：（1）设，，由得，
所以在处的切线方程为，
同理在处的切线方程为，
两条切线都过，所以，，
显然A，B两点都在直线上，
所以直线的方程为；
（2）若在直线上，则直线的方程为，
即直线过定点，不妨设直线的方程，
由，可得，，
于是，，
设为线段的中点，则，
由于，而，与向量平行，
∴，解得或，
当时，，所求圆的方程为；
当时，，所求圆的方程为.
19．(1)
(2)分布列见解析，
（1）设第一次训练的是“排球对墙垫球”的概率为，第一次训练的不是“排球对墙垫球”的概率为，则所求概率为；
（2）由题可得的所有可能取值为1，2.
说明后4次训练中除“1000米跑”外的3项中有1项训练了2次，余下的2项都各训练一次，说明“1000米跑”训练了2次，第三次或第四次或第五次也训练了“1000米跑”，据此可得分布列及期望.
解析：（1）第一次训练的是“排球对墙垫球”，且第三次训练的是“排球对墙垫球”的概率为，
第一次训练的不是“排球对墙垫球”，且第三次训练的是“排球对墙垫球”的概率为，
所以第三次训练的是“排球对墙垫球”的概率为.
（2）由题意知“1000米跑”最多训练2次，所以的所有可能取值为1，2.
①说明后4次训练中除“1000米跑”外的3项中有1项训练了2次，余下的2项都各训练一次，
从除“1000米跑”外的3项中选一项训练2次有种方法，不妨设训练了2次“排球对墙垫球”，可分为以下两类：
第一类，第二次训练的是“排球对墙垫球”，则第四次或第五次也训练了“排球对墙垫球”，有种方法；
第二类，第三次训练的是“排球对墙垫球”，则第五次也训练了“排球对墙垫球”，有种方法，因此共有种方法.
②说明“1000米跑”训练了2次，第三次或第四次或第五次也训练了“1000米跑”，故有种方法.
所以， .
所以的分布列为：
1 2
所以.