第18章平行四边形的判定专项训练（含解析）

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第18章平行四边形的判定专项训练-2024-2025学年数学八年级下册人教版
1．如图，在四边形中，，，，，O是的中点，连接并延长，交于点E，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若平分，求的长．
2．如图，在四边形中，，交于点E，交于点F，且．求证：四边形是平行四边形．
3．如图，在平行四边形中， 连接对角线，点E和点F是直线上两点，且．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，，，，求四边形的面积．
4．如图，四边形是平行四边形，E为延长线上一点，，连接交于点F，连接、、．
(1)若，求的度数；
(2)已知，求证：四边形是平行四边形．
5．如图，是线段的中点，且，点在线段上，交于点，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)已知，连接，若平分，求的长．
6．如图，在四边形中，P是对角线的中点，E，F是的中点，，求证：．
7．如图，是等边三角形，是边上的高．点E在延长线上，连接，且，过A作交的延长线于点F，连接．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，求四边形的周长．
8．如图，四边形是平行四边形，，，是的中位线，G为上一动点，H为上一动点，点G以的速度从C点向B点运动，同时点H以的速度从D点向C点运动，用表示时间．当t为何值时，四边形是平行四边形？
9．综合实践课上，老师让同学们开展了的折纸活动，是边上的一动点，是边上的一动点，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，连接．
(1)【观察发现】如图1，若，，，求的长；
(2)【操作探究】如图2，当点落在的延长线上时，求证：四边形为平行四边形．
10．如图，分别以的直角边及斜边向外作等边、等边，已知，，垂足为，连接．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是平行四边形．
11．如图，将沿过点A的直线折叠，使点D落到边上的点处，折痕交边于点E，连接．
(1)证明四边形是平行四边形；
(2)若平分，求的度数．
12．如图，在四边形中，，F为线段上一点，E为线段延长线上一点，其中．
(1)小明在求证时，考虑先由平行线的性质与等量代换，得到，进而利用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，得到四边形是平行四边形，再结合“平行四边形的对边相等”和“等角对等边”，证得．请根据小明的证明思路补充以下证明过程．
证明：∵，
∴　 　①．
又，
∴，
∴　 　②，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴　 　③．
又∵，
∴ ④．
∴．
(2)连接，若，求的长．
13．问题情境：学行四边形的性质和判定后，某数学小组提出了以下问题：如图，的对角线与相交于点，点分别在和上．
问题1：当与满足什么条件时，四边形是平行四边形？
问题2：当满足什么条件时，四边形是平行四边形？
请你选择其中一个问题完成，并说明理由．
14．如图，在四边形中，，连接，过的中点O做线段交于点E，交于点F，且．
求证：
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)求证：与全等．
15．如图，在平面直角坐标系中，点为第一象限内一点，线段与轴的夹角为，过点作轴的平行线交轴于点．点为轴正半轴上一点，点为直线上点右侧一动点，连接．设线段的长度为，线段的长度为．
(1)若，．
①求点的坐标；
②如图2，过点作于点，求的值．
(2)如图3，连接交于点．记，，，的面积分别为，，，且满足．
①判断四边形的形状并说明理由；
②若此时四边形的面积为，，且，求，的值．
《第18章平行四边形的判定专项训练-2024-2025学年数学八年级下册人教版》参考答案
1．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）利用平行线的性质和中点定义得到，，进而证明得到，再利用平行四边形的判定可得结论；
（2）过点E作于F，先利用勾股定理求得，再利用角平分线的性质得到，设，则，中，由勾股定理求得，再在中，由勾股定理求得，再利用平行四边形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵O是的中点，
∴，
在与中，
∴，
∴，又，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：过点E作于F，
在中，，，，
由勾股定理得：，
∵平分，，，
∴，设，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：
∴
解得：， (也可以用等面积法)
在中，由勾股定理得：
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴．
2．见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判断，证明，得到，进而得到，即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴，即：，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
3．(1)见解析
(2)36
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握平行四边形的判定和性质是解题关键．
（1）根据平行四边形的性质易证，即可得到结论；
（2）由勾股定理得到，进而得出，求出，即可得到四边形的面积．
【详解】（1）解：证明：∵四边形是平行四边形
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
4．(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和平行线的性质等知识点．
（1）根据平行四边形的性质得出，，根据平行线的性质得出，求出，根据得出即可；
（2）根据等腰三角形的性质得出，求出，根据全等三角形的性质得出，再根据平行四边形的判定得出结论即可．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
5．(1)见解析
(2)2
【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关判定与性质是解题关键，
（1）证明且即可证明结论；
（2）利用平行四边形性质得出即可求出结论．
【详解】（1）证明：是线段的中点，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）知，四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
．
6．详见解析
【分析】本题考查了三角形的中位线，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．根据三角形中位线定理得到，，根据得到，等量代换可得结论．
【详解】证明：在中，P，F是的中点，
∴是的中位线，
∴，
同理，
∵，
∴，
∴．
7．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握平行四边形的判定与性质．
（1）根据等边三角形的性质可得，然后证明为等边三角形，可得，进而可以证明四边形为平行四边形；
（2）根据可得的长，然后证明，进而可得四边形的周长．
【详解】（1）证明：是等边的BC边上的高，
，
，

，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
四边形为平行四边形；
（2）解：
．
为等边三角形，
．
，
，

四边形的周长为．
8．
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据题意得出点G和点H分别同时运动到的中点时，四边形是平行四边形，即可得到答案．
【详解】解：若四边形是平行四边形，
则，，
∵是的中位线，
∴，
∴，
此时点G和点H分别同时运动到的中点，
∵四边形是平行四边形，，，
∴，，
∴，
∴点G运动到的中点所需时间，
同理，点H运动到的中点所需时间，
∴时，点G和点H分别同时运动到的中点，
∴时，四边形是平行四边形．
9．(1)
(2)见解析
【分析】（1）由折叠的性质可得，则，由三角形外角性质得，所以，再利用勾股定理得，然后由，求得，即可求解．
（2）根据折叠的性质先证，再证即可证明四边形为平行四边形．
【详解】（1）解：由折叠知，
．
．
，
．
．
由勾股定理得，，
．
．
．
．
（2）证明：由折叠知，，．
，
，
，
，
，
∵，
∴，，
，
，
，
，点在延长线上，
，
，
．
，
，
四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形折叠问题，直角三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，勾股定理．熟练掌握平行四边形的性质与判定和折叠性质是解题的关键．
10．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定和性质是关键．
（1）由等边三角形的性质及直角三角形的性质可得，由此即可求解；
（2）证明，由全等三角形的性质得出，证出，由平行四边形的判定可得出结论．
【详解】（1）证明：∵在中，，
∴，
又∵是等边三角形，，
∴，
∴；
（2）证明：在和中，
，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
11．(1)见解析
(2)
【分析】此题主要考查了平行四边形的判定与性质、折叠的性质、平行线的性质、角平分线等知识，得出四边形是平行四边形是解题关键．
（1）利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出，进而利用平行四边形的判定方法得出四边形是平行四边形，进而求出四边形是平行四边形；
（2）先由角平分线的定义得，再由平行线的性质得，进而得，再根据三角形内角和定理可得结论．
【详解】（1）证明：∵将沿过点A的直线折叠，使点D落到边上的点处，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
12．(1)，，，
(2)
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，等角对等边，熟知平行四边形的性质与判定定理是解题的关键．
（1）由，得，因为，所以，则，所以四边形是平行四边形，则，由，得，即可证明，于是得到问题答案；
（2）推导出，利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
又，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴．
又∵，
∴．
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
由（1）得，
∴，
∴的长是．
13．见解析
【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的性质及判定方法是解题的关键．
选择问题1：当时，可证，结合平行四边形的性质得到，则，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求证；
选择问题2：当时，有平行四边形的性质得到，再由线段和差得到，根据对角线相互平分的四边形平行四边形即可求解．
【详解】解：选择问题1：当时，四边形是平行四边形，
理由如下：
∵，
∴，即，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
选择问题2：当时，四边形是平行四边形，
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，即，
∴四边形是平行四边形．（方法合理即可）
14．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定等知识点，灵活运用平行四边形的判定与性质定理成为解题的关键．
（1）由中点的定义可得，结合运用对角线相互平分的四边形是平行四边形可证四边形是平行四边形可得，再结合即可证明结论；
（2）由四边形是平行四边形可得，再根据四边形是平行四边形可得，进而得到，最后根据即可证明结论．
【详解】（1）证明：∵点O是的中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，即，
∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，即，
∴．
15．(1)①；②180
(2)①四边形是平行四边形，理由见解析；②的值为，的值为
【分析】（1）①根据含30度角的直角三角形的性质可得，利用勾股定理可得，由此即可得；
②先根据平行线间的距离可得点到的距离等于点到的距离，即为，再利用三角形的面积公式求解即可得；
（2）①先求出，再设，根据三角形的面积公式可得，，，从而可得，，，然后根据的边上的高与的边上的高之和等于建立等式，化简整理可得，最后根据平行四边形的判定即可得；
②根据平行四边形的性质可得，根据勾股定理可得，再利用完全平方公式求出和的值，从而可得和的值，然后解二元一次方程组即可得．
【详解】（1）解：①由题意得：轴，，
∵轴轴，
∴，
∵，
∴在中，，，
∵点为第一象限内一点，
∴点的坐标为．
②∵轴，，
∴点到的距离等于点到的距离，即为，
∵，，
∴，
∴．
（2）解：①四边形是平行四边形，理由如下：
∵，，，
∴，
设，
∴，
∵轴，
∴点到的距离等于点到的距离，均等于，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
联立，
解得，，，
∴的边上的高为，
的边上的高为，
又∵的边上的高与的边上的高之和等于，
∴，
整理得：，
∴，
∴，即，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
②∵平行四边形的面积为，
∴，
由上已得：，
∴，即，
在中，，，，
由勾股定理得：，即，
整理得：，
∴，
∴，
，
又∵，
∴，即，
解得，
所以的值为，的值为．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、完全平方公式、二元一次方程组的应用等知识，较难的是题（2），熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．
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