2025年山东省济南长清区七年级下学期数学期中考试试题（含答案）

七年级下学期数学期中试题
本试卷分第 Ⅰ 卷（选择题）和第 Ⅱ 卷（非选择题）两部分。本试题共 8 页，满分 150 分，考试时间为 120 分钟。
答卷前请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填在试卷规定的位置。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 选择题（共 40 分）
一、选择题（本题共 10 个小题，满分 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.在中国科学院研发出新型的工业纳米机器人，其大小约为 0.00000007m，则 0.00000007m 用科学记数法表示为（ ）
A. 70×10 9m B. 0.7×10 7m C. 7×10 8m D. 7×108m
2.下列选项中，属于必然事件的是（ ）
A. 太阳从东方升起 B. 掷一次骰子，向上的一面是 6 点
C. 经过某一有交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 从装有多个白球的箱子里取出两个红球
3.下列计算正确的是（ ）
A. 5a 2a=3 B. (a2)3=a6 C. (2b)2=2b2 D. a6÷a2=a3
4.如图，直线 l分别交 AB、CD于点 E、F，若 AB∥CD，∠1=40 ，则∠2的度数为（ ）
A. 120 B. 140 C. 150 D. 160
5.如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路。小丽站在点 A处，她觉得沿 AP走过斑马线到达马路边 BC更节省时间，这一想法体现的数学依据是（ ）
A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线
C. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 垂线段最短
6.若 4x2+kx+9是完全平方式，则 k的值是（ ）
A. 6 B. ±12 C. ±6 D. 6
7.如图，下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠4；③∠B=∠5；④∠1+∠ACE=180 ；⑤∠5=∠D。其中，能判定 AD∥BE的条件有（ ）
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
8.为迎接春节到来，某商场规定：购物满 88 元以上都可以获得一次转动转盘的机会。当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得对应的奖品。转动转盘若干次，其中指针落入优胜奖区域的频率如图②所示，则转盘中优胜奖区域的圆心角∠AOB的度数近似为（ ）
A. 72 B. 90 C. 54 D. 20
9.已知 (x+a)(x 2)=x2+x+b，则 a，b的值分别是（ ）
A. a= 3，b= 6 B. a=3，b=6 C. a= 3，b=6 D. a=3，b= 6
10.根据 (x 1)(x+1)=x2 1，(x 1)(x2+x+1)=x3 1，(x 1)(x3+x2+x+1)=x4 1，(x 1)(x4+x3+x2+x+1)=x5 1...
...的规律，则 22025+22024+22023+...+23+22+21+1的个位数字是（ ）
A. 3 B. 5 C. 7 D. 1
第 Ⅱ 卷 非选择题（共 110 分）
二、填空题（本题共 5 个小题，满分 20 分）
11. ( 2a2)3= 。
12. 飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同。小亮每次投掷飞镖均扎在该飞镖游戏板上，且扎在飞镖板上任意点处的机会是均等的。则小亮随机投掷一次飞镖，飞镖扎在阴影区域的概率是 。
13. 如果一个角的余角比这个角少 30 ，则这个角的度数是______°。
14. 把一张长方形纸片 ABCD沿EF折叠后，D、C分别在M、N的位置上，EM与 BC的交点为 G，若 ∠EFG=63 ，则∠2= °。
15.如图，AB∥CD，点E，F在直线AB上（F在E的左侧），点G在直线CD上，EH⊥HG，垂足为H，P为线段 EH上的一动点，连接GP，GF，∠FGH与∠BFG的角平分线交于点Q，且点Q在直线AB，CD之间的区域。下列结论：①∠BEH+∠DGH=90 ；②∠CGH+2∠FQG=270 ；③若 ∠PGH=3∠DGH，则3∠BEH+∠EPG=360 ；④若 ∠PGH=n∠DGH，则 ∠BEH+∠PGD=90 ，其中n为正整数。上述说法正确的是 （写出所有正确结论的序号）。
三、解答题（本题共 10 个小题，满分 90 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. （7 分）计算：( 1)2025+() 1 22 (π 4)0
17. （7 分）计算：(x+3)(x 3)+2(x2 2)
18. （7 分）如图，若 ∠1+∠2=180°，∠B=∠C，那么 AB与CD平行吗？阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）。
解：∵∠1+∠2=180 （①______），∠1+∠CGD=180 （平角的定义），
∴∠2=∠CGD（②______）。
∴CE∥③______（④______）。
∴∠C=∠BFD（⑤______）。
∵∠B=∠C（已知），
∴∠B=⑥______（等量代换）。
∴AB∥CD（⑦______）。
19.（8 分）一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共10个，它们除了颜色外完全相同，其中黄球个数比白球个数的3倍少1个，从袋中摸出一个球是黄球的概率为0.5。
（1）袋中有黄球______个、白球______个；
（2）向袋中放入若干个红球，使摸出一个球是红球的概率为 0.5，求放入红球的个数。
20.（8 分）先化简，再求值：(x y)2+(10x2y 2xy2)÷(2y)，其中，x=1，y=2。
21.（9 分）如图是一个 5×5的方格纸，完成下列任务：
（1）过点 C画线段 AB的平行线 CE；
（2）过点 C画线段 AB的垂线，垂足为D；
（3）连接 AC和BC，若图中每个小正方形的边长为 1，则△ABC的面积是______。
22.（10 分）如图，直线 AB、CD相交于 O，OD平分 ∠AOF，OE⊥CD于点 O，∠1=50 ，求 ∠COB、∠BOF的度数。
23.（10 分）如图 1，在边长为 a的正方形中作一个边长为 b(a>b)的正方形，则余下的阴影部分拼成一个以 (a+b)为长、(a b)为宽的长方形，如图 2。
【探究】
（1）请列式表示：
图 1 中阴影部分的面积为______，
图 2 中阴影部分的面积为______；
根据两图中阴影面积相等，可以得到乘法公式是： 。
【应用】
（2）根据（1）中的公式解决如下问题：
①若a2 b2 =8，a b=2，则 a+b= ；
②计算：(3+1)(32+1)(34+1)(38+1) (31024+1)。
24.（12 分）规定两数 a，b之间的一种运算，记作 (a,b)：如果 ac=b，那么 (a,b)=c。例如：因为 32=9，所以 (3,9)=2。
（1）根据上述规定，填空：(2,8)= ；
（2）若 (5,x)=m，(5,y)=n，且m+n=3，求 xy的值。
（3）①若 (4,3)=a，(4,8)=b，(4,24)=c，请你尝试证明：a+b=c；
②进一步探究这种运算时发现一个结论：
(xn,yn)=(x,y)，结合①，②探索的结论，计算：(8,27)+(4,)= 。
25.（12 分）已知直线 AB∥CD，在三角形纸板 EFG中，∠F=90 。
（1）将三角形 EFG按如图 1 放置，点E和点G分别在直线 AB、CD上，若∠DGF=25 ，则∠AEF=_____°；
（2）将三角形 EFG按如图 2 放置，点 E和点 G分别在直线 AB、CD上，GF交 AB于点H，若 ∠DGF=α，∠BEF=β。试求 α、β之间的数量关系；
（3）在图 2 中，若 ∠AEF=20 ，∠AEG=40 ，将三角形 EFH绕点 F以每秒 10 的速度顺时针旋转一周，设运动时间为 t秒。在旋转过程中，当旋转后的三角形EFH的一条直角边与 GE平行时，求出相应 t 的值。（直接写出答案）
答案
一、选择题（本题共 10 个小题，满分 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.在中国科学院研发出新型的工业纳米机器人，其大小约为 0.00000007m，则 0.00000007m 用科学记数法表示为（ C ）
A. 70×10 9m B. 0.7×10 7m C. 7×10 8m D. 7×108m
2.下列选项中，属于必然事件的是（ A ）
A. 太阳从东方升起 B. 掷一次骰子，向上的一面是 6 点
C. 经过某一有交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 从装有多个白球的箱子里取出两个红球
3.下列计算正确的是（ B ）
A. 5a 2a=3 B. (a2)3=a6 C. (2b)2=2b2 D. a6÷a2=a3
4.如图，直线 l分别交 AB、CD于点 E、F，若 AB∥CD，∠1=40 ，则∠2的度数为（ B ）
A. 120 B. 140 C. 150 D. 160
5.如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路。小丽站在点 A处，她觉得沿 AP走过斑马线到达马路边 BC更节省时间，这一想法体现的数学依据是（ D ）
A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线
C. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 垂线段最短
6.若 4x2+kx+9是完全平方式，则 k的值是（ B ）
A. 6 B. ±12 C. ±6 D. 6
7.如图，下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠4；③∠B=∠5；④∠1+∠ACE=180 ；⑤∠5=∠D。其中，能判定 AD∥BE的条件有（ C ）
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
8.为迎接春节到来，某商场规定：购物满 88 元以上都可以获得一次转动转盘的机会。当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得对应的奖品。转动转盘若干次，其中指针落入优胜奖区域的频率如图②所示，则转盘中优胜奖区域的圆心角∠AOB的度数近似为（ A ）
A. 72 B. 90 C. 54 D. 20
9.已知 (x+a)(x 2)=x2+x+b，则 a，b的值分别是（ D ）
A. a= 3，b= 6 B. a=3，b=6 C. a= 3，b=6 D. a=3，b= 6
10.根据 (x 1)(x+1)=x2 1，(x 1)(x2+x+1)=x3 1，(x 1)(x3+x2+x+1)=x4 1，(x 1)(x4+x3+x2+x+1)=x5 1...
...的规律，则 22025+22024+22023+...+23+22+21+1的个位数字是（ A ）
A. 3 B. 5 C. 7 D. 1
第 Ⅱ 卷 非选择题（共 110 分）
二、填空题（本题共 5 个小题，满分 20 分）
11. ( 2a2)3= ﹣8a6 。
12. 飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同。小亮每次投掷飞镖均扎在该飞镖游戏板上，且扎在飞镖板上任意点处的机会是均等的。则小亮随机投掷一次飞镖，飞镖扎在阴影区域的概率是 。
13. 如果一个角的余角比这个角少 30 ，则这个角的度数是___60___°。
14. 把一张长方形纸片 ABCD沿EF折叠后，D、C分别在M、N的位置上，EM与 BC的交点为 G，若 ∠EFG=63 ，则∠2= 126 °。
15.如图，AB∥CD，点E，F在直线AB上（F在E的左侧），点G在直线CD上，EH⊥HG，垂足为H，P为线段 EH上的一动点，连接GP，GF，∠FGH与∠BFG的角平分线交于点Q，且点Q在直线AB，CD之间的区域。下列结论：①∠BEH+∠DGH=90 ；②∠CGH+2∠FQG=270 ；③若 ∠PGH=3∠DGH，则3∠BEH+∠EPG=360 ；④若 ∠PGH=n∠DGH，则 ∠BEH+∠PGD=90 ，其中n为正整数。上述说法正确的是 ①②③④ （写出所有正确结论的序号）。
三、解答题（本题共 10 个小题，满分 90 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. （7 分）计算：( 1)2025+() 1 22 (π 4)0
=﹣1+3﹣4﹣1
=﹣3
17. （7 分）计算：(x+3)(x 3)+2(x2 2)
=x2﹣9+2x2﹣4
=3x2﹣13
18. （7 分）如图，若 ∠1+∠2=180°，∠B=∠C，那么 AB与CD平行吗？阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）。
解：∵∠1+∠2=180 （①___已知___），∠1+∠CGD=180 （平角的定义），
∴∠2=∠CGD（②___同角的补角相等___）。
∴CE∥③__BF____（④___同位角相等，两直线平行___）。
∴∠C=∠BFD（⑤___两直线平行，同位角相等___）。
∵∠B=∠C（已知），
∴∠B=⑥__∠BFD____（等量代换）。
∴AB∥CD（⑦___内错角相等，两直线平行___）。
19.（8 分）一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共10个，它们除了颜色外完全相同，其中黄球个数比白球个数的3倍少1个，从袋中摸出一个球是黄球的概率为0.5。
（1）袋中有黄球______个、白球______个；
（2）向袋中放入若干个红球，使摸出一个球是红球的概率为 0.5，求放入红球的个数。
（1）黄球 5个，白球 2个：设白球 x个
∴3x 1=5
解得：x=2
（2）设放入红球 y个，
=0.5
解得：y=4
20.（8 分）先化简，再求值：(x y)2+(10x2y 2xy2)÷(2y)，其中，x=1，y=2。
解原式=x2﹣2xy+y2+5x2﹣xy
=6x2﹣3xy+y2
将x=1，y=2代入原式得6×1﹣3×1×2+4=4
21.（9 分）如图是一个 5×5的方格纸，完成下列任务：
（1）过点 C画线段 AB的平行线 CE；
（2）过点 C画线段 AB的垂线，垂足为D；
（3）连接 AC和BC，若图中每个小正方形的边长为 1，则△ABC的面积是______。
（1）略
（2）略
（3）3.5
22.（10 分）如图，直线 AB、CD相交于 O，OD平分 ∠AOF，OE⊥CD于点 O，∠1=50 ，求 ∠COB、∠BOF的度数。
解：∵OE⊥CD，∠1=50
∴∠AOD=90 50 =40 ，∠COB=∠AOD=40
∵OD平分∠AOF
∴∠AOF=80
∴∠BOF=180 80 =100
23.（10 分）如图 1，在边长为 a的正方形中作一个边长为 b(a>b)的正方形，则余下的阴影部分拼成一个以 (a+b)为长、(a b)为宽的长方形，如图 2。
【探究】
（1）请列式表示：
图 1 中阴影部分的面积为______，
图 2 中阴影部分的面积为______；
根据两图中阴影面积相等，可以得到乘法公式是： 。
【应用】
（2）根据（1）中的公式解决如下问题：
①若a2 b2 =8，a b=2，则 a+b= ；
②计算：(3+1)(32+1)(34+1)(38+1) (31024+1)。
1）a2 b2；(a+b)(a b)；a2 b2=(a+b)(a b)。
（2）①a+b=4：
∵a2 b2=(a+b)(a b)=8，a b=2
∴a+b=4
②原式==
24.（12 分）规定两数 a，b之间的一种运算，记作 (a,b)：如果 ac=b，那么 (a,b)=c。例如：因为 32=9，所以 (3,9)=2。
（1）根据上述规定，填空：(2,8)= ；
（2）若 (5,x)=m，(5,y)=n，且m+n=3，求 xy的值。
（3）①若 (4,3)=a，(4,8)=b，(4,24)=c，请你尝试证明：a+b=c；
②进一步探究这种运算时发现一个结论：
(xn,yn)=(x,y)，结合①，②探索的结论，计算：(8,27)+(4,)= 。
（1）3：23=8，(2,8)=3。
（2）(5,x)=m，(5,y)=n，5m=x，5n=y，xy=5 m+n=53=125。
（3）①4a=3，4b=8
4a×4b=24=4c
∴a+b=c
②3：
(8,27)=(23,33)=(2,3)，(4,)=(2,)
(2,3)+(2,)=3
25.（12 分）已知直线 AB∥CD，在三角形纸板 EFG中，∠F=90 。
（1）将三角形 EFG按如图 1 放置，点E和点G分别在直线 AB、CD上，若∠DGF=25 ，则∠AEF=_____°；
（2）将三角形 EFG按如图 2 放置，点 E和点 G分别在直线 AB、CD上，GF交 AB于点H，若 ∠DGF=α，∠BEF=β。试求 α、β之间的数量关系；
（3）在图 2 中，若 ∠AEF=20 ，∠AEG=40 ，将三角形 EFH绕点 F以每秒 10 的速度顺时针旋转一周，设运动时间为 t秒。在旋转过程中，当旋转后的三角形EFH的一条直角边与 GE平行时，求出相应 t 的值。（直接写出答案）
（1）65
过 F作 FH∥AB
∴∠DGF=∠GFH=25
∴∠EFH=90 25 =65
∴∠AEF=∠EFH=65
（2）α+β=270
过 F作 FM∥AB
∴∠BEF+∠EFM=180 ，∠DGF+∠GFM=180
∵∠EFM+∠GFM=90
∴∠BEF+∠DGF=270
即 α+β=270
（3）t=2、11、20、29
当 EF边与 GE平行时t=2；
当 FG边与 GE平行时，t= =11；
继续旋转，t=20；t=29。