21.3，实际问题与一元二次方程
课时3 几何图形面积问题
1.在欧几里得的《几何原本》中，形如 2 + = 2( > 0, > 0)的方程的图解法是如图（1），
分别以 和 为直角边作 Rt△ ，∠ = 90 ,再在斜边上截取 = ，则 的长就是所
2 2
求方程的正根. 若关于 的一元二次方程 2 + 2 = 36，按照图（1）构造图（2），在 Rt△
中，∠ = 90 5，连接 ，若 △ = ，则 的值为( )
△ 8
A.8 B.5 C.2.5 D.5
4
图（1） 图（2）
2.将 2 张长为 ，宽为 ( > > 0) 的矩形纸片沿对角线剪裁后，和 2张边长为 的小正方形
纸片按如图的方式拼成一个边长为( + ) 的大正方形，若图中阴影部分的面积与空白部分的
面积之比为 1: 2，则 = ___.
（第 2题图）
3.如图，在 Rt△ 中，∠ = 90 ， = = 16 cm， 为 边上的高.动点 从点
出发，沿 → 方向以 2 cm/s 的速度向点 运动.设△ 的面积为 1，矩形 的面积为 2，
点 ， 分别在 ， 上，运动时间为 s(0 < < 8)，则 =___时， 1 = 2 2 .
19/89
4.如图，老李想用长为 70 m 的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙长为 35 m)围成一个矩形羊圈
，并在边 上留一个 2 m 宽的门（建在 处，另用其他材料）.
（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为 640 m2 的羊圈？
（2）羊圈的面积能达到 650 m2 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说
明理由.
5.核心素养 模型观念［较难］已知在长方形纸片 中， = 6， = 5 ，现将两个边长
分别为 和 的正方形纸片按图（1）、图（2）两种方式放置（图（1）、图（2）中两张正方
形纸片中均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图（1）
中阴影部分的面积为 1 ，图（2）中阴影部分的面积为 2，若 2 1 = 3，则 =___；在上述
条件下，在边长为 的大正方形纸片的左上角摆放一个边长为 的小正方形纸片，如图（3），
若 1 = 8 ，则图（3）中阴影部分的面积 3 = ___.
图（1） 图（2） 图（3）
20/89课时 3 几何图形面积问题
1.C
2.5
3.6
4，(1) 【解】根据题意，得 (72 2 ) = 640，化简，得 2 36 + 320 = 0 ，
解得
1 = 16， 2 = 20，当 = 16时，72 2 = 72 32 = 40 > 35,舍去；当 = 20
时，72 2 = 72 40 = 32 .
答：当羊圈的长为32 m，宽为20 m时，能围成一个面积为640 m2 的羊圈.
（2）【解】不能，理由：由题意，得 (72 2 ) = 650 ，化简，得
2 36 + 325 = 0，Δ = ( 36)2 4 × 325 = 4 < 0，∴ 一元二次方程没有
实数根,∴ 羊圈的面积不能达到650 m2 .
13
5，3 ，
2
【解析】根据题意得 1 = 长方形 大正方形 小正方形 + 大、小正方形重叠部分 ，
∴ = 6 × 5 2 2 + ( + 6) = 21 + 6 + 30 .同理可得，
2 =
2
长方形 大正方形 小正方形 + 大、小正方形重叠部分 ，∴ 2 = 6 × 5
2 + ( + 5) = 2 + 5 + 30 , ∴ = ( 22 1 + 5 + 30)
( 2 + 6 + 30) = .又∵ 2 1 = 3 ，∴ = 3.又∵ 1 = 8，∴
2 +
6 + 30 = 8.将 = 3 代入 2 + 6 + 30 = 8，得 2 + 3 6 × 3 + 30 =
8,即 2 3 4 = 0 ，解得 1 = 4, 2 = 1（舍去），∴ = 4 .根据题意，得 3 =
2 2
1
大正方形 + 小正方形 左上空白直角三角形 右下空白直角三角形，∴ 3 = + ( 2
1 2 1+ ) = 2
1 2 1 1 2 1 1 13+ = × 4 + × 32 × 4 × 3 = .故答案为3，
2 2 2 2 2 2 2 2
13
2
9/42
