2025年高考数学考前回归教材练习2（含解析）

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2025届高三二轮复习——回归教材+真题专题（2）
专题介绍;本专题的指导思想是立足教材典题、研做高考真题，认真落实考教衔接.专题分：回归教材、研做高考、跟踪练习”
【回归教材】
1、人教A版2019年选择性必修二P104第13题：已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，求a的值
2、人教B版2019年选择性必修三P102习题习题6-2B第4题：已知函数的图象与直线有3个不同的交点，求实数的取值范围。
3、人教B版2019年选择性必修三P102习题习题6-2B第6题：已知函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围。
【研做高考】
1、2024年新课标全国Ⅰ卷数学第7题：当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
2、2024年新课标全国Ⅱ卷数学第6题：设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
3、2023年全国甲卷数学理、文科第10题：已知为函数向左平移个单位所得函数，则与的交点个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4、2023年新课标全国Ⅱ卷数学第16题：16. 已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则______．
5、2024年全国甲卷数学文科第14题：曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ．
6. （2012年天津市理科）已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点，则实数的取值范围是 .
7、（2021·全国甲卷理科数学第21题）已知且，函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．
【跟踪练习】
1．函数的图象和函数的图象的交点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知定义在上的偶函数，且在上满足，若的图象与函数的图象有4个不同的交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．设函数，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
4．已知函数与有恰有四个交点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．当时，函数与的图象有4个交点，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．若直线与函数的图象恰有三个交点，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．无法确定
7．已知函数满足，且当时，，则函数与的图象的交点个数为_______________.
8．已知函数，记，若与的图象恰有两个不同的交点则实数的取值范围是 .
9．若函数的图象与直线有两个交点，则的最小值为 .
10．已知且，函数，若曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围.
11．已知函数是偶函数.
(1)求的值；
(2)设函数，其中，若函数与的图象有且只有一个交点，求的取值范围.
1、【答案】或
【解析】由已知得的导数为y′＝1，曲线在x＝1处的切线斜率为k＝2，
则曲线在x＝1处的切线方程为y﹣1＝2x﹣2，即y＝2x﹣1．由于切线与曲线只有一个公共点，可联立y＝2x﹣1，
得①有且只有一解，当时①式变为,则，方程①有且只有一解，符合题意;当时，则,，解得,综上，或.
【答案】3、【答案】
研做真题
1、【答案】C
【解析】因为函数的的最小正周期为，:函数的最小正周期为，
所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6个交点.
2、【答案】D
【解析】解法一：令，即，可得，
令，原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点，注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，可得，即，解得，若，令，可得，因为，则，当且仅当时，等号成立，可得，当且仅当时，等号成立，则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点，所以符合题意；综上所述：.
解法二：令，原题意等价于有且仅有一个零点，因为，则为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即，解得，若，则，又因为当且仅当时，等号成立，可得，当且仅当时，等号成立，即有且仅有一个零点0，所以符合题意；故选：D.
3、【答案】C
【解析】因为向左平移个单位所得函数为，所以，而显然过与两点，作出与的部分大致图像如下，
考虑，即处与的大小关系，
当时，，；当时，，；当时，，；所以由图可知，与的交点个数为.
4、【答案】
【解析】设，由可得，由可知，或，，由图可知，，即，．因为，所以，即，．所以，所以或，又因为，所以，．
5、【答案】
【解析】令，即，令
则，令得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，因为曲线与在上有两个不同的交点，所以等价于与有两个交点，所以.
6、【答案】。
【分析】函数，
当时，，
当时，，
综上函数。
作出函数的图象，要使函数与有两个不同的交点，则直线必须在蓝色或黄色区域内，如图，此时当直线经过黄色区域时，满足，当经过蓝色区域时，满足，综上实数的取值范围是。
7、【答案】（1）上单调递增；上单调递减；（2）.
【解析】（1）当时，,
令得,当时，,当时，,
∴函数在上单调递增；上单调递减；
（2）,设函数,
则,令，得,在内,单调递增；在上,单调递减；,又，当趋近于时，趋近于0，
所以曲线与直线有且仅有两个交点，即曲线与直线有两个交点的充分必要条件是,这即是,所以的取值范围是.
跟踪练习
1、【解析】如图，作出函数与的图象，由图可知，两个函数的图象有3个交点.
2、【答案】C
【详解】由是上的偶函数，则函数图象关于轴对称.
如图，作出函数的图象，要使函数的图象与其有4个不同的交点，则，解得.
3、【答案】C
【详解】令，即，可得，令，原题意等价于曲线恰有一个零点，又，即函数为偶函数，可知零点只能是，可得，即，解得，经检验符合题意.综上所述：．
4、【答案】B
【详解】由题意知为分段函数，在时为函数，在时为绝对值函数.
①如果，则，与只有一个交点，不符合题意；
②如果，则函数为双刀函数，在时单调递增，此时位于轴下方，与只有一个交点，不符合题意；
③如果，则函数为对勾函数，在第一象限的最小值为，绝对值函数与轴相交于点，此时经过点.如果经过点，即，解得，即当时，恰好与有三个交点.要使得存在四个交点，则，解得，画出图象如图所示，满足题意.
5、【答案】B
【详解】对于A，当时，函数与在内的图象如图，它们有2个交点，A不是；
对于B，当时，函数与在内的图象如图，它们有4个交点，B是；
对于C，当时，函数与在内的图象如图，它们有6个交点，C不是；
对于D，当时，函数与在内的图象如图，它们有8个交点，D不是.
6、【答案】B
【详解】由题意知直线过定点，函数满足
，所以函数的图象的对称中心为，不妨设关于对称，则，所以．
7、【解析】由，可得，故是以2为周期的周期函数，作出函数与的图象，如图所示，可知函数与的图象的交点个数为4.
8、【答案】
【分析】根据给定条件，求出函数，作出函数的图象，结合图象求出的范围.
【详解】由，即，则或，解得或，由，解得或，令，则，
在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，

观察图象知，当或时，直线与函数的图象有2个交点，所以实数的取值范围是或.
9、【答案】3
【分析】先由基本不等式得出，当且仅当时，的图象与直线有两个交点，所以的最小值为.
【详解】函数是偶函数，且，
当且仅当时等号成立，此时，因为的图象与直线有两个交点，所以的最小值为.
10、【答案】
【详解】曲线与直线有且仅有两个交点，可转化为方程有两个不同的解，
方程，化为，两边取对数得，即，即方程有两个不同的解.令，则，令，解得，当时，,此时单调递增；当时，，此时单调递减.故，且当时，，又，所以，解得或，故的取值范围是.
11、【答案】(1)；(2)
【分析】（1）利用偶函数的性质即可得解；
（2）设转化为方程在上只有一个解，分类讨论即可.
【详解】（1）函数是偶函数，故，
即，即，，故.
（2）因为，，故，
若函数与的图象有且只有一个交点，
即在上只有一个解，故，
即，即，设
故只有一个解，即，
当时，，则，不符合，故舍去；
当时，函数的对称轴为，
故在单调递减，且，故方程在无解；
当时，函数的对称轴为，且，，故方程在上有唯一解，符合题意，
综上所述，的取值范围是.
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