2024-2025学年度邱县一中数学4月检测
考试范围：必修二——线面垂直；考试时间：120分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．已知复数满足（其中为虚数单位），则的虚部是（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，若，则实数（ ）
A． B． C． D．
3．下列命题正确的是（ ）
A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B．若直线平面，直线平面，则∥
C．直线与平面所成角的取值范围是
D. 若直线与平面所成的角为，直线与平面上的直线所成的角为，则总有
4．长方体中，，与平面所成角为，
则四棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．下列命题正确的是（ ）
A．锐角三角形中，若，则角取值范围为。
B. 在三角形ABC中，若，则这个三角形是等腰直角三角形。
C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D．若直线上有两个点到平面的距离相等，则∥；若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行。
6．已知球的表面积为，一圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，且下底面过球心，
母线与下底面所成角为，则该圆台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
7．如图△ABC中，∩ CE=，则
（ ）
A． B． C． D．
8．直角梯形ABCD中，，，，
点为中点，在边上运动（包含端点），
则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列命题正确的（ ）
A．若，，，则
B．若，，，，则
C．非零复数z1，z2对应的向量分别为为和，若，则
D．若，则的最小值为5
下列命题正确的（ ）
A．已知向量，若，则等于
B．△ABC中，已知，，若三角形有唯一解，则整数可以为1,2,4.
C．在中，为常数，若，且，则的面积取最大值时，
D．在中，，，设是的内心，若，则
11．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，
平面，，，.则（ ）
A．球的表面积为 B．异面直线与所成角的正切值为
C．平面截球所得截面的面积为 D．点到平面的距离为
第II卷（非选择题）
三、填空题
12．如图是一个水平放置的平面图形的直观图，它是一个底角为，腰和上底均为1，下底为的等腰梯形，那么原平面图形的面积为 .
13．如图在平面四边形中，，点在线段上满足，若，则 ．
14.四点共圆是平面几何中一种重要位置关系，古希腊数学家对凸四边形（是指没有角度大于180°的四边形）进行研究时，分别总结出如下结论：
①（托勒密定理）任意凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时等号成立．②（婆罗摩笈多面积定理）若给定凸四边形的四条边长，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时，四边形的面积最大．
根据上述材料，如图，在凸四边形中，若，，，求四边形面积取得最大值时角的大小为___________，并求出此时四边形的面积为___________．
四、解答题
15．已知，记在方向上的投影向量为．
(1)求的值；（5分）
(2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围．（6分）
(3)已知，求与共线的单位向量的坐标.（2分）
16．如图，在四棱锥中，，，
，设，，分别为，，的中点，
(1)证明：平面；(2)证明：平面平面.
17．在中，角的对边分别为，且.
(1)求； (2)若，点在边上，且是的平分线，求的面积.
18．如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，
，，.
(1)求证：; (3分)
(2)求证：平面； (6分)
(3)求直线与平面所成角的 正切值. (8分)
19.射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，光从点出发，平面内
四个点经过中心投影之后的投影点分别为.对于四个有序点，
若，，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作.
(1)若点分别是线段的中点，求；(3分)
(2)当时称为调和点列，若，求值；(6分)
(3)已知，且，点为线段的中点，，，求，，(8分)2024-2025学年度高中数学4月检测答案
1——8 DABB CBBA 9 ABC 10 BCD 11 AD
3.【详解】A:若两条直线和同一个平面所成的角相等，这两条直线可能相交、平行或异面，故A错误；
B：两直线同时垂直于同一平面，根据线面垂直的性质知：两直线平行，对；
C：线面角范围为， .D：根据线面角定义可得直线与平面内的直线所成最小角为，.
4.【详解】在长方体中，平面，则与平面所成的角为，从而，因为，在直角中，根据，，可得，， 平面，∴，故选：B．
5.【详解】A选项，由正弦定理得：，所.
又锐角三角形中，，则，即.
所以，∵锐角三角形，∴，解得.故A错。
B选项，由正弦定理，得，，由正弦定理，得，
即．解得或，所以三角形是等腰三角形或直角三角形.
C选项，若一条直线平行于两个相交平面，则由直线与平面平行的性质定理知这条直线与这两个平面的交线平行，故C正确；
D选项：直线上有两点到一个平面的距离相等，直线可能与平面平行、相交或直线在平面内，错；
若三点共线或三点在平面的两侧则这两个平面不平行，故D错误；
6.【详解】如图：设球的半径为，由题意可得，所以是等边三角形，
所以，所以，，解得，
所以，所以，
所以圆台的侧面积为.故选：B.【答案】B
7.【详解】因为、、三点共线，，所以，
又因为，所以，
设，则，即，消可解得，
所以，所以，所以，
又，所以，所以.故选：B.【答案】B
9.【详解】由两个平面的公共点必在其交线上，故A正确．
，，则，由直线a与点P确定唯一平面，由a与b确定唯一平面，
且该平面经过直线a与点P，所以该平面与重合，则，故B正确；
C项，由知，以为邻边平行四边形为矩形，故C正确.
D项，表示对应点与点距离为，轨迹为圆，如图
表示对应点与点距离，
结合图象可知，的最小值为，所以D选项错误.故【答案】为：ABC
10.【详解】A.因为，所以，
因为，所以，所以，A错误
B.由正弦定理，得，则，
由于有唯一解，则或，解得或，
所以整数构成的可以为1，2，4.故B正确
C.在中，由及余弦定理，得，即，则，
又，则有，即，又，因此，
则，当时取等号，∴面积取最大值时．故C正确
D.以的中点为坐标原点，建立如下图所示的坐标系：
设内切圆的半径为，则，解得
故，则
因为，所以，
即，解得，故. 故【答案】BCD
11.【详解】因为，，所以的外接圆的半径，
又平面，，将三棱锥放入长方体中，
对于A，长方体的体对角线长为，
故外接球的半径为，故表面积为，A正确，
对于B，或其补角为异面直线与所成角，
由于平面，平面，故，故，故B错误，
对于C，，，，
故的外接圆半径为，
故的外接圆的面积为，故C错误，
D:
，
（为AD设点到平面的距离）故D正确。故选：AD.【答案】
12.【详解】平面图形为直角梯形，直腰长2，上底为1，下底为.为【答案】
13.【详解】以A为原点建立图示平面直角坐标系，不妨设，则
，，过D作轴于F，，
，所以，
，，，
因为，所以，
所以，，解得：，则的值为. 故【答案】为：/
14.【详解】由材料可知，当 A、B、C、 四点共圆时，四边形的面积达到最大．
连接，在中，由余弦定理得：
，①
在 中，由余弦定理得：，②
因为 A、B、C、 四点共圆，所以，
从而，③
由①②③，解得 ，因为，所以 ．
从而，
，所以 ．
15.【详解】（1）与的夹角为，．
，且与不能共线，即，
当与共线时，设，得. 且．
（3），，所求单位向量坐标为:或
16.【详解】（1）在四棱锥中，连接，由，分别为，的中点，得，
而，，则，四边形为平行四边形，
因此，而平面，平面，所以平面.
（2）由是中点，而为中点，则，
又平面，平面，于是平面，
由（1）知，，而平面，平面，
因此平面，又平面，
所以平面平面.17.【详解】（1）由，得，
解法一：由正弦定理得，
又中，，所以，
∴，
于是，
又，所以，又，∴.
（2）由是的平分线，得，
解法一：，又，
所以.
解法二：由得.
即，解得，
所以.
18.【详解】（1）由多面体的定义知，四点共面，四点共面，
因为，平面，平面，所以平面，
又因为平面，且平面平面=，所以.
（2）取的中点，连接，则，
由（1）知，所以，又因为，所以四边形是平行四边形，
得到，且，在中，，
又，得，所以，
在中，，，，所以，所以，即，
又因为四边形是正方形，所以，
又，FB，平面，所以平面.
（3）连接，与相交于点，则点是的中点，
取的中点，连接，，则，，
由（1）知，且，所以，且，
所以四边形是平行四边形，所以，且，
由（2）知平面，又平面，所以，
又因为，平面，平面，
所以平面，故平面，
又平面，所以， （直接用勾股定理AO +OE =AE 得出更简单）
又因为，平面，平面，
所以平面，故是直线与平面所成的角，
在中，，所以直线与平面所成角的正切值为.
19.【解析】（1）由已知，，所以.
（2）由知：两点分属线段内外分点，
不妨设，，则，，
由知：，，，即.
（3）方法一：由，可得，即，所以，
又点B为线段AD的中点，即，所以，又，所以，，，
又已知，所以.
设，，由，得，
即，解得，…①
在中，由正弦定理可得，得，…②
在中，由正弦定理可得，得，…③
又，得，即，…④
由①④解得，（负值舍去），即，，
所以.
方法二：因为，所以，设，则，
又B为线段AD的中点，所以，
又已知，，所以，
所以，得，所以，，
由，得，
所以，设，则，
由，互补得，即，
解得，所以，，所以
