山东省菏泽外国语学校2024-2025学年高一下学期 数学期中模拟试卷（含解析）

2024-2025学年高一下学期期中模拟卷
高一数学
第I卷（选择题）
一 单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）
1．若，则复数的虚部为（ ）
A． B．1 C． D．
2．在复平面内，复数所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知复数z的实部大于等于1，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，满足，，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，则（ ）
A． B．
C． D．
6． △ABC的内角，，的对边分别为，，，且，则为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，，则（ ）三点共线
A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D
8．如图，在△ABC中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（ ）
A．2 B．8 C．9 D．18
二 多项选择题：（本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的 得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
9．已知复数，则下列命题一定成立的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C． D．
10．下列关于平面向量的说法中不正确的是（ ）
A．已知，均为非零向量，则存在唯一的实数，使得
B．若向量，共线，则点，，，必在同一直线上
C．若点为的重心，则
D．若且，则
11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则△ABC是锐角三角形
C．若，，，则符合条件的△ABC有两个
D．对任意△ABC，都有
第II卷（非选择题）
三 填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．在△ABC中，角所对的边分别为，，，，若三角形有两解，则实数的取值范围是 .
13．设为实数，且，虚数为方程的一个根，则的值为 .
14．复数满足，则 ， ．
四 解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（13分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求△ABC的面积；
(2)若，求b．
（15分）如图，我国南海某处的一个海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C相距都为5海里，与小岛D相距为海里．为钝角，且．
(1)求小岛A与小岛D之间的距离；
(2)已知与互补，求四个小岛所形成的四边形的面积．
17．（15分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若，求△ABC面积的最大值．
18．（17分）在锐角三角形中，分别为内角所对的边，且.
(1)求角；
(2)若，求△ABC周长的取值范围.
19．（17分）已知向量，向量与向量的夹角为，且.
（1）求向量；
（2）设向量，向量，其中，若，试求的取值范围.
《2025年4月17日高中数学作业》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C B A B A C AC BD
题号 11
答案 ABD
1．B【分析】由复数的除法得到代数形式，即可求解；
【详解】由，可得：，所以复数的虚部为1. 故选：B
2．D
【分析】利用乘法和除法法则计算. 【详解】，
所以复数所对应的点位于第四象限. 故选：D.
3．C
【分析】由题意设出复数的标准式，由复数除法可得复数的标准式，结合题意可得点的轨迹方程，根据复数的模长公式，结合两点之间的距离公式，利用圆外一点到圆上点距离的最值，可得答案.
【详解】设，则，
由题意可得，整理可得，
因此，点在以为圆心，半径为的圆上及圆内，
则，
上式可表示点到的距离，易知最小值为点到圆心的距离减去半径，
即为. 故选：C.
4．B 【分析】利用投影向量的计算公式，可得答案.
【详解】解：在上的投影向量的坐标为 故选：B.
5．A【分析】由向量的加减法，和数乘运算法则直接求解即可.
【详解】因为是对角线上靠近点的三等分点， 所以，
则. 故选：A
6．B【分析】由正弦定理化角为边化简可得，再结合余弦定理求即可.
【详解】由正弦定理和，可得，
所以，所以，由余弦定理，可得，
因为，所以. 故选：B.
7．A【分析】利用平面向量的线性运算及平面向量共线定理对四个选项依次判断即可.
【详解】对于A，因为，
所以，所以A、B、D三点共线，故A正确；
对于B，因为，，
所以不存在，使得，所以A、B、C三点不共线，故B错误；
对于C，因为，，
所以不存在，使得，所以B、C、D三点不共线，故C错误；
对于D，因为，，
所以不存在，使得，所以A、C、D三点不共线，故D错误. 故选：A.
8．C 【分析】由向量加法及数乘的几何意义得，再由向量共线的结论有，最后应用“1”的代换及基本不等式求最小值.
【详解】由题意，，又共线，则，
且，所以，
当且仅当时取等号，即的最小值为9. 故选：C
9．AC 【分析】根据共轭复数的概念和复数的四则运算，结合复数模的计算及性质，逐项判断即可.
【详解】设，则.
对于A：，若，则，
所以，即，故A一定成立；
对于B：，若，则①，
，同理，
若，则需满足且，与①式不同，故B不一定成立；
选项C：，
，
所以，故C一定成立；
选项D：②，
，与②式不同，故D不一定成立.
故选：AC
10．BD 【分析】对于A，由平面向量共线定理判断；对于B，举例判断；对于C，由三角形重心的性质判断；对于D，举例判断
【详解】解：对于A，由平面向量共线定理可知是正确的，所以A正确；
对于B，如图在平行四边形中，，共线，但点，，，不共线，所以B错误；
对于C，延长交于，因为点为的重心，所以,，所以，所以C正确；
对于D，当时，， 但不一定相等，所以D错误，
故选：BD
11．ABD
【分析】由正弦定理边角转化可判断A；根据两角和的正切公式结合三角形内角和定理可判断B；由正弦定理及三角形性质可判断C；由三角形内角性质及余弦函数单调性可判断D.
【详解】对于A选项，由，根据正弦定理得，（为外接圆半径），即，则，
故A正确；
对于B，，所以，
所以，
所以三个数有个或个为负数，又因最多一个钝角，
所以，即都是锐角， 所以一定为锐角三角形，故B正确；
对于C，由正弦定理得，则，
又，则，知满足条件的三角形只有一个，故C错误；
对于D，因为，所以，又函数在上单调递减，
所以，所以，故D正确； 故选：ABD
12． 【分析】利用余弦定理整理可得，构建，可知在内有2个零点，结合二次函数零点分布运算求解.
【详解】由余弦定理可得，即，
整理可得，
构建，可知在内有2个零点，
则，解得， 所以实数的取值范围是.
13．1【分析】由复数与共轭复数的意义可知，方程的两个根为和，再设出复数，结合韦达定理和复数运算解出模长即可.
【详解】由题意可知虚数为方程的一个根，也为方程的一个根，所以，
设，则，， 所以， 故答案为：.
14．
【分析】复数域内解方程，结合方程思想降次化简计算即可.
【详解】由题意可知是在复数域内的两个根，根据韦达定理有；
因为满足，所以，，
则
，
当时，，
当时，，
综上.
故答案为：；.
15．(1) (2)
【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可；
（2）由正弦定理得，即可求解.
【详解】（1）由题意得，则，
即，由余弦定理得，整理得，则，又，
则，，则；
（2）由正弦定理得：，则，则，.
16．(1)2海里；(2)18平方海里.
【分析】（1）根据题意得出各边长和，利用余弦定理可解出的长；
（2）利用余弦定理求出的长，再利用三角形面积公式求出两个三角形的面积，相加即为所求四边形面积.
【详解】（1）由题意，，且为钝角，
在中，由余弦定理，，
得，解得或（舍去）.
故，小岛A与小岛D之间的距离为2海里.
（2）由题意，.
在中，由余弦定理，，
得，解得或（舍去）. 故.
所以
所以，四个小岛所形成的四边形的面积为18平方海里.
17．(1) (2)
【分析】（1）利用正弦定理、诱导公式、二倍角公式化简计算即可；
（2）利用余弦定理、三角形面积公式、基本不等式计算即可.
【详解】（1）因为，
所以，
易知，则，即，
则或，所以或（舍去）， 故；
（2）由余弦定理知，即，当且仅当时取得等号，
所以， 即面积的最大值为.
18．(1) (2)
【分析】（1）首先边化角，然后利用三角形内角和定理、三角恒等变换、诱导公式化简等式即可得出答案；
（2）把的周长写成关于角的表达式，根据（1）的结论及为锐角三角形得到的范围，最后结合正切函数的图象与性质求得结果.
【详解】（1）由题意得，
则由正弦定理得，
由于，所以，
所以，所以.
由于，所以，得.
又，故.
（2）根据，得，，
则的周长为
，
由为锐角三角形，得，所以，
则，，
所以，
故周长的取值范围是.
19．（1）或（2）
【分析】（1）设向量=（x，y），由已知中向量=（1，1），向量与向量夹角为，且=﹣1．根据向量数量积的运算法则，可得到关于x，y的方程组，解方程可得向量的坐标；（2）由向量=（1，0）向量，其中(，)，其中，，若＝0，我们可以求出2的表达式，利用三角函数的性质可得的取值范围．
【详解】（1）设向量=（x，y），∵向量=（1，1），
则=x+y=﹣1…①=|| || cos=﹣1，
即x2+y2=1
解得x=0，y=﹣1或x=﹣1，y=0
故=（﹣1，0），或=（0，﹣1），
（2）∵向量=（1，0），⊥，则=（0，﹣1），
又∵向量=（cosx，cos2（﹣）），
∴+=（cosx，cos2（﹣）﹣1）=（cosx， ），
则|+|2=cos2x+=cos2x-sinx+=- ，
∵，，， |+|2
故|+|≤
【点睛】本题考查的知识点是平面向量的综合题，其中熟练掌握平面向量的数量积公式，模的计算公式，最后转化成二次函数在上求最值是解答本题的关键，属于中档题.