2024~2025学年第二学期福建省部分优质高中期中联考
高一数学参考答案
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D C D D C A B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
题号 9 10 11
答案 BC ABD ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 13． 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
解：（1）因为，
所以，
所以，
由正弦定理可得，
因为，所以，
所以，
所以，
所以，
又因为，
所以；
因为，且，
所以由余弦定理，
可得，
所以，，
所以的面积为．
（15分）
（1）由题意知：，，．
在中，由余弦定理得：，
由正弦定理得：，
解得：，
．
则刚发现走私船时，走私船距缉私艇海里，在缉私艇的西南方向上．
（2）如图，
设小时后缉私艇在处追上走私船，
则，，．
在锐角中，由正弦定理得：，
解得：，
则，
．
，
在中，由正弦定理得：，
即，
解得：，
则缉私艇至少需要小时才能追上走私船．
17.（15分）
解：（1）由题意，选择模型①，
将，分别代入①式可得：
，
解得，，
所以，也满足该式.
当时，，
即按该模型预测，该视频号2028年的观看人次达到80.5（单位：十万人），
所以2028年该视频号观看人次能超过80（单位：十万人）.
（2）（i）由题意，选择模型②，
将，分别代入②式可得：，
解得，，
所以，，均满足该式.
（ii）该视频号观看人次超过200（单位：十万人），
即不等式，
所以，
不等式两边同时取常用对数得，，
所以，
即按（i）中求得的函数模型变化，估计最快到2027年，该视频号运营团队能被评为“优秀文化传播集体”.
18.（17分）
解：（1）依题意，得是单位向量，且夹角为，
所以，
而，
，
则.
（2）因为，
所以，，
所以，
则四边形是平行四边形，
所以，
因为分别是的中点，
所以，
所以，，
因为
，
则，
所以，；
（3）由（2）知，，
因为点在线段上运动，
所以设，其中，
因为，
所以，
所以，
因为不共线，
则，解得，
所以，
因为，所以当时，取得最大值3.
（17分）
（1）解：若为定义在区间上的“1阶增函数”，
可得对任取，均有，
可知为上的严格增函数，
所以.
（2）证明：因为为定义在区间上的“1阶增函数”，且，
则，
即，.
可得，
所以.
解：假设存在，使，
则，
因为为定义在区间上的“2阶增函数”，
则对任意的，都有，
令，
则对任意的，都有，与有上界矛盾，
若“2阶增函数”有上界，
则对任意，都有.
假设存在，使，
则对任意的，都有，故，矛盾，
所以“2阶增函数”有上界，都有恒成立，即存在均满足题意，
假设存在符合题意，
例如，
则在上是严格增函数，
且，则是有上界的“2阶增函数”.
但当时，有，矛盾，
所以的取值范围为，即的最小值为0.
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试题资源网-科技(北京)有限公司2024~2025学年第二学期福建省部分优质高中期中联考
高一数学试卷
（完卷时间：120分钟；满分：150分）
注意事项：
1．答题前，考生务必在答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．答题时，选择题部分用2B铅笔填涂。非选择题部分用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答。在试题卷上答题无效。
3．考试结束，考生上交答题卡，试卷带回自行保管。
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1．复数满足等式，则复数在复平面内对应的点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．在中，，分别是边，的中点，点满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．下面关于空间几何体叙述不正确的是（ ）
A．正四棱柱都是长方体
B．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆柱的母线
C．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
D．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱
4．“”是“是纯虚数”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充要
5．已知函数，下列四个结论中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于直线对称
C．函数的图象关于点对称 D．函数在上单调递增
6．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水体积为盆体积的一半，则平地降雨量约是（ ）寸.（结果四舍五入取整数）
（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，正方形的边长为分别为边上的点，
则下列说法错误的是（ ）
A．若，则以为圆心，半径为1的圆与相切
B．若，则面积的取值范围是
C．若点与点重合，周长为4，则
D．不可能小于
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．若向量，则（ ）
A． B． C．在上的投影向量为 D．与的夹角为
10．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．时，
B．函数的值域为
C．若方程有两个不相等的实数根，则
D．函数有个零点
11．如图，正三棱台的上下底面边长分别为3和6，侧棱长为3，则下列结论中正确的有（ ）
A．过AC的平面截该三棱台所得截面三角形周长的最小值为
B．棱长为的正四面体可以在该棱台内随意转动
C．直径为的球可以整体放入该三棱台内（含与某面相切）
D．该三棱台可以整体放入直径为的球内
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．如图所示，一个水平放置的斜二测画法画出的直观图是，其中为平行四边形，则原的周长是 ．
13．一个圆柱的外接球的体积为，该圆柱的轴截面是一个正方形，则该圆柱的底面面积为 ．
14．若为虚数单位，复数满足，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
（1）求角；
（2）若，且，求的面积．
16．（15分）
如图，在海岸边的观测站点发现南偏西方向上，距离点海里的处有一艘走私船，立刻通知了停在的正东方向上，且距离点海里的处的缉私艇，缉私艇立刻以海里/时的速度追截走私船，此时，走私船正以海里/时的速度从处向正南方向逃窜．
（1）刚发现走私船时，走私船距离缉私艇多远，在缉私艇的什么方向？
（2）缉私艇至少需要多长时间才能追上走私船？
17．（15分）
为积极响应上级号召，坚定“四个自信”中的文化自信，某市电视台于2021年年初开通了“优秀传统文化”视频号，并组织专业团队运营，由于内容丰富多彩，该视频号受到广大群众的喜爱，关注度也逐年增加，以2021年作为第1年，运营团队在每年年底利用数据监测系统对该视频号本年度的观看人次统计如下表：
第年 1 2 3 4
观看人次（十万） 35 40 58 67
为了描述年数与第年该视频号观看人次（单位：十万）的关系，现有以下三种模型供选择：
①；②；③.
（1）由于视频号初创，监测系统对2021年的数据统计不准确，导致该组数据不宜使用，请从①②③中选出一个合适的模型，并求相应的函数解析式，并根据这个模型预测2028年的观看人次能否超过80（单位：十万）；
（2）为更好的运营视频号，吸引更多的观看者，2025年年初，运营团队加大投入，引进了最新数据监测系统，经该系统分析，2021年的观看人次修正为28（单位：十万），2024年的观看人次修正为85（单位：十万）
（i）根据修正后的数据，请从①②③中选择合适的模型，并求相应的函数解析式；
（ii）按上级规定，“优秀传统文化”类视频号当年观看人次超过200（单位：十万），其运营团队可被评为“优秀文化传播集体”荣誉称号，根据（i）中所求函数模型，试估计该视频号运营团队最快到哪一年就能被评为“优秀文化传播集体”？（参考数据：，，.）
18．（17分）
如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作.在此坐标系中，若，分别是的中点，分别与交于两点.
（1）求；
（2）求的坐标；
（3）若点M在线段上运动，设，求的最大值.
19．（17分）
已知函数的定义域为D，对于任意，均有，则称为定义在D上“p阶增函数”
（1）若，函数为定义在区间上的“1阶增函数”，求实数的取值范围
（2）若为定义在区间上的“1阶增函数”，且，其中，求证：
（3）如果存在常数，对于任意，都有，则称在D上有上界，问：是否存在常数M，使得对于所有定义在区间上且有上界的“2阶增函数”，都有，若存在，求：M的最小值；若不存在，请说明理由.
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