云南省昆明市云南民族中学2024-2025学年高一下学期期中考试 数学试卷（含解析）

2027届云南民族中学高一期中考试高一数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则
A. B. C. D.
2.已知，均为非零向量，其夹角为，则“”是“”的
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.在三棱锥中，，，，点在平面上投影为，则三棱锥的外接球的表面积为
A. B. C. D.
5.中国宋代数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个边长分别为，，的三角形，其面积可由公式求得，其中，这个公式也被称为海伦秦九韶公式，现有一个三角形的三边长满足，，则此三角形面积的最大值为
A. B. C. D.
6.已知且，下列有关函数的相关命题，正确的个数是
函数的周期为
函数的一个对称中心为
函数的单调递减区间为
若函数在区间上是单调函数，且，则的值为或
A. B. C. D.
7.高德纳箭头表示法是一种用来表示很大的整数的方法，它的意义来自乘法是重复的加法，幂是重复的乘法定义：从右往左计算已知可观测宇宙中普通物质的原子总数约为，则下列各数中与最接近的是参考数据
A. B. C. D.
8.在自然界中，对称性无处不在．从蝴蝶翅膀的美丽图案到雪花晶体的完美结构，对称性展现了自然界的和谐与平衡．数学作为描述自然规律的语言，同样充满了对称之美．函数图像的对称性，例如轴对称和中心对称，关于函数的相关对称性质是数学中研究的重要概念．已知函数，使得不等式成立的实数的取值范围为
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.记的三个内角、、所对的边分别为、、，已知，则下列结论正确的是
A. 一定是钝角三角形 B.
C. 角的最大值为 D.
10.下列说法中正确的是
A. 已知向量，满足，，且，的夹角为，则的最小值是
B. 已知，，是不在同一直线上的三个点，是平面内一动点，若，，则点的轨迹一定过的重心
C. 已知，，则的最大值为
D. 平面向量，，满足，，则的最小值是
11.已知函数，的定义域均为，且，，若的图象关于直线对称，则以下说法正确的是
A. 为奇函数
B.
C. ，
D. 若的值域为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在边长为的正方形中，，，以为圆心，为半径作半圆与交于，两点，如图所示点为弧上任意一点，向量最大值为______．
13.已知单位向量，满足，则与的夹角为______．
14.已知函数，对任意恒有，则函数在上单调增区间 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，C.
若，，求的面积；
若角的平分线与的交点为，，求的最小值．
16.本小题分
在平面直角坐标系中，对于非零向量，，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道，平行的充要条件为．
已知，，求；
在中，，，角的平分线与交于点，且，若，求．
17.本小题分
摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，均匀设置了依次标号为号的个座舱开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动后距离地面的高度为，转一周需要．
求游客甲在开始转动后距离地面的高度；
求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；
若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差单位：关于的函数解析式，并求高度差的最大值答案可用表达式．
18.本小题分
在平行四边形中，，，，是线段的中点，点在直线上，且．
当时，求的值
当时，与交于点，，求的值
求的最小值．
本小题分
若函数和的零点相同，则称和是“函数对”．
已知，判断与是否为“函数对”，并说明理由；
设，，若与为“函数对”，求的取值范围；
已知，是实数，若函数与为“函数对”，函数与为“函数对”，求的值．
2027届云南民族中学高一期中考试高一数学参考答案
1.【答案】
【解析】解：由可得，集合，
故A．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：由，取，
则非零向量，同向共线，
显然不成立．
反之，如果成立，
两边平方得到，
则，
故成立．
所以“”是“”的必要不充分条件．
故选C．
3.【答案】
【解析】解：因为，所以，
所以在复平面对应的点位于第四象限．
故选：．
先求出复数的共轭复数，然后可求出共轭复数对应的点所在的象限．
4.【答案】
【解析】解：因为点在平面上投影为，
则平面，
设的外接圆半径为，外接圆圆心为，
过点做底面的垂线，则球心在垂线上，
设球心为，连接，，，得到如图所示：
，，
由余弦定理，得，解得，
在中，由正弦定理，得 ，
，
设三棱锥的外接球的半径为，
则在，中，，，，
，
，
三棱锥的外接球的表面积是．
故选A．
5.【答案】
【解析】解：根据海伦秦九韶公式， ，其中 ，
由题意，可知 ，则 ，又 ，
故 ，
当且仅当 ，即 时取等号．
6.【答案】
【解析】解：因为，且，
所以
，
所以的周期为，所以函数的周期为，故错误；
，所以函数的一个对称中心为，故正确；
令，解得，
所以函数的单调递减区间为，故错误；
，
由在区间上是单调函数，所以，
又，所以为的一条对称轴，为的一个对称中心，
所以，
又，
所以或，当时，，
当时，，所以的值为或，故正确．
故选：．
由得，即可判断，由得，由在区间上是单调函数，所以，根据，得为的一条对称轴，为的一个对称中心，即得，解出即可判断．
7.【答案】
【解析】解：定义：从右往左计算．
所以：，
则，
所以．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：令，则，
函数
可化为，定义域为，
令，
因为，
所以函数是偶函数，其图象关于轴对称，
那么函数的图象关于直线对称，
当时，，
易得和都在上单调递增，
则在上单调递增，上单调递减，
所以等价于，
两边平方得，
移项化为，因式分解得，
解得，
所以实数的取值范围是．
故选C．
9.【答案】
【解析】解：对于，由，得，由余弦定理有：，
又因为，所以为钝角，A正确
对于，因为，由正弦定理有：，
所以，
整理得：，
因为，等式两边同除以，得：，B错误
对于，由余弦定理有：，
又因为，
所以，
当且仅当，即时等号成立，因为，所以，所以角的最大值为，C正确
对于，，所以，即，
所以，，所以，故，
由正弦定理可得：，D正确．
10.【答案】
【解析】解：对于，
故当时，取最小值，A正确；
对于，取的中点为，连接，由，
可得，故点轨迹为中线所在的直线，故B正确；
对于，，，
则，故，
当时等号成立，故其最小值为，C错误；
对于，设，
则，
而，
因为，所以，故D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：，，
，，
关于对称，，
，，，
，，故C正确；
关于对称，，，为偶函数，
，，，
，，为偶函数，故A错误；
，的图象关于点中心对称，
存在一对最小值点与最大值点也关于对称，，
，故D正确；
由得，又，，
由得，，故B正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：在边长为的正方形中，，，以为圆心，为半径作半圆与交于，两点，
又点为弧上任意一点，
过作交于点，根据投影向量的概念可得，
设，
所以，
当与半圆相切时，取得最大值，此时最大，
过作交于点，连接，
当取得最大值时，且，
因为，正方形边长为，
则，
则，
所以，
所以，
则，
所以，
得，
所以的最大值为．
所以最大值为．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：已知单位向量，满足，
将两边平方得，
即，
则，
故与的夹角为．
故答案为：．
两边平方，得到，则，求出答案．
14.【答案】 【解答】
解：，
，即，
又，得，
则，
对任意恒有，
当时，函数取得最大值，
即，，
得，
，
当时，，
则，
当时，
，，
要使函数为增函数，
则，
得，即，
即函数的单调递增区间为，
故答案为：
15.【答案】；
．
【解析】解：由题意，，
由同角三角函数的平方关系，
可得，
即，
由正弦定理，可得，
所以，
因为，所以，
在中，，
由余弦定理得，
即，解得，
所以，
即的面积为；
因为为角平分线，，所以，
在中，，
所以，
由，得，
所以，因为，，
由基本不等式，可得，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最小值为．
16.【答案】；
．
【解析】解：因为，，
所以．
因为角的平分线与交于点，所以，即，
所以，
所以，
即，解得，
又因为，所以点为的重心，所以，
所以，，
所以，，
，
所以，
又因为
，
所以．
17.【答案】；
，；
，米．
【解析】解：当时，游客甲转了圆周．
摩天轮最高点距离地面高度为，摩天轮最低点距离地面高度为，
则甲的高度刚好为；
设，
则，
令，，，
又，
所以，；
如图，甲、乙两人的位置分别用点，表示，
则，
经过后甲距离地面的高度为，
点相对于点始终落后，
此时乙距离地面的高度为．
则甲、乙距离地面的高度差，
，，
当或，
即或时，的最大值为，
所以甲乙两人距离地面的高度差最大值为米．
18.【答案】解：．
当时，，即为的中点，因为，，三点共线，设，则因为，，三点共线，设，则，又，不共线，根据平面向量基本定理得，解得所以，又，则所以
因为，，
所以，因为，所以当时，取得最小值，且最小值为．
19.【答案】解：不是，理由如下：
因为与在上单调递增，
所以函数是实数集上的增函数，
因为，
所以函数在上有唯一零点，
当时，函数是单调递减函数，
，
即，
所以函数在上没有零点，不符合题中定义，
所以和不是“函数对”；
由，得，，
，
所以的零点是的零点，
由，得，，
当时，，
所以，为的零点，
而当时，必须使得无解，
否则的一些零点不能使得，
所以对，成立，
所以，得，
此时的零点也全是的零点，
综上；
由，解得，
因为函数与为“函数对”，
所以，
即，，
取对得，
所以，
由，解得，
因为函数与为“函数对”，
所以有，
即，，
因为在上单调递增，
所以，
即．