云南省曲靖市云南煤炭第二中学2024-2025学年高一下学期期中考试 数学试题（含解析）

2025年下学期云南煤炭二中高一期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则
A. B.
C. D.
2.已知，为两条直线，，为两个平面，，，，则是的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为
A. B. C. D.
4.牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间后的温度将满足，其中是环境温度，称为半衰期现有一杯的热茶，放置在的房间中，如果热茶降温到，需要分钟，则欲降温到，大约需要多少分钟？
A. B. C. D.
5.的值为
A. B. C. D.
6.已知向量，，则下列结论正确的是
A. ， B. ，使得
C. 与的夹角小于 D. ，使得
7.复数，是虚数单位的共轭复数表示的点在
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
8.设函数的定义域为，若满足：在内是单调增函数存在，使得在上的值域为，那么就称是定义域为的“成功函数”若函数且是定义域为的“成功函数”，则的取值范围是
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，函数的最小正周期为，则下列结论正确的是
A. 点是函数的一个对称中心
B. 函数在区间上单调递增
C. 将函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象
D. 函数的图象关于直线对称
10.下列命题正确的
A. 若复数，则
B. 若，，则复数的虚部是
C. 若，则的最小值为
D. 已知，若关于的方程有实数根，则实根必为．
11.如图，点是正方体的侧面上的一个动点，则下列结论正确的是
A. 存在无数个点满足
B. 若正方体的棱长为，则三棱锥体积的最大值为
C. 在线段上存在点，使异面直线与所成的角是
D. 存在无数个点满足平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是_____．
13.已知函数且关于的方程有两个实根，则实数的取值范围是_______________．
14.已知，函数的值域为，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在；；的面积为，且，这三个条件中任意选择一个，填入下面的问题中，并求解，在锐角中，角，，所对的边分别为，，，函数的最小正周期为，为在上的最大值，求的取值范围注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分．
16.本小题分
如图，已知正方形的边长为，过中心的直线与两边分别交于点，．
求的值；
若是的中点，求的取值范围；
若是平面上一点，且满足，求的最小值．
17.本小题分
已知
求的单调递增区间
若函数在区间上恰有两个零点，，
求的取值范圈
求的值．
18.本小题分
如图，在四棱柱中，四边形为直角梯形，，，过点作平面，垂足为，，是的中点．
在四边形内，过点作，垂足为．
(ⅰ)求证：平面平面
(ⅱ)判断，，，是否共面，并证明．
在棱上是否存在一点，使得平面若存在，给出证明若不存在，请说明理由．
本小题分
已知函数，其中为实数．
Ⅰ当时，求函数的最小值；
Ⅱ若在上为增函数，求实数的取值范围；
Ⅲ对于给定的负数，若存在两个不相等的实数，且使得，求的取值范围．
参考答案
1.【答案】
解：，，
则，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确．
2.【答案】
解：
，，所以，所以是的充分条件
，，，，只有垂直于两个平面的交线时，则，所以是的不必要条件．
所以是的充分不必要条件．
故选：．
3.【答案】
解：由不等式的解集为，
可知方程的两个根为．
由一元二次方程根与系数的关系可得到，
则可知，则可得，
即．
所以
．
令，
当且仅当即时，等号成立．
则 ．
所以，当且仅当时取等号，
综上可得的最小值为．
故选：．
4.【答案】
解：依题意，可令，，，，代入式子得：
，解得，
又把代入式子得，
则，
．
故选C．
5.【答案】
解：
，
故本题选D．
6.【答案】
解：因为，，
又，
所以，故A正确；
，若，则，
解得，即当时，，故B错误；
设与的夹角为，则，
当时，，夹角为，故C错误；
因为，，
所以不存在，使得，故D错误．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：，．
．
的共轭复数表示的点在第四象限，
故选：．
8.【答案】
解：依题意，函数且是定义域为的“成功函数”，
设存在，使得在上的值域为，
即
，是方程的两个不等的实根，
设，则，
方程等价为的有两个不等的正实根，
即
，解得，
故选A．
9.【答案】
【解析】解：由题可知，最小正周期为
，，
令，，，，
点是的一个对称中心，A正确
令，，，，函数在区间上单调递增，B正确
，C错误
，，，，当，，函数的图象关于直线对称，D正确．
故选ABD．
10.【答案】
解：选项A，若复数，则，故A正确；
选项B，若，，
则复数，
虚部是，故B错误；
选项C，若，则在复平面内对应的点在圆心为，半径为的圆上，
则表示圆上的动点到定点的距离，
点到的距离为，
则的最小值为，故C正确；
选项D，设是方程的实数根，
代入方程并整理得，
由复数相等的条件可得
解得或，故D错误；
故选AC．
11.【答案】
解：对于，如图，连接，，，由正方体的性质可得，，又
，，平面，故平面当点时，有，故存在无数个点，满足，故A正确．
对于，由题知，如图，当点与点重合时，点到平面的距离最大，则三棱锥体积的最大值为，故B正确．
对于，如图，连接，，为异面直线与所成的角．
设正方体棱长为，，则，点，到线段的距离为，
若，由余弦定理，得，
，
在线段上不存在点，使异面直线与所成的角是，故C错误．
对于，如图，连接，，，，，C.
，，四边形为
平行四边形，则C.又平面，
平面，平面C.同理可证
平面C.
，B、平面，
平面平面．
若，则平面，则平面，故D正确．
故选ABD．
12.【答案】
解：由题意得，
设与的夹角为钝角，
则，
即，
解得，
又当时，与同向共线，故．
则实数的取值范围是．
故答案为．
13.【答案】
解：画出的图象，如图：
由图象可知要使方程有两个实根，
即函数与的图象有两个交点，
所以由图象可知．
故答案为．
14.【答案】
解：根据题意，函数的值域为
则有且，即，
，
又由，则，
当且仅当 时，等号成立．
即的最小值为；
故答案为．
15.【答案】解：
，
因为，所以，，
因为，
所以，所以，
所以的最大值为，即．
由及正弦定理可得：
，
即，
即，且，
所以，为三角形内角，所以，
由及正弦定理得，
因为，
所以，
所以，所以，
因为为锐角，所以．
由，得，
即，
所以，即，所以，
因为，，
所以，，
，
因为为锐角三角形，且，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以的取值范围为．
16.【答案】解：由正方形可得
所以；
因为直线过中心且与两边分别交于交于点．
所以为中点，
所以．
因为是的中点，
所以，
所以，
即的取值范围为；
令，由知点在上，又因为为中点，
所以，从而，
因为，
所以，
即的最小值为
17.【答案】解：
结合正弦函数的图象与性质，可得当，，
解得时，函数单调递增，
所以函数的单调递增区间为．
令，当时，，，
如图，

要使在区间上恰有两个零点，的取值范围为或，
设，是函数的两个零点即，，
由正弦函数图象性质可知，即．
，
．
18.【答案】解：证明：(ⅰ)如图，
因为平面，平面，所以，
又因为，，、平面，所以平面，
而平面，
因此平面平面．
，，，不共面证明如下：
假设，，，共面于平面，
在四棱柱中，因为，所以平面平面，
因为平面，平面，所以，
因为，所以，而，因此，而，所以，
又因为，所以四边形为矩形，这与四边形为直角梯形相矛盾，
因此假设不成立，所以，，，不共面．
当为棱的中点时，使得平面证明如下：
如图：
延长交于．
因为，所以，而，
因此由得，
所以，即点是线段的中点，
取棱的中点为，连接，则，
而平面，平面，因此平面，
连接、、，
因为是线段的中点，所以，
而平面，平面，因此平面，
因为、平面，，
所以平面平面，
而平面，
因此平面．
19.【答案】解：函数，
Ⅰ当时，
所以函数的最小值为．
Ⅱ若，则在上为增函数，符合题意；
若，不合题意；
若，则，从而，
综上，实数的取值范围为或．
Ⅲ因为，则在上为减函数，在上为增函数，
所以，令，
若，则，由知且，
所以，
令，则在上为增函数，在上为减函数，
当时，且，则在上为增函数，在，上为减函数，
从而当且，
所以或；
当时，且，则在上为增函数，在上为减函数，
从而当且，
所以或，
当时，且，则在，上为增函数，
从而当且，
所以或，
若，则，且，
，
因为，
综上所述，当时，的取值范围为；
当时，的取值范围为；
当时，的取值范围为．