安徽省六安市独山中学2024-2025学年高一下学期4月期中考试 数学试题（含答案）

2024-2025学年度独山中学高一数学期中考试卷
第I卷（选择题）
一、单选题（每题5分总计40分）
1．在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．“”是“”成立的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3．若向量与的夹角为，，则等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．12
4．在中，角的对边分别是，已知，，，则等于（ ）
A．1 B．2 C． D．
5．为得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位
6．在中，内角满足，则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．正三角形
7．在中,内角所对的边分别为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．1
二、多选题（每题6分，多选或答错不得分，部分对答部分分共18分）
9．已知函数．则能够使得变成函数的变换为（ ）
A．先横坐标变为原来的，再向左平移
B．先横坐标变为原来的2倍，再向左平移
C．先向左平移，再横坐标变为原来的
D．先向右平移，再横坐标变为原来的
10．下面命题中是真命题的有（ ）
A．中，若，则
B．若一个扇形所在圆的半径为2，其圆心角为2弧度，则扇形的周长为4
C．函数的最小值为4
D．函数在上单调递减，则实数的取值范围为.
11．已知向量，，则下列选项正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则，的夹角为60°
C．若，则 D．若，共线，则
第II卷（非选择题）
三、填空题（每题5分共15分）
12．在中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，∠A＝105°，∠B＝45°，，则c＝．
13．函数在上的最大值是．
14．向量满足，且，则与夹角的余弦值等于．
四、解答题
15（第一小题6分，第二小题7分共13分）．已知的内角所对的边分别是，
(1)已知，求角和．
(2)已知，解三角形．
16（每一小题5分共15分）．已知平面向量.
(1)若，求的值；
(2)若，求的值.
(3)若与的夹角是钝角，求的取值范围.
17（第一小题7分。第二小题8分共15分）．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角的大小；
(2)若，，求．
18（第一小题8分，第二小题9分共17分）．已知向量．
（1）若，求x的值；
（2）记，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值．
19（第一小题8分，第二小题9分共17分）．已知向量, 设函数.
(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.
(Ⅱ) 求f (x) 在上的最大值和最小值.
《2024-2025学年度独山中学高一数学期中考试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C B A B C B ACD AD
题号 11
答案 AC
1．C
【分析】如图，根据平面向量的线性运算依次判断选项即可.
【详解】如图，在平行四边形中，且，
A：，故A正确；
B：，故B正确；
C：由，得，故C错误；
D：，故D正确.
故选：C
2．B
【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可判断.
【详解】推不出，例如还可以取，
由可以推出，
所以“”是“”成立的必要条件．
故选：B．
3．C
【分析】根据向量数量积运算化简已知条件，从而求得.
【详解】因为
，
，解得（负根舍去）.
故选：C
4．B
【分析】利用余弦定理解三角形.
【详解】由余弦定理，
将，，，代入得，
则有，且，解得.
故选：B.
5．A
【分析】设出向左平移个长度，利用诱导公式将余弦函数变为正弦函数，列出方程，求出答案.
【详解】，
将函数向左平移个长度单位，得到，
故，解得，
即向左平移个长度单位.
故选：A
6．B
【分析】根据得到，求出，得到三角形形状.
【详解】，
故，即，
因为，所以，
故为等腰三角形.
故选：B
7．C
【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，由正弦定理得到的值，最后代入计算即可.
【详解】因为，则由正弦定理得.
由余弦定理可得:，
即:，根据正弦定理得，
所以，
因为为三角形内角，则，则.
故选：C.
8．B
【分析】由得，结合，得，由此即可得解.
【详解】因为，所以，即，
又因为，
所以，
从而.
故选：B.
9．ACD
【分析】根据正弦型函数的图象变换过程即可得出结果.
【详解】先将的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到的图象；再将的图象向左平移个单位即可得到函数的图象，故选项A正确，选项B错误；
先将的图象向左平移个单位，得到函数的图象；再将的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的即可得到函数的图象，故选项C正确；
先将的图象向右平移个单位，得到函数的图象；再将的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的即可得到函数的图象，故选项D正确.
故选：ACD
10．AD
【分析】利用正弦定理角化边可判断A，利用扇形公式结合周长可判断B，利用正弦值可能为负数可判断C，利用分段函数单调性可判断D.
【详解】对于A选项，中，若，由正弦定理可得，所以，故A正确；
对于B选项，若一个扇形所在圆的半径为2，其圆心角为2弧度，则扇形的弧长为，
故扇形的周长为，故B错误；
对于C选项，若，则，故C错误；
对于D选项，因为函数在上单调递减，如图所示
所以，解得，故D正确.
故选：AD.
11．AC
【分析】A选项，根据向量模的公式计算判断；B选项，利用向量夹角的坐标公式计算判断；C选项，根据向量垂直列方程求解即可；D选项，根据向量共线列方程求解即可.
【详解】A选项，当时，，，，故A正确；
B选项，当时，，则，故B错误；
C选项，因为，所以，解得，故C正确；
D选项，因为共线，所以，解得或，故D错误.
故选：AC.
12．2
【分析】根据角A，B的值，求出角C的值，再由正弦定理，将题中所给数据代入即可得到答案．
【详解】∵∠A＝105°，∠B＝45°，
∴C＝30°
根据正弦定理可知：
∴c＝2
故答案为：2
【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属基础题．
13．2
【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.
【详解】，当时，，
当时，即时，.
故答案为：2
14．/
【分析】利用向量数量积公式得到，解出即可.
【详解】
解得.
故答案为：.
15．(1)，
(2)，，．
【分析】（1）由余弦定理求出角，由正弦定理求出；
（2）由三角形内角和求，利用和角公式求得的值，再由正弦定理求出即可.
【详解】（1）由余弦定理，，
因为，所以．
由正弦定理，，可得．
（2）已知，，则．
由正弦定理，可得．
又
，
再由正弦定理，可得．
综上，，，．
16．(1)或3：
(2)1或
(3)
【分析】（1）利用即可；
（2）利用得出值，再利用求模公式；
（3）利用且不共线即可.
【详解】（1）若，则.
整理得，解得或.
故的值为或3.
（2）若，则有，即，解得或
当时，，则，得；
当时，，则，得.
综上，的值为1或.
（3）因与的夹角是钝角，则，即，得，
又当与共线时，有，得，不合题意，则
综上，的取值范围为.
17．(1)或
(2)当时，；当时，
【分析】（1）根据已知条件，结合正弦定理，即可求解.
（2）根据角的大小，结合余弦定理，即可求得答案.
【详解】（1）因为，所以，又，所以，
因为，所以，因为，或.
（2）因为，，
当时，，
因为，则；
当时，，
因为，则.
综上，当时，；当时，.
18．（1）（2）时，取到最大值3； 时，取到最小值.
【分析】（1）根据，利用向量平行的充要条件建立等式，即可求x的值．
（2）根据求解求函数y＝f（x）解析式，化简，结合三角函数的性质即可求解最大值和最小值及对应的x的值．
【详解】解：（1）∵向量．
由，
可得：，
即，
∵x∈[0，π]
∴．
（2）由
∵x∈[0，π]，
∴
∴当时，即x＝0时f（x）max＝3；
当，即时．
【点睛】本题主要考查向量的坐标运用以及三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．
19．(Ⅰ)(Ⅱ)
【分析】先求出f (x)，然后根据三角函数的性质求解即可.
【详解】
（Ⅰ）的最小正周期为.
（Ⅱ），，
故当即时，
当即时，
本题主要考查的是向量的数量积运算和三角函数的周期，最值问题.正确运用公式图像性质的熟练运用是解答关键.本题属于高考的常考类型，需要多加练习，关注三角函数和定积分的结合也是热点之一.
【考点定位】本题考查三角恒等变形、三角函数的性质等基础知识．简单题．