福建省龙岩市一级校2024-2025学年高二下学期4月期中联考 数学试题（含答案）

龙岩市一级校联盟2024—2025学年第二学期半期考联考
高二数学试题
（考试时间：120分钟 总分：150分）
注意事项：
1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上．
2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”．
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设函数满足，则（ ）
A．1 B．2 C． D．3
2．已知，，不共面，若，，且A，B，C三点共线，则（ ）
A． B．1 C．2 D．3
3．下列导数运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则l与所成的角为（ ）
A． B． C．或 D．或
5．某中学体育运动会上，甲、乙两人进行乒乓球项目决赛，采取“三局两胜制”，即先胜两局者获得冠军．已知甲每局获胜的概率为，且比赛没有平局．记事件A表示“甲获得冠军”，事件B表示“比赛进行了三局”，则（ ）
A． B． C． D．
6．给出下列四个图象：
函数的大致图像可以是（ ）
A．①③ B．②③ C．②③④ D．②④
7．给定事件A，B，C，且，现有下列结论：①若，且A，B互斥，则A，B不可能相互独立；②若，则A，B，C两两独立；③若，则A，B相互独立；④若，则A，B互为对立事件．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若函数在上单调递减，则实数a的值可能为（ ）
A． B． C．3 D．4
10．已知为随机试验的样本空间，事件A，B满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，且，，则
B．若，且，，则
C．若，，则
D．若，，，则
11．在棱长为1的正方体中，下列说法正确的是（ ）
A．若动点M是内部一点（含边界，除点外），则对任意M，都有平面
B．若P，Q分别为，的中点，则平面BPQ截该正方体所得的截面周长为
C．若动点M满足，则的最小值是
D．若动点M在AC上，点N在上，则的最小值为
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若随机事件A，B相互独立，，，则__________．
13．如图，在三棱锥中，G为的重心，，，，，，若PG交平面DEF于点M，且，则的最小值为__________．
14．已知且，若函数有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是__________．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分13分）
如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为矩形，E，F分别为PA，CD的中点．
（1）证明：平面PBF．
（2）若，，求直线PD与平面PBF所成角的正弦值．
16．（本题满分15分）
已知函数，．
（1）若曲线在处的切线与直线相互垂直，求m的值；
（2）若，求的极值．
17．（本题满分15分）
如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，侧面底面ABCD，，，且E，F分别为PC，CD的中点．
（1）证明：．
（2）若直线PF与平面PAB所成的角为，求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值．
18．（本题满分17分）
甲、乙两人进行知识问答比赛，共进行多轮抢答赛，每轮比赛中有3道抢答题，每道题均有人抢答，其计分规则如下：初始甲、乙双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得分，未抢到题得0分，最后总分累计多的人获胜．假设甲、乙抢到每题的成功率相同，且甲、乙每题答题正确的概率分别为和．
（1）求甲在一轮比赛中获得1分的概率；
（2）求甲在每轮比赛中获胜的概率；
（3）求甲前三轮累计得分恰为6分的概率．
19．（本题满分17分）
已知定义在区间D上的函数，，若，，存在一个正实数M，满足，则称是的“M—陪伴函数”．
（1）已知，判断函数是否为函数的“M—陪伴函数”，并说明理由；若是，求M的最小值．
（2）证明：在同一给定闭区间上的函数是函数的“M—陪伴函数”．
（3）已知，若函数是函数的“3—陪伴函数”，求实数m的取值范围．
龙岩市一级校联盟2024－2025学年第二学期半期考联考
高二数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D A D B C D C D BCD ACD BCD
12．0.58 13． 14．
11．【详解】对于选项A，当M运动到B点时，易知不垂直于，
所以不垂直于平面，故A错误．
对于选项B，如图，作直线PQ分别与直线，CD交于点S，T，
连接BS交于点E，達接BT交AD于点F，连接QF，PE，则五边形BEPQF即截面．
由题意得为等腰直角三角形，，
由，得，则，，
所以，，同理可得，．
因为P，Q分别为，的中点，
所以，则截面周长为，故B正确．
对于选项C，由，得平面上点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，
空间中点M的轨迹是球面，球心O在直线AC上，，半径R为，
所以的最小值为，故C正确．
对于选项D，的最小值即异面直线AC和的距离，
以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系（图略）．
设为直线AC和的法向量，
又因为，，，则
令，则，
所以异面直线AC种的距离为，
即的最小值为，故D正确．故选BCD．
14．【详解】略
15．【详解】（1）如图，取PB的中点G，连接EG，GF．
，G分别是PA，PB的中点，，且．
，且，，四边形EGFD为平行四边形，
．又平面PBF，平面PBF，平面PBF．
（2）以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，
，，．
设平面PBF的法向量为，则取，则，
则，
直线PD与平面PBF所成角的正弦值为．
16．【详解】（1），则．
则，依题意得，所以．
（2）当时，的定义域为，
则，
当时，，当时，，
因此在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小，无极大值．
17．【详解】（1）如图，取PB的中点M，连接AM，EM．
因为E为PC的中点，所以，．
又因为，，所以，，
所以四边形ADEM为平行四边形，则．
因为，，所以．
因为平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，
所以平面PAB．
又平面PAB，所以，
又，所以．
（2）由（1）知平面PAB．取AB的中点G，连接FG，PG，则，
所以平面PAB，所以PF与平面PAB所成的角为，即．
又因为，所以．
又因为，所以．
以G为坐标原点，GB，GF，GP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，所以，．
设平面PCD的法向量为，
则取，则．
易知平面PAB的一个法向量为．
设平面PAB与平面PCD所成的镜二面角为，
所以，
所以平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值为．
18．【详解】略
19．【详解】略