安徽省六安市独山中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试 数学试题（含解析）

2024-2025学年度第二学期独山中学高二年级期中考试数学试卷
考试内容：选择性必修二全部内容，选择性必修三：加法和乘法原理
一、单选题（每题5分共40分）
1．已知函数在处可导，且，则（ ）
A． B．9 C． D．1
2．已知函数的导函数为，且满足，则（ ）
A． B．-1 C． D．
3．等差数列中，已知，则的前10项和等于（ ）
A．36 B．30 C．20 D．18
4．函数在处取得极值10，则（ ）
A．5 B． C．0 D．0或
5．若等比数列满足，，则数列的公比等于（ ）
A．或 B．或 C． D．
6．某地举行新疆绿色农特产品展销活动，活动中有驼奶粉、奶豆腐、奶皮、酸奶共种奶制品，无花果干、杏干、乌梅干、巴达木、开心果、葡萄干共种干果，葡萄、哈密瓜、香梨、苹果、西瓜、沙棘、白杏共种新鲜水果，张先生参观完活动决定至少选购一种商品，而每一大类中最多选购一种，则张先生不同的选购方法种数为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每题6分，错选或多选不得分，部分对答部分分共18分）
9．下列求导不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图是函数的导函数的图象，则下列说法中正确的是（ ）
A．是函数的极值点 B．函数在处取得最小值
C．函数在处切线的斜率小于零
D．函数在区间上单调递增
11．已知数列的前项和为，，，则（ ）
A．数列是等比数列 B．
C． D．数列的前项和为
三、填空题（每题5分共15分）
12．学校二楼饭堂有牛扒饭，鸡扒饭和鳗鱼饭三种套餐，甲、乙、丙三位同学从中各选一种，共有种不同的选法-------------.
13．已知公差不为0的等差数列的首项为1，且，，成等比数列，则-------．
14．已知直线与曲线相切，则------------
四、解答题
15（第一小题6分，第二小题7分共13分）．已知函数
(1)求曲线在处的切线方程.
(2)若直线过且与曲线相切，求直线的方程.
16（第一小题7分，第二小题8分共15分）．已知函数在及处取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若关于x的方程有三个不同的实根，求c的取值范围．
17（第一小题7分，第二小题8分共15分）．已知为公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前项和.
18（第一小题8分，第二小题9分共17分）．已知两个数列与，满足，且
(1)求证：是等差数列.
(2)记，求数列的前项和
19（第一小题8分，第二小题9分共17分）．已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
《独山中学高二年级期中考试数学试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B B B C D D B AD AD
题号 11
答案 ACD
1．B【详解】.
2．B【详解】，令得，解得.
3．B【详解】由等差数列得，故，即，
4．B【详解】函数，求导得，
由在处取得极值10，得，解得或，
当时，，函数在R上递增，无极值，不符合题意；当时，得，
当或时，；当时，，
因此是函数的极小值点，符合题意，所以.
5．C【详解】，，
所以，
6．D【详解】由条件张先生不同的选购方法分为三类，选购一种，选购两种，选购三种，
选购一种商品的方法有种，选购两种商品的方法有种，
选购三种商品的方法有种，由分类加法计数原理可得张先生不同的选购方法种数共有种，
7．D【详解】因为，由题意可得：在恒成立，可得在上恒成立，又因为在内单调递减，可得，可得，所以a的范围为.
8．B【详解】由可得，设，，
则，即函数在上单调递增，
且，由可得，
即，即，解得，所以不等式的解集为.
9．AD【详解】对于A中，由，所以A错误；对于B中，由，所以B正确；对于C中，由，所以C正确；对于D中，由，所以D错误.
10．AD 【详解】由图可得当时，；当时，，当且仅当时.所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以是函数的极小值点，函数在区间上单调递增，故AD正确，
函数在处不能取最小值，函数在处切线的斜率大于零，故BC错误.
11．ACD【详解】A选项，，其中，所以是公比为2的等比数列，A正确；C选项，由A知，，所以，C正确；B选项，当时，，当时，，
显然满足，故，B错误；D选项，，故，
即为公比为的等比数列，且，所以的前项和为，D正确.
12．27【详解】每位同学都有三种选择，所以共有种选法，
13．【详解】设等差数列的公差为，因为，，成等比数列，
所以，所以，化简整理得，解得（舍去），或，所以．
14．【详解】由题意可知：直线过定点，斜率为，
因为，则，设切点坐标为，切线斜率，
则切线方程为，代入可得，解得，所以.
15．(1) (2)
【详解】（1）由，
则，，则所求的切线方程为：，
即
（2）由，设切点为，则，切线方程为：
又在切线上，则，得.所以的方程为：，
即
16．(1) (2)
【详解】（1）由题意得，
由函数在及处取得极值，得
解得，此时，，
则得或；得，
则在和上单调递增，在上单调递减，
则和分别为的极大值点和极小值点.
故.
（2）由（1）可知， 在处取得极大值，在处取得极小值．
又有三个不同的实根，所以
解得，所以实数c的取值范围是．
17．(1) (2)
【详解】（1）设公差为，则，，因为，，成等比数列，
所以，即，所以或0（舍去）.故；
即的通项公式为；
（2）由（1）可得，
18．(1)证明见解析 (2)
【详解】（1）由知.
则，，
所以是以1为首项，1为公差的等差数列.
（2）由（1）知，
，
，
相减得：，
，.
19．(1)答案见解析 (2)
【详解】（1）由题意可知：的定义域为，，
当时，，可知在上单调递减；当时，由得；由得；可知在上单调递减，在上单调递增；
综上所述：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）解法一：（分离参数法）由已知得在上恒成立，
等价于在上恒成立，
构建，
则
构建，可知在上单调递减，且，
当时，，即；
当时，，即；
可知在上单调递增，在上单调递减，则，
可得，即实数的取值范围为；
解法二：（分类讨论法）由题意可知： 在上恒成立，
由（1）知，当时，在上单调递减；
且，不合题意；
当时，可知，
构建，可知在上单调递增，且，
若，则，可得，
故实数的取值范围为