江苏省宿迁市沭阳县2024-2025学年高二下学期4月期中调研测试 数学试卷（含答案）

2024~2025学年度第二学期期中调研测试
高二数学试卷
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．本卷满分150分，考试时长120分钟，考试结束后，只需上交答题卡。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若，则正整数m的值为
A．4 B．5 C．6 D．7
2．已知点A（3，－1，0），若向量，则点B的坐标是
A．（－1,6,－3） B．（1,－6,3） C．（5,4,－3） D．（2,5,－3）
3．在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且OM=2MA，N为BC中点，则等于
A． B． C． D．
4．
A． B． C． D．
5．已知，空间向量e为单位向量，，则空间向量a在向量e方向上的投影向量为
A．2e B．－2e C． D．
6．若平面α过点A（2,3,0），一个法向量为n=（2,1,1），则点P（1,1,5）到平面α的距离为
A． B． C． D．
7．学校开展班级轮值活动，高二某班有A，B，C，D四个轮值小组负责甲，乙，丙三个地点的站岗值班任务，每个小组负责一个地点，每个地点至少有一个小组负责，且A小组不去甲地点，则不同的任务分配方法种数为
A．36 B．24 C．18 D．12
8．若正整数a，b满足等式，且b<2025，则b的值为
A．1 B．2 C．2023 D．2024
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．若为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是
A． B．
C． D．
10．用数字0，1，2，3，4，5这6个数字组成无重复数字的四位数，下列说法正确的是
A．共可组成360个四位数 B．四位偶数有156个
C．能被25整除的四位数有21个 D．从小到大排列第89个数为2340
11．已知：空间直角坐标系O－xyz中，过点且一个法向量为n=（a,b,c）的平面α的方程为；过点且一个方向向量为d=（u,v,w）（uvw≠0）的直线l的方程为．利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面α的方程为2x－2y+2－7=0，直线l是平面x－3y+7=0与2y+z－4=0的交线，则下列说法正确的是
A．平面α的一个法向量为n=（2,－2,1） B．直线l经过点M（－1,2,0）
C．直线l的一个方向向量为e=（3,1,2） D．直线l与平面α所成角的正弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知直线l的方向向量为a=（－1,1,2），平面α的法向量为．若，则实数λ的值为________．
13．的展开式中的系数为________．
14．设集合，若I的非空子集A，B满足，我们称有序集合对（A,B）为I的“互斥集合对”，则集合I的“互斥集合对”的个数为________．（用数字作答）
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知a=（3,2,－1），b=（2,1,2）．
（1）求；
（2）当时，求实数k的值。
16．（15分）高二某班准备从7名班委中（其中男生4人，女生3人）选择4人参加活动．
（1）共有多少种不同选法？（结果用数字作答）
（2）若要求至少有两名女生，共有多少种不同选法？（结果用数字作答）
（3）若7名班委中班长和副班长两人不能同时参加该活动，则不同的选择方法有多少种？（结果用数字作答）
17．（15分）
如图，平行六面体的底面ABCD为正方形，棱长都为2，且，设，，，M，N分别是棱，BC的中点，点P为棱上的动点．
（1）用a，b，c表示；
（2）若P为棱的中点，求；
（3）是否存在点P，使，若存在，试确定点P的位置，若不存在，请说明理由。
18．（17分）
已知．
（1）若m=3，n=7，求：
①的值，
②的值；
（2）若，求的最小值．
19．（17分）如图，直角梯形ABCD和矩形PADQ所在的平面互相垂直，AB⊥AD，，AD=2AB=2BC=2．
（1）证明：PC⊥CD；
（2）若PA=2，动点M在矩形PADQ内（含边界），且MB⊥MD．
①求动点M的轨迹的长度；
②设直线CM与平面PBD所成角为θ，求的取值范围．
2024～2025学年度第二学期期中调研测试
数学参考答案与评分标准
1~8 CCDB BABD 9．BCD 10．BC 11．ABD 12． 13．－14 14．602
15．解：（1），
所以
（2）因为，
若，则存在，使得
即，
所以，解得，
所以求实数k的值为－1．
16．解：（1）（种）
（2）（种）
（3）（种）
17．解：（1）
（2）若P为棱的中点，则，，
所以
（3）设，
则，由（1）知
所以即
所以，解得
所以这样的点P存在，且P为的中点．
18．解：（1）因为m=3，n=7，所以
①令得，，
令得，，
所以，
②令得，，
由①得，，
所以；
（2）由得，，
所以，
当时，，，
当时，，
所以当时，
所以的最小值为85
19．解：（1）证明：因为平面PADQ⊥平面ABCD，且交线为AD，PA⊥AD，
平面PADQ，所以PA⊥平面ABCD
因为平面ABCD，所以PA⊥CD，
因为，
所以，可知AC⊥CD，
又因为，PA，平面PAC，所以CD⊥平面PAC，
又因为平面PAC，所以PC⊥CD．
（2）①因为PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，
以A为坐标原点，直线AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0,0,0），B（1,0,0），C（1,1,0），D（0,2,0），P（0,0,2），
设M（0,y,z），则，
因为MB⊥MD，所以，即，
整理可得：，
可知动点M的轨迹是以（0,1,0）为圆心，半径为1的半圆，
所以动点M的轨迹的长度，
②由①可设：，
可得，
设平面PBD的法向量，
则，则，取，可得，
则，
因为，则，可得，
所以，