宜宾市一中2023级高二下期期中模拟卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．在等差数列中，，则
A． B． C． D．
3．已知函数的图像如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数，则函数在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．现有4份不同的礼物，若将其全部分给甲 乙两人，要求每人至少分得份，则不同的分法共有（ ）
A．10种 B．14种 C．20种 D．28种
6．已知正项数列的前项积为，若，则（ ）
A．4049 B．4048 C．2025 D．2024
7．设函数在上的导函数为，且，下面的不等式在上恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．数列为正项数列，为数列的前项和，且，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分，若有3个正确选顶，每选对一个得2分.
9．在各项均为正数的等比数列中，公比为q（），前n项和为，则下列结论正确的是（ ）
A．（m，） B．
C．是等比数列 D．
五一假期即将来临，小张，小李，小王，小赵，小孙五名同学决定到南京的著名景点“夫子庙” “中山陵” “玄武湖”游玩，每名同学只能选择一个景点，则下列说法正确的有（ ）
A. 所有可能的方法有125种
B. 若小张同学必须去“夫子庙”，则不同的安排方法有81种
C. 若每个景点必须有同学去，则不同的安排方法有150种
D. 若每个景点必须有同学去，且小张和小李不去同一个景点，则不同的安排方法有114种
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若的增区间为，则
B．若在上单调递减，则
C．若的极大值为0，则
D．若，则曲线的对称中心为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.
12．有本互不相同的书，其中数学书本，英语书本，语文书本，若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，英语书也恰好排在一起的排法共有 种.（用数值回答）
13.已知数列的前n项和为，且，则= ．
．已知函数所有满足的点中，有且只有一个在圆C上，则圆C的方程可以是 .（写出一个满足条件的圆的方程即可）
四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题13分）在数列中，，且.
(1)证明：数列是等比数列；并求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
16．（本小题15分）已知，，且在处的切线与的交点横坐标为.
(1)求；
(2)记，求的单调区间；
17．（本小题15分）记是等差数列的前项和，数列是等比数列，且满足，，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，求数列的前项和；
(3)求证：对于且，．
.
18．（本小题17分）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)证明：当时，，使得．
19．（本小题17分）对于数列，记区间内偶数的个数为，则称数列为的偶数列．
(1)若数列为数列的偶数列，求．
(2)若数列为数列的偶数列，证明：数列为等比数列．
(3)在（2）的前提下，若数列为等差数列的偶数列，，，求数列的前项和．宜宾市一中2023级高二下期期中模拟卷
参考答案
单项选择题
1.A 2.C 3.B 4.C 5.B 6.A 7.C 8.A
多项选择题
ABD 10.BCD 11.ACD
填空题
12： 13： 350 14：(答案不唯一，与直线相切即可)
解答题
15（1）证明：由于，所以，又，所以
.所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列.所以，所以.
（3）由题得，所以，①
则，②
由①-②得，.
所以.
16（1），，，，
∴函数在处的切线为，即.由题意，，所以.
（2）由题知，
的定义域为，.
记，则，易得在上单调递增.又，
时，，单调递减；时，，单调递增，
∴，即，∴在单调递增，
即的单调递增区间为，无单调递减区间.
17（1）在等差数列中，，解得，而，
则数列的公差，通项公式为，
由，得，令等比数列的公比为，
由，得，解得，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，，
所以数列的前项和.
（3）由（1）知，
当时，，所以
18（1）因为，则，
当时，，函数在上单调递减；
当时，
当时，单调递减，时，单调递增；
综上，当时，函数在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）可知，当时，在处取得最小值，
若，使得，
只需，即恒成立即可，
令，则，
当时，单调递增，当时，，单调递减，
故当时，，
所以，使得.
19（1）在区间内的偶数为，共13个，
所以.
（2）在区间内的偶数为，则．
于是，，
所以是首项为2，公比为2的等比数列.
（3）依题意，等差数列的公差，
则，，
由（2）知，，则，
令数列的前项和为，则，
于是，
两式相减得：，
，
因此，而数列前项和为，
所以.
