1.在 ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是( )
A.1∶2∶3∶4 B.1∶2∶2∶1
C.1∶1∶2∶2 D.2∶1∶2∶1
2.[2023春·邹城期末]如图，在 ABCD中，若∠D＝∠A－40°，则∠B的度数为( )
第2题图
A.35° B.55°
C.70° D.110°
3.[2022·乐山]如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，过点B作BF⊥AC，垂足为点F.若AB＝6，AC＝8，DE＝4，则BF的长为( )
第3题图
A.4 B.3
C. D.2
4.如图，四边形ABCD是平行四边形，线段BE垂直平分边CD于点E，点F是边AD上一点，连接BF，若BF＝DF，∠CBE＝α，则∠BFA的度数是( )
第4题图
A.4α B.3α
C.2α D.180°－α
5.[2023春·太康县期末]如图，在 ABCD中，CE平分∠BCD，AD＝2AB，交AD边于点E，且AE＝5，则AB的长为( )
第5题图
A. B.3
C.4 D.5
6.[贵阳中考]如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝3，AD＝4，则EF的长是( )
第6题图
A.1 B.2
C.2.5 D.3
7.[荆州中考]如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中按图中摆放，设∠1＝30°，那么∠2＝( )
第7题图
A.55° B.65°
C.75° D.85°
8.[2023·海南]如图，在 ABCD中，AB＝8，∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，交边AD于点E，连接CE，若AE＝2ED，则CE的长为( )
第8题图
A.6 B.4
C.4 D.2
9.[2022·荆州]如图，点E，F分别在 ABCD的边AB，CD的延长线上，连接EF，分别交AD，BC于点G，H.添加一个条件使△AEG≌△CFH，这个条件可以是 .(只需写一种情况)
第9题图
10.如图，在 ABCD中，∠ADC＝119°，BE⊥DC于点E，DF⊥BC于点F，BE与DF交于点H，则∠BHF＝ °.
第10题图
11.如图，AB∥CD，AD∥BC，点E，F分别是线段BC和CD上的动点，在两点运动到某一位置时，恰好使得∠AEF＝∠AFE，此时量得∠BAE＝15°，∠FEC＝12°，∠DAF＝25°，则∠EFC＝ .
第11题图
12.[云南中考]在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AD＝4 ，BD＝4，则平行四边形ABCD的面积等于 .
13.[2024春·牡丹江期中]已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF.求证：DE＝BF.
第13题图
14.[2024春·安康期末]如图，在 ABCD中，延长边DA至点E，使得AE＝AD，连接CE交AB于点F.求证：EF＝CF.
第14题图
15.如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E.
(1)求证：BE＝CD；
(2)连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝2，求平行四边形ABCD的面积.
第15题图
16.[2024春·成都期末]如图，在 ABCD中，AD⊥AC，AD＝AC，E为射线BA上一点，直线DE与直线AC交于点G，CH⊥DE于H，CH的延长线与直线AB交于点F.
(1)当E在线段AB上时，
①若∠CDE＝30°，CG＝2，求 ABCD的面积；
②求证：DG＝CF＋FG；
(2)若HG＝HF，FG＝，求DG的长.
第16题图1.[2023·德庆县一模]如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，若AC＝8，则线段AO的长为( B )
第1题图
A.3 B.4
C.5 D.16
2.在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.若AC＝16，BD＝10，则AD的长度的取值范围为( B )
A.AD＞3 B.3＜AD＜13
C.AD＜3 D.6
3.[2023春·泗洪县期末]如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝10 cm，AB＝4 cm，BD⊥AB，则BD的长为( C )
第3题图
A.4 cm B.5 cm
C.6 cm D.8 cm
4.如图， ABCD的对角线相交于点O，且AB＝5，△OCD的周长为23，则平行四边形ABCD的两条对角线的和是( C )
第4题图
A.18 B.28
C.36 D.46
5.[2023春·贵阳期末]如图， ABCD的对角线AC，BD相交于O，EF过点O并与AD，BC分别相交于E，F，若AB＝5，BC＝7，OE＝2，那么四边形EFCD的周长为( A )
第5题图
A.16 B.14
C.12 D.10
6.如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，点P为AB边上一动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ长度的最小值为( D )
第6题图
A.6 B.8
C.2 D.4
7.[2023春·竞秀区期末]如图所示，EF过 ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F.下列结论：①OE＝OF ②∠ABC＝∠ADC ③△AOE≌△COD ④S四边形ABFE＝S△ABC.其中正确的有( B )
第7题图
A.①②③ B.①②④
C.②③④ D.①②③④
8.[2023秋·临汾期中]如图， ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，直线EF过O点，分别与AB，CD交于点E和点F.若 ABCD的面积为8，则图中阴影部分的面积是2.
第8题图
9.已知点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，AB＝24，AD＝36，则△OBC的周长比△AOB的周长大12.
第9题图
10.[2023春·项城期末]如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
OE⊥AC，交AB于点E，连接CE.若△BCE的周长为12，则 ABCD的周长为24.
11.[2023春·长春期中]如图，在 ABCD中，∠DAB的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点G，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点H，AG与BH相交于点O，连接BE，则下列结论：
第10题图
①∠AOB＝90° ②AB＝AH ③DF＝CE ④△DFH≌△CEG ⑤OB＝OH.其中正确的是①②③⑤.(填序号)
第11题图
12.[2024·成都模拟]如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在CA和AC的延长线上，且AE＝CF，连接DE，BF.求证：DE＝BF.
第12题图
证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AE＝CF，
∴AE＋AO＝CF＋CO，即OE＝OF，
∵∠DOE＝∠BOF，
∴△DOE≌△BOF(SAS)，
∴DE＝BF.
13.[2023·济南]已知：如图，点O为 ABCD对角线AC的中点，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F.
求证：DE＝BF.
第13题图
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，∠OEA＝∠OFC，
∵点O为对角线AC的中点，
∴AO＝CO，
∴△AOE≌△COF(AAS)，
∴AE＝CF，
∴AD－AE＝BC－CF，
∴DE＝BF.
14.如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F，连接EC.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求 ABCD的周长.
第14题图
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，DC∥AB.
∴∠FDO＝∠EBO.
在△BEO和△DFO中，
∴△BEO≌△DFO(ASA)，
∴OE＝OF；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC.
∵EF⊥AC，OA＝OC，∴AE＝CE.
∵△BEC的周长是10，
∴BC＋BE＋CE＝BC＋BE＋AE＝BC＋AB，
∴ ABCD的周长＝2(BC＋AB)＝20.
15.[2024秋·无锡期末]如图1，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AD＝BD＝2 ，BD⊥AD，点E为线段AO上一动点，连接DE，将DE绕点D逆时针旋转90°得到DF，连接BF.
(1)求证：BF＝AE；
(2)求证：BF⊥AC；
(3)如图2，当点F落在△OBC的外面，BF交AC于点M，且能构成四边形DEMF时，四边形DEMF的面积是否发生变化？若不变，请求出这个值，若变化，请说明理由.
第15题图
解：(1)证明：∵DE绕点D逆时针旋转90°得到DF，
∴∠EDF＝90°，DE＝DF，
∵BD⊥AD，
∴∠ADB＝90°，
∴∠EDF＝∠ADB，
∴∠EDF－∠BDE＝∠ADB－∠BDE，
∴∠ADE＝∠BDF，
∵AD＝BD，
∴△ADE≌△BDF(SAS)，
∴BF＝AE；
(2)证明：如图1，
第15题图
设直线BF交AC于点G，
由(1)，得△ADE≌△BDF，
∴∠DBF＝∠DAE，
∵∠BOG＝∠AOD，
∴∠BGO＝∠ADB＝90°，
∴BF⊥AC；
(3)如图2.四边形DEMF的面积不变，理由：
连接DM，作DH⊥DM，交AC于点H，作DQ⊥AC于点Q，
第15题图
∴∠HDM＝∠EDF＝90°，DE＝DF，
∴∠HDE＝∠MDF＝90°－∠EDM，
由(2)可知，BF⊥AC，
∴∠EMF＝90°，
∴∠EMF＋∠EDF＝180°，
在四边形DEMF中，∠F＋∠DEM＝360°－(∠EMF＋∠EDF)＝360°－180°＝180°，
∵∠DEH＋∠DEM＝180°，
∴∠DEH＝∠F，
∵DE＝DF，
∴△DEH≌△DFM(ASA)，
∴S四边形DEMF＝S△DHM，DH＝DM，
∴QH＝QM，
∴DQ＝HM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB＝BD＝，
∵∠ADB＝90°，
∴OA＝＝＝5，
由S△AOD＝OA·DQ＝AD·OD，得
∴5DQ＝2 ×，
∴DQ＝2，
∴S△DHM＝HM·DQ＝DQ2＝4，
∴四边形DEMF的面积为4.1.在 ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是( D )
A.1∶2∶3∶4 B.1∶2∶2∶1
C.1∶1∶2∶2 D.2∶1∶2∶1
2.[2023春·邹城期末]如图，在 ABCD中，若∠D＝∠A－40°，则∠B的度数为( C )
第2题图
A.35° B.55°
C.70° D.110°
3.[2022·乐山]如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，过点B作BF⊥AC，垂足为点F.若AB＝6，AC＝8，DE＝4，则BF的长为( B )
第3题图
A.4 B.3
C. D.2
4.如图，四边形ABCD是平行四边形，线段BE垂直平分边CD于点E，点F是边AD上一点，连接BF，若BF＝DF，∠CBE＝α，则∠BFA的度数是( A )
第4题图
A.4α B.3α
C.2α D.180°－α
5.[2023春·太康县期末]如图，在 ABCD中，CE平分∠BCD，AD＝2AB，交AD边于点E，且AE＝5，则AB的长为( D )
第5题图
A. B.3
C.4 D.5
6.[贵阳中考]如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝3，AD＝4，则EF的长是( B )
第6题图
A.1 B.2
C.2.5 D.3
7.[荆州中考]如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中按图中摆放，设∠1＝30°，那么∠2＝( C )
第7题图
A.55° B.65°
C.75° D.85°
8.[2023·海南]如图，在 ABCD中，AB＝8，∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，交边AD于点E，连接CE，若AE＝2ED，则CE的长为( C )
第8题图
A.6 B.4
C.4 D.2
9.[2022·荆州]如图，点E，F分别在 ABCD的边AB，CD的延长线上，连接EF，分别交AD，BC于点G，H.添加一个条件使△AEG≌△CFH，这个条件可以是(示例)BE＝DF.(只需写一种情况)
第9题图
10.如图，在 ABCD中，∠ADC＝119°，BE⊥DC于点E，DF⊥BC于点F，BE与DF交于点H，则∠BHF＝61°.
第10题图
11.如图，AB∥CD，AD∥BC，点E，F分别是线段BC和CD上的动点，在两点运动到某一位置时，恰好使得∠AEF＝∠AFE，此时量得∠BAE＝15°，∠FEC＝12°，∠DAF＝25°，则∠EFC＝22°.
第11题图
12.[云南中考]在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AD＝4 ，BD＝4，则平行四边形ABCD的面积等于16或8.
13.[2024春·牡丹江期中]已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF.求证：DE＝BF.
第13题图
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠DAE＝∠BCF，
∵AE＝CF，
∴△ADE≌△CBF(SAS)，
∴DE＝BF.
14.[2024春·安康期末]如图，在 ABCD中，延长边DA至点E，使得AE＝AD，连接CE交AB于点F.求证：EF＝CF.
第14题图
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠E＝∠BCF，
∵AE＝AD，
∴AE＝BC，
又∵∠AFE＝∠BFC，
∴△AEF≌△BCF(AAS)，
∴EF＝CF.
15.如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E.
(1)求证：BE＝CD；
(2)连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝2，求平行四边形ABCD的面积.
第15题图
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AEB＝∠DAE，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴BE＝CD；
(2)∵AB＝BE，∠BEA＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB＝2，
∵BF⊥AE，
∴AF＝EF＝1，
∴BF＝＝＝，
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠ECF，∠DAF＝∠E，
在△ADF和△ECF中，
∴△ADF≌△ECF(AAS)，
∴△ADF的面积＝△ECF的面积，
∴平行四边形ABCD的面积＝△ABE的面积＝AE·BF＝×2×＝.
16.[2024春·成都期末]如图，在 ABCD中，AD⊥AC，AD＝AC，E为射线BA上一点，直线DE与直线AC交于点G，CH⊥DE于H，CH的延长线与直线AB交于点F.
(1)当E在线段AB上时，
①若∠CDE＝30°，CG＝2，求 ABCD的面积；
②求证：DG＝CF＋FG；
(2)若HG＝HF，FG＝，求DG的长.
第16题图
解：(1)①过点G作GP⊥CD，垂足为点P，
第16题图
∵AD⊥AC，AD＝AC，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠ADC＝∠ACD＝45°，
∵∠CPG＝90°，
∴△GCP是等腰直角三角形，
∴CP＝PG，
∵CG＝2，
∴＝CG，
∴GP＝CP＝，
∵∠CDE＝30°，
∴DG＝2PG＝2 ，
∴DP＝＝，
∴CD＝＋，
∵＝AD＝CD＝＋，
∴AC＝AD＝1＋，
∴ ABCD的面积为AC·AD＝(1＋)2＝4＋2 ；
②如图2中，延长CF交DA的延长线于点T，连接FG，
第16题图
∵CH⊥DE，
∴∠CHD＝90°，
∵∠CHG＝∠DAG＝
90°，
∠CGH＝∠AGD，
∴∠GCH＝∠GDA，
∵∠DAG＝∠CAT＝
90°，AD＝AC，
∴△DAG≌△CAT(ASA)，
∴DG＝CT，AG＝AT，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ACB＝∠CAD＝90°，
∵AD＝AC，
∴AC＝BC，
∴∠CAB＝45°，
∵∠CAT＝90°，
∴∠GAF＝∠TAF＝45°，
∵AF＝AF，
∴△GAF≌△TAF(SAS)，
∴GF＝TF，
∴DG＝CT＝CF＋TF＝CF＋FG；
(2)当点E在线段AB上时，
第16题图
∵HG＝HF，
FG＝，
CH⊥DE，
∴GH＝HF＝1，
∵AD⊥AC，
AD＝AC，
∴∠CFG＝∠EGF＝
∠DCA＝45°，
∴∠DCA＋∠ACF＝∠CFG＋∠ACF，
即∠DCT＝∠AGF，
同理(1)②得∠ATC＝∠AGF，FG＝FT＝，DG＝CF＋GF＝CF＋FT，
∴∠ATC＝∠DCT，
∴△CDT是等腰三角形，
∴CH＝HT＝1＋，
∴DG＝CT＝2＋2 ；
当点E在射线BA上时，
第16题图
同理得△ACT≌△ADG，
∴∠ATC＝∠AGE，
AT＝AG，
∵∠CAB＝180°－
∠ADC－∠DAC＝
45°，
∴∠CAE＝135°，
∴∠DAE＝45°，
∵AF＝AF，
∴△ATF≌△AGF(SAS)，
∴∠AFT＝∠AFG，
∵∠AED＝∠GEF，
∠DAE＝∠HGF＝45°，
∴∠AFG＝∠ADE＝∠AFT，
∵CD∥BF，
∴∠AFT＝∠DCT，
∴∠ADE＝∠DCT，
∴∠AGE＝∠ATC＝∠ADC＋∠DCT＝∠ADC＋∠ADE＝∠CDG，
∴△CDG是等腰三角形，
∵CF⊥DG，
∴DH＝HG＝1，
∴DG＝DH＋HG＝2；
综上所述，DG长为2或2＋2 .1.[2023·德庆县一模]如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，若AC＝8，则线段AO的长为( )
第1题图
A.3 B.4
C.5 D.16
2.在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.若AC＝16，BD＝10，则AD的长度的取值范围为( )
A.AD＞3 B.3＜AD＜13
C.AD＜3 D.63.[2023春·泗洪县期末]如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝10 cm，AB＝4 cm，BD⊥AB，则BD的长为( )
第3题图
A.4 cm B.5 cm
C.6 cm D.8 cm
4.如图， ABCD的对角线相交于点O，且AB＝5，△OCD的周长为23，则平行四边形ABCD的两条对角线的和是( )
第4题图
A.18 B.28
C.36 D.46
5.[2023春·贵阳期末]如图， ABCD的对角线AC，BD相交于O，EF过点O并与AD，BC分别相交于E，F，若AB＝5，BC＝7，OE＝2，那么四边形EFCD的周长为( )
第5题图
A.16 B.14
C.12 D.10
6.如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，点P为AB边上一动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ长度的最小值为( )
第6题图
A.6 B.8
C.2 D.4
7.[2023春·竞秀区期末]如图所示，EF过 ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F.下列结论：①OE＝OF ②∠ABC＝∠ADC ③△AOE≌△COD ④S四边形ABFE＝S△ABC.其中正确的有( )
第7题图
A.①②③ B.①②④
C.②③④ D.①②③④
8.[2023秋·临汾期中]如图， ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，直线EF过O点，分别与AB，CD交于点E和点F.若 ABCD的面积为8，则图中阴影部分的面积是 .
第8题图
9.已知点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，AB＝24，AD＝36，则△OBC的周长比△AOB的周长大 .
第9题图
10.[2023春·项城期末]如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
OE⊥AC，交AB于点E，连接CE.若△BCE的周长为12，则 ABCD的周长为 .
11.[2023春·长春期中]如图，在 ABCD中，∠DAB的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点G，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点H，AG与BH相交于点O，连接BE，则下列结论：
第10题图
①∠AOB＝90° ②AB＝AH ③DF＝CE ④△DFH≌△CEG ⑤OB＝OH.其中正确的是 .(填序号)
第11题图
12.[2024·成都模拟]如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在CA和AC的延长线上，且AE＝CF，连接DE，BF.求证：DE＝BF.
第12题图
13.[2023·济南]已知：如图，点O为 ABCD对角线AC的中点，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F.
求证：DE＝BF.
第13题图
14.如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F，连接EC.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求 ABCD的周长.
第14题图
15.[2024秋·无锡期末]如图1，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AD＝BD＝2 ，BD⊥AD，点E为线段AO上一动点，连接DE，将DE绕点D逆时针旋转90°得到DF，连接BF.
(1)求证：BF＝AE；
(2)求证：BF⊥AC；
(3)如图2，当点F落在△OBC的外面，BF交AC于点M，且能构成四边形DEMF时，四边形DEMF的面积是否发生变化？若不变，请求出这个值，若变化，请说明理由.
第15题图