1.[2023春·永城期末]如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点M，N分别为AC，BC的中点，连接MN.若BC＝6，则MN的长度是( )
第1题图
A.6 B.4
C.2 D.12
2.[铜仁中考]如图，点D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，点E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，则四边形EFGH的周长为( )
第2题图
A.12 B.14
C.24 D.21
3.[2023·遵义三模]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别为CA，CB的中点，AF平分∠BAC，交DE于点F，若AC＝6，BC＝8，则EF的长为( )
A.2 B.1
C.4 D.
第3题图
4.[2023春·蜀山区期末]如图，在等边三角形ABC中，AB＝6，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D，E.点G为AD的中点，点H为BE的中点.连接GH，则GH的值为( )
第4题图
A.1 B.1.5
C.2 D.3
5.如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AE＝BE，BF＝CF，连接EF，AD＝3，CD＝1，则EF的长为( )
第5题图
A. B.
C. D.2
6.如图，在△ABC中，点M是BC边的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，若AB＝8，MN＝2，则AC的长为( )
第6题图
A.8 B.10
C.12 D.14
7.[2024春·潜山市期末]已知在四边形ABCD中，AB＝4，CD＝6，点M，N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是( )
第7题图
A.1＜MN＜5 B.1＜MN≤5
C.2＜MN＜10 D.2＜MN≤10
8.如图， ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，点G为DE的中点，连接CG.若AD＝3，AB＝CF＝2，则CG的长为 .
第8题图
9.[2024春·永州期中]如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD上一点，AM＝2MD，点E，F分别是BM，CM的中点，若EF＝6，则AM的长为 .
第9题图
10.[济南中考]如图，已知等边△ABC，CD⊥AB于D，AF⊥AC，E为线段CD上一点，且CE＝AF，连接BE，BF，EG⊥BF于G，连接DG.
(1)求证：BE＝BF；
(2)试说明DG与AF的位置关系和数量关系.
第10题图
11.在 ABCD中，AB⊥AC，点O为AC的中点，点E，M分别为AB，CE上的点，连接MO并延长至点N，使MO＝NO.
(1)判断四边形AMCN的形状，并加以证明；
(2)当点M为CE中点时，请判断AC和MN之间的位置关系，并加以证明；
(3)在(2)的条件下，若∠B＝60°，AB＝4，点E为AB中点，求四边形AMCN的面积.
第11题图
12.[2023·东营](1)用数学的眼光观察.
如图1，在四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线BD的中点，点M是AB的中点，点N是DC的中点，求证：∠PMN＝∠PNM；
图1
(2)用数学的思维思考.
如图2，延长图中的线段AD交MN的延长线于点E，延长线段BC交MN的延长线于点F，求证：∠AEM＝∠F；
图2
(3)用数学的语言表达.
如图3，在△ABC中，AC
图3
第12题图1.[2023春·永城期末]如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点M，N分别为AC，BC的中点，连接MN.若BC＝6，则MN的长度是( A )
第1题图
A.6 B.4
C.2 D.12
2.[铜仁中考]如图，点D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，点E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，则四边形EFGH的周长为( A )
第2题图
A.12 B.14
C.24 D.21
3.[2023·遵义三模]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别为CA，CB的中点，AF平分∠BAC，交DE于点F，若AC＝6，BC＝8，则EF的长为( A )
A.2 B.1
C.4 D.
第3题图
4.[2023春·蜀山区期末]如图，在等边三角形ABC中，AB＝6，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D，E.点G为AD的中点，点H为BE的中点.连接GH，则GH的值为( B )
第4题图
A.1 B.1.5
C.2 D.3
5.如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AE＝BE，BF＝CF，连接EF，AD＝3，CD＝1，则EF的长为( B )
第5题图
A. B.
C. D.2
6.如图，在△ABC中，点M是BC边的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，若AB＝8，MN＝2，则AC的长为( C )
第6题图
A.8 B.10
C.12 D.14
7.[2024春·潜山市期末]已知在四边形ABCD中，AB＝4，CD＝6，点M，N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是( B )
第7题图
A.1＜MN＜5 B.1＜MN≤5
C.2＜MN＜10 D.2＜MN≤10
8.如图， ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，点G为DE的中点，连接CG.若AD＝3，AB＝CF＝2，则CG的长为.
第8题图
9.[2024春·永州期中]如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD上一点，AM＝2MD，点E，F分别是BM，CM的中点，若EF＝6，则AM的长为8.
第9题图
10.[济南中考]如图，已知等边△ABC，CD⊥AB于D，AF⊥AC，E为线段CD上一点，且CE＝AF，连接BE，BF，EG⊥BF于G，连接DG.
(1)求证：BE＝BF；
(2)试说明DG与AF的位置关系和数量关系.
第10题图
解：(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，
∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，
∵CD⊥AB，AC＝BC，
∴BD＝AD，∠BCD＝30°，
∵AF⊥AC，
∴∠FAC＝90°，
∴∠FAB＝∠FAC－∠BAC＝30°，
∴∠FAB＝∠ECB，且AB＝BC，
AF＝CE，
∴△ABF≌△CBE(SAS)，
∴BF＝BE；
(2)AF＝2GD，AF∥DG.理由：
连接EF，
第10题图
∵△ABF≌△CBE，
∴∠ABF＝∠CBE，
∵∠ABE＋∠EBC＝60°，
∴∠ABE＋∠ABF＝60°，
∵BE＝BF，
∴△BEF是等边三角形，
∵GE⊥BF，
∴BG＝FG，且BD＝AD，
∴GD是△ABF的中位线，
∴AF＝2GD，AF∥DG.
11.在 ABCD中，AB⊥AC，点O为AC的中点，点E，M分别为AB，CE上的点，连接MO并延长至点N，使MO＝NO.
(1)判断四边形AMCN的形状，并加以证明；
(2)当点M为CE中点时，请判断AC和MN之间的位置关系，并加以证明；
(3)在(2)的条件下，若∠B＝60°，AB＝4，点E为AB中点，求四边形AMCN的面积.
第11题图
解：(1)四边形AMCN是平行四边形，理由：
∵点O为AC的中点，
∴OA＝OC.
∵MO＝NO,
∴四边形AMCN是平行四边形；
(2)当点M为CE中点时，AC和MN之间的位置关系为AC⊥MN，证明：
∵M为CE的中点，点O为AC的中点，
∴OM为△ACE的中位线.
∴OM∥AB.
∵AB⊥AC，
∴OM⊥AC，即AC⊥MN；
(3)∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°.
∵∠B＝60°，∴∠ACB＝90°－60°＝30°.
∵AB＝4，
∴BC＝2AB＝8.
∴AC＝＝＝4 .
∵点E为AB中点，∴AE＝AB＝2.
∵OM为△ACE的中位线，
∴OM＝AE＝1.
∵OM⊥AC，
∴S△ACM＝AC·OM＝×4 ×1＝2 .
∴S四边形AMCN＝2S△ACM＝4 .
∴四边形AMCN的面积为4 .
12.[2023·东营](1)用数学的眼光观察.
如图1，在四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线BD的中点，点M是AB的中点，点N是DC的中点，求证：∠PMN＝∠PNM；
图1
(2)用数学的思维思考.
如图2，延长图中的线段AD交MN的延长线于点E，延长线段BC交MN的延长线于点F，求证：∠AEM＝∠F；
图2
(3)用数学的语言表达.
如图3，在△ABC中，AC图3
第12题图
证明：(1)∵点P是BD的中点，点M是AB的中点，
∴PM＝AD.
同理，PN＝BC.
∵AD＝BC，
∴PM＝PN，
∴∠PMN＝∠PNM；
(2)∵点P是BD的中点，点N是DC的中点，
∴PN∥BC，
∴∠PNM＝∠F.
同理，∠PMN＝∠AEM.
由(1)可知∠PMN＝∠PNM，
∴∠AEM＝∠F；
(3)△CGD是直角三角形，证明：
如图，取BD的中点P，连接PM，PN，
第12题图
∵点M是AB的中点，
∴PM∥AD，PM＝AD.
同理，PN∥BC，PN＝BC.
∵AD＝BC，
∴PM＝PN，
∴∠PMN＝∠PNM.
∵PM∥AD，
∴∠PMN＝∠ANM＝60°，
∴∠PNM＝∠PMN＝60°.
∵PN∥BC，
∴∠CGN＝∠PNM＝60°.
又∵∠CNG＝∠ANM＝60°，
∴△CGN是等边三角形，
∴CN＝GN，
又∵CN＝DN，
∴DN＝GN，
∴∠NDG＝∠NGD＝30°，
∴∠CGD＝∠CGN＋∠NGD＝60°＋30°＝90°.
∴△CGD是直角三角形.