第六章 平行四边形
一、选择题(共12小题，每题3分，共36分)
1.[2023·湖南]如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，添加下列条件后仍不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
第1题图
A.AD＝BC B.AB∥DC
C.∠A＝∠C D.AB＝DC
2.[2023春·德州期中]如图，为估计池塘的宽度BC，在池塘的一侧取一点A，再分别取AB，AC的中点D，E，测得DE的长度为20米，则池塘的宽BC长为( )
第2题图
A.40米 B.60米
C.30米 D.25米
3.[2023春·通许县期末]如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝70°，则∠AED的度数是( )
第3题图
A.110° B.108°
C.105° D.100°
4.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则平行四边形的周长为( )
A.28或32 B.28或36
C.32或36 D.28或32或36
5.如图，l1∥l2， ABCD的顶点A在l1上，BC交 l2于点E.若∠C＝100°，则∠1＋∠2＝( )
第5题图
A.100° B.90°
C.80° D.70°
6.如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P，作EF∥BC，HG∥AB，若四边形AEPH和四边形CFPG的面积分别为S1和S2，则S1与S2的大小关系为( )
第6题图
A.S1＝S2 B.S1>S2
C.S17.[2022·达州]如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，BC边的中点，点F在DE的延长线上.添加一个条件，使得四边形ADFC为平行四边形，则这个条件可以是( )
第7题图
A.∠B＝∠F B.DE＝EF
C.AC＝CF D.AD＝CF
8.[2023春·宛城区期末]如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB与∠CBA的平分线相交于DC边上的一点E，若AE＝3，BE＝2，则平行四边形ABCD的面积为( )
第8题图
A.3 B.6
C.8 D.12
9.如图，AE∥BD，BE∥DF，AB∥CD，现给出四个结论：①四边形ABDC是平行四边形 ②BE＝DF ③S四边形ABDC＝S四边形BDFE ④BD＝CE.其中错误的有( )
第9题图
A.4个 B.3个
C.2个 D.1个
10.[2022·安顺]如图，在△ABC中，AC＝2 ，∠ACB＝120°，点D是边AB的中点，点E是边BC上一点，若DE平分△ABC的周长，则DE的长为( )
A. B.
C. D.
第10题图
11.[2022·达州]如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC＝7，则MN的长度为( )
第11题图
A. B.2
C. D.3
12.[2023·安徽]如图，E是线段AB上一点，△ADE和△BCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形，点P，F分别是CD，AB的中点.若AB＝4，则下列结论错误的是( )
第12题图
A.PA＋PB的最小值为3
B.PE＋PF的最小值为2
C.△CDE周长的最小值为6
D.四边形ABCD面积的最小值为3
二、填空题(共6小题，每题3分，共18分)
13.[2023春·辽阳期末]一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是 .
14.在 ABCD中，AD＝5，∠BAD的平分线交CD于点E，∠ABC的平分线交CD于点F，若线段EF＝2，则AB的长为 .
15.[2023春·邻水县期末]如图，已知 ABCD的周长是24 cm，对角线AC和BD相交于点O，△OBC的周长比△OAB的周长大2 cm，则BC＝ cm.
第15题图
16.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD>BC，BC＝6 cm，P，Q分别从点A，C同时出发，点P以1 cm/s的速度由点A向点D运动，点Q以2 cm/s的速度由点C向点B运动，当四边形ABQP是平行四边形时，运动时间为 s.
第16题图
17.[2023春·辽阳期末]如图，平行四边形ABCD的周长为30，AE⊥BC于点E，AF⊥DC的延长线于点F，AE＝4，AF＝6，则平行四边形ABCD的面积是 .
第17题图
18.[2023·绍兴期末]如图，在平行四边形ABCD中，AD＝4，∠A＝60°，E是边DC延长线上一点，连接BE，以BE为边作等边三角形BEF，连接FC，则FC的最小值是 .
第18题图
三、解答题(共6小题，共46分)
19.(6分)[2022·陕西]如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C.E是边BC上一点，且DE＝DC.求证：AD＝BE.
第19题图
20.(6分)[2024·泸州]如图，在 ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且DE＝BF.求证：∠1＝∠2.
第20题图
21.(8分)[2023春·丹东期末]在 ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD相交于点F，连接BF，DE.
第21题图
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；
(2)若DE＝DC，∠CBD＝45°，CD＝6，CE＝4，求BE的长.
22.(8分)如图，四边形ABCD为平行四边形，点E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F.
(1)求证：△ABE≌△FCE；
(2)过点D作DG⊥AE于点G，点H为DG的中点，连接CH.判断CH与DG的位置关系，并说明理由.
第22题图
第23题图
23.(8分)(1)[方法回顾]课本上“三角形中位线定理”的证明.
已知：如图1，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点.
求证：DE＝BC，DE∥BC.
证明：如图1，延长DE到点F，使得EF＝DE，连接CF.请继续完成证明过程；
第23题图
(2)[问题解决]
如图2，AB∥CD，E为AD的中点，G，F分别为射线AB，DC上的点，∠GEF＝90°，线段AG，DF，FG有怎样的数量关系？请说明理由.
24.(10分)[2023·潍坊]如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，D为△ABC内部的一动点(不在边上)，连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转60°，使点B到达点F的位置；将线段AB绕点B顺时针旋转60°，使点A到达点E的位置，连接AD，CD，AE，AF，BF，EF.
第24题图
(1)求证：△BDA≌△BFE；
(2)①CD＋DF＋FE的最小值为 ；
②当CD＋DF＋FE取得最小值时，求证：AD∥BF；
(3)如图2，M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，连接MP，NP，在点D运动的过程中，请判断∠MPN的大小是否为定值.若是，求出其度数；若不是，请说明理由.第六章 平行四边形
一、选择题(共12小题，每题3分，共36分)
1.[2023·湖南]如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，添加下列条件后仍不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( D )
第1题图
A.AD＝BC B.AB∥DC
C.∠A＝∠C D.AB＝DC
2.[2023春·德州期中]如图，为估计池塘的宽度BC，在池塘的一侧取一点A，再分别取AB，AC的中点D，E，测得DE的长度为20米，则池塘的宽BC长为( A )
第2题图
A.40米 B.60米
C.30米 D.25米
3.[2023春·通许县期末]如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝70°，则∠AED的度数是( D )
第3题图
A.110° B.108°
C.105° D.100°
4.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则平行四边形的周长为( D )
A.28或32 B.28或36
C.32或36 D.28或32或36
5.如图，l1∥l2， ABCD的顶点A在l1上，BC交 l2于点E.若∠C＝100°，则∠1＋∠2＝( C )
第5题图
A.100° B.90°
C.80° D.70°
6.如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P，作EF∥BC，HG∥AB，若四边形AEPH和四边形CFPG的面积分别为S1和S2，则S1与S2的大小关系为( A )
第6题图
A.S1＝S2 B.S1>S2
C.S17.[2022·达州]如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，BC边的中点，点F在DE的延长线上.添加一个条件，使得四边形ADFC为平行四边形，则这个条件可以是( B )
第7题图
A.∠B＝∠F B.DE＝EF
C.AC＝CF D.AD＝CF
8.[2023春·宛城区期末]如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB与∠CBA的平分线相交于DC边上的一点E，若AE＝3，BE＝2，则平行四边形ABCD的面积为( B )
第8题图
A.3 B.6
C.8 D.12
9.如图，AE∥BD，BE∥DF，AB∥CD，现给出四个结论：①四边形ABDC是平行四边形 ②BE＝DF ③S四边形ABDC＝S四边形BDFE ④BD＝CE.其中错误的有( D )
第9题图
A.4个 B.3个
C.2个 D.1个
10.[2022·安顺]如图，在△ABC中，AC＝2 ，∠ACB＝120°，点D是边AB的中点，点E是边BC上一点，若DE平分△ABC的周长，则DE的长为( C )
A. B.
C. D.
第10题图
11.[2022·达州]如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC＝7，则MN的长度为( C )
第11题图
A. B.2
C. D.3
12.[2023·安徽]如图，E是线段AB上一点，△ADE和△BCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形，点P，F分别是CD，AB的中点.若AB＝4，则下列结论错误的是( A )
第12题图
A.PA＋PB的最小值为3
B.PE＋PF的最小值为2
C.△CDE周长的最小值为6
D.四边形ABCD面积的最小值为3
二、填空题(共6小题，每题3分，共18分)
13.[2023春·辽阳期末]一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是10.
14.在 ABCD中，AD＝5，∠BAD的平分线交CD于点E，∠ABC的平分线交CD于点F，若线段EF＝2，则AB的长为8或12.
15.[2023春·邻水县期末]如图，已知 ABCD的周长是24 cm，对角线AC和BD相交于点O，△OBC的周长比△OAB的周长大2 cm，则BC＝7cm.
第15题图
16.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD>BC，BC＝6 cm，P，Q分别从点A，C同时出发，点P以1 cm/s的速度由点A向点D运动，点Q以2 cm/s的速度由点C向点B运动，当四边形ABQP是平行四边形时，运动时间为2s.
第16题图
17.[2023春·辽阳期末]如图，平行四边形ABCD的周长为30，AE⊥BC于点E，AF⊥DC的延长线于点F，AE＝4，AF＝6，则平行四边形ABCD的面积是36.
第17题图
18.[2023·绍兴期末]如图，在平行四边形ABCD中，AD＝4，∠A＝60°，E是边DC延长线上一点，连接BE，以BE为边作等边三角形BEF，连接FC，则FC的最小值是2.
第18题图
三、解答题(共6小题，共46分)
19.(6分)[2022·陕西]如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C.E是边BC上一点，且DE＝DC.求证：AD＝BE.
第19题图
证明：∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠C.
∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠DEC，
∴AB∥DE，
∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形.
∴AD＝BE.
20.(6分)[2024·泸州]如图，在 ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且DE＝BF.求证：∠1＝∠2.
第20题图
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥CB，
∴∠ADE＝∠CBF，
又∵DE＝BF，
∴△ADE≌△CBF(SAS)，
∴∠1＝∠2.
21.(8分)[2023春·丹东期末]在 ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD相交于点F，连接BF，DE.
第21题图
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；
(2)若DE＝DC，∠CBD＝45°，CD＝6，CE＝4，求BE的长.
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，点O是对角线BD的中点，
∴AD∥BC，BO＝DO，
∴∠CBD＝∠ADB.
在△BOE和△DOF中，
∴△BOE≌△DOF(ASA)，
∴DF＝BE.
∵DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形；
(2)如图，过点D作DN⊥EC于点N，
第21题图
∵DE＝DC＝6，DN⊥EC，
∴EN＝CN＝2，
∴DN＝＝＝4 .
∵∠DBC＝45°，DN⊥BC，
∴∠DBC＝∠BDN＝45°，
∴DN＝BN＝4 ，
∴BE＝BN－EN＝4 －2.
22.(8分)如图，四边形ABCD为平行四边形，点E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F.
(1)求证：△ABE≌△FCE；
(2)过点D作DG⊥AE于点G，点H为DG的中点，连接CH.判断CH与DG的位置关系，并说明理由.
第22题图
解：(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠BAE＝∠CFE.
∵点E为BC的中点，
∴BE＝CE.
在△ABE和△FCE中，
∴△ABE≌△FCE(AAS)；
(2)CH⊥DG.理由如下：
∵△ABE≌△FCE，
∴AB＝CF.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，
∴CF＝CD，
∴点C为FD的中点.
∵点H为DG的中点，
∴CH为△DFG的中位线，
∴CH∥AE.
∵DG⊥AE，
∴DG⊥CH.
第23题图
23.(8分)(1)[方法回顾]课本上“三角形中位线定理”的证明.
已知：如图1，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点.
求证：DE＝BC，DE∥BC.
证明：如图1，延长DE到点F，使得EF＝DE，连接CF.请继续完成证明过程；
第23题图
(2)[问题解决]
如图2，AB∥CD，E为AD的中点，G，F分别为射线AB，DC上的点，∠GEF＝90°，线段AG，DF，FG有怎样的数量关系？请说明理由.
解：(1)证明：如图1所示，延长DE到点F，使得EF＝DE，连接CF，
∵点E是AC的中点，
第23题图
∴AE＝CE，且∠AED＝∠CEF，
∴△ADE≌△CFE(SAS)，
∴AD＝CF，∠ADE＝∠F，
∴AB∥CF，即BD∥CF，
∵点D是AB中点，
∴AD＝BD，
∴BD＝CF，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴DF＝BC，DF∥BC，即DE∥BC，
∵DE＝EF，即DE＝DF，
∴DE＝BC；
(2)FG＝AG＋DF，理由：
如图2所示，延长BA，FE交于点H，
第23题图
∵AB∥DC，
∴AH∥DF，
∴∠HAE＝∠FDE，
∵点E是AD中点，
∴AE＝DE，且∠AEH＝∠DEF，
∴△AEH≌△DEF(ASA)，
∴DF＝AH，EF＝EH，
∵∠GEF＝90°，即GE⊥FH，
∴在Rt△GHE与Rt△GFE中，
∴△GHE≌△GFE(SAS)，
∴GF＝GH，
∴GF＝AG＋AH，且AH＝DF，
∴FG＝AG＋DF.
24.(10分)[2023·潍坊]如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，D为△ABC内部的一动点(不在边上)，连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转60°，使点B到达点F的位置；将线段AB绕点B顺时针旋转60°，使点A到达点E的位置，连接AD，CD，AE，AF，BF，EF.
第24题图
(1)求证：△BDA≌△BFE；
(2)①CD＋DF＋FE的最小值为________；
②当CD＋DF＋FE取得最小值时，求证：AD∥BF；
(3)如图2，M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，连接MP，NP，在点D运动的过程中，请判断∠MPN的大小是否为定值.若是，求出其度数；若不是，请说明理由.
解：(1)证明：∵∠DBF＝∠ABE＝60°，
∴∠DBF－∠ABF＝∠ABE－∠ABF，
∴∠ABD＝∠EBF，
在△BDA与△BFE中，
∴△BDA≌△BFE(SAS)；
(2)①∵两点之间，线段最短，
即C，D，F，E共线时，CD＋DF＋FE最小，
∴CD＋DF＋FE最小值为CE，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，
∴BE＝AB＝2，BC＝＝，
∵∠CBE＝∠ABC＋∠ABE＝90°，
∴CE＝＝，
故答案为：；
②证明：∵BD＝BF，∠DBF＝60°，
∴△BDF为等边三角形，
即∠BFD＝60°，
∵C，D，F，E共线时CD＋DF＋FE最小，
∴∠BFE＝120°，
∵△BDA≌△BFE，
∴∠BDA＝120°，
∴∠ADF＝∠ADB－∠BDF＝120°－60°＝60°，
∴∠ADF＝∠BFD，
∴AD∥BF；
(3)∠MPN的大小是定值，理由：
如图，连接MN，
第24题图
∵M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，
∴MN∥AD且PN∥EF，
∵AB＝BE且∠ABE＝60°，
∴△ABE为等边三角形，
设∠BEF＝∠BAD＝α，∠PAN＝β，
则∠AEF＝∠APN＝60°－α，
∠EAD＝60°＋α，
∴∠PNF＝60°－α＋β，
∠FNM＝∠FAD＝60°＋α－β，
∴∠PNM＝∠PNF＋∠FNM＝60°－α＋β＋60°＋α－β＝120°，
∵△BDA≌△BFE，
∴MN＝AD＝FE＝PN，
∴∠MPN＝(180°－∠PNM)＝30°.
