1.下列现象中是旋转的是( D )
A.雪橇在雪地上滑行
B.抽屉来回运动
C.电梯的上下移动
D.汽车方向盘的转动
2.[2023春·太原期中]如图，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转一个角度得到△DEF，其中点A，B，C分别旋转到了点D，E，F.在旋转过程中，与∠AOB始终相等的是( D )
第2题图
A.∠ABC B.∠BAO
C.∠AOE D.∠DOE
3.如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′的度数是( B )
第3题图
A.35° B.40°
C.50° D.70°
4.[2023春·西安期末]如图，在下列选项中的四个三角形中，不能由△ABC经过旋转或平移得到的是( B )
第4题图
5.[2023·通辽]如图，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE，旋转角为α(0°<α<180°)，点B的对应点D恰好落在BC边上，若DE⊥AC，∠CAD＝24°，则旋转角α的度数为( C )
第5题图
A.24° B.28°
C.48° D.66°
6.[2023·河西区二模]如图，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为斜边AB上一点，将△BCD绕点C逆时针旋转90°得到△ACE，则下列说法错误的是( C )
第6题图
A.∠EAC＝∠B
B.△EDC是等腰直角三角形
C.BD2＋AD2＝CD2
D.∠AED＝∠ACD
7.如图，点P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，将△ABP绕点B顺时针旋转得到△CBQ，连接PQ，则以下结论中不正确是( D )
第7题图
A.∠PBQ＝60° B.∠APB＝150°
C.S△PQC＝6 D.S△BPQ＝8
8.如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝2，∠B＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转120°得到△AB′C′，若点P为CB上一动点，旋转后点P的对应点为点P′，则线段PP′长度的最小值是( A )
第8题图
A.3 B.3
C.4 D.4
9.[2023·枣庄]银杏是著名的活化石植物，其叶有细长的叶柄，呈扇形.如图是一片银杏叶标本，叶片上两点B，C的坐标分别为(－3，2)，(4，3)，将银杏叶绕原点顺时针旋转90°后，叶柄上点A对应点的坐标为(－3，1).
第9题图
10.[2022·六盘水]如图，将△ABC绕点A旋转得到△ADE，若∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝1，则AE＝2.
第10题图
11.[2023春·保定期末]如图1，将一个正三角形绕其中心最少旋转60°，所得图形与原图的重叠部分是正六边形；如图2，将一个正方形绕其中心最少旋转45°，所得图形与原图形的重叠部分是正八边形；依此规律，将一个正六边形绕其中心最少旋转30°，所得图形与原图的重叠部分是正多边形.在图2中，若正方形的边长为2，则所得正八边形的面积为8－8.
第11题图
12.[2023·绥化]如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点E为高BD上的动点.连接CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到CF.连接AF，EF，DF，则△CDF周长的最小值是3＋3.
第12题图
13.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2 cm，∠BAC＝45°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△CDE.在旋转过程中：
(1)旋转中心是什么，∠DCE为多少度？
(2)与线段AC相等的线段是哪一条？
(3)△CDE的面积是多少？
第13题图
解：(1)观察图形可知，旋转中心为点C，
∵旋转前后的图形全等，即△DCE≌△BCA，
∴∠DCE＝∠BCA＝
90°－∠BAC＝45°；
(2)∵旋转前后的图形全等，
即△DCE≌△BCA，
∴AC＝CE；
(3)∵旋转前后的图形全等，
即△DCE≌△BCA，
∴AB＝ED＝2 cm，BC＝DC＝2 cm，∠ABC＝∠EDC＝90°，
∴S△CDE＝×2×2＝2(cm2).
14.[2023春·青岛期中]如图，点O是等边△ABC内一点，点D是△ABC外的一点，∠AOB＝100°，∠BOC＝α，将△BOC绕点C顺时针旋转60°得△ADC，连接OD.
(1)当α＝150°时，∠ODA＝________；
(2)当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？说明理由.
第14题图
解：(1)∵将△BOC绕点C顺时针旋转60°得△ADC，
∴△BOC≌△ADC，
∴OC＝DC，
∵∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠ODC＝60°，
∵△BOC≌△ADC，α＝150°，
∴∠ADC＝∠BOC＝150°，
∴∠ADO＝∠ADC－∠ODC＝150°－60°－90°；
故答案为：90°；
(2)∵△BOC≌△ADC，
∴∠ADC＝∠BOC＝α，
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ADO＝α－60°，∠AOD＝360°－100°－α－60°＝200°－α，
∴∠OAD＝180°－∠ADO－∠AOD＝40°，
①当∠AOD＝∠ADO时，200°－α＝α－60°，
∴α＝130°；
②当∠AOD＝∠OAD时，200°－α＝40°，
∴α＝160°；
③当∠ADO＝∠OAD时，α－60°＝40°，
∴α＝100°，
综上所述，当α＝100°或130°或160°时，△OAD是等腰三角形.1.[2023春·漳州期末]如图，在7×5的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是( )
第1题图
A.点M B.点N
C.点P D.点Q
2.[2022·绥化]如图，线段OA在平面直角坐标系内，点A坐标为(2，5)，线段OA绕原点O逆时针旋转90°，得到线段OA′，则点A′的坐标为( )
第2题图
A.(－5，2) B.(5，2)
C.(2，－5) D.(5，－2)
3.如图，△ABC的各顶点都在正方形网格的格点上，其中点A的坐标为(－3，2)，将△ABC绕点C(0，5)逆时针旋转90°后，得到△A1B1C，则点A1的坐标为( )
第3题图
A.(－2，2) B.(3，2)
C.(2，3) D.(2，2)
4.[2023春·青岛期中]如图，在正方形网格中，格点△ABC绕某点顺时针旋转角α(0°<α<180°)得到格点△A1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点，则α＝( )
第4题图
A.30° B.60°
C.90° D.150°
5.如图，在△OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4，点B的坐标为(6，0)，将△OAB绕点A逆时针旋转得到△CAD，当点O的对应点C落在OB上时，点D的坐标为( )
第5题图
A.(7，3 ) B.(7，5)
C.(5 ，5) D.(5 ，3 )
6.[2023春·滨州期末]如图，在正方形网格中，△ABC绕某点旋转一定的角度得到△A′B′C′，则旋转中心的坐标是 .
第6题图
7.如图，将等边△OAB放在平面直角坐标系中，A点坐标(1，0)，将△OAB绕点A顺时针旋转60°，则旋转后点B的对应点B′的坐标为 .
第7题图
8.[2024春·崇明期中]已知直角坐标平面上的机器人接受指令“”(0°＜A＜180°，a≥0)后的行动结果为：在原地逆时针旋转A后，再向面对方向沿直线行走a.若机器人的位置在原点，面对方向为y轴的负半轴，则它完成一次指令后，所在位置的坐标为 .
9.[2024·济南二模]如图，在平面直角坐标系中，将等边△OAB绕点A旋转180°得到△O1AB1，再将△O1AB1绕点O1旋转180°得到△O1A1B2，再将△O1A1B2绕点A1旋转180°得到△O2A1B3，按此规律进行下去，若点B的坐标为(－2，0)，则点B2 024的坐标为 _ _ .
第9题图
10.[2024春·东营期末]如图，在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰Rt△AOB，∠OAB＝90°，直角边AO在x轴上，且AO＝1.将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰Rt△A1OB1，且A1O＝2AO；再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰Rt△A2OB2，且A2O＝2A1O……依此规律，得到等腰Rt△A2 024OB2 024，则点B2 024的坐标为 _ _ .
第10题图
11.[南宁中考]如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1，1)，B(4，1)，C(3，3).
(1)将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
(2)将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；
(3)判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状.(无需说明理由)
第11题图
12.[2023秋·达州期末]如图，平面直角坐标系中，已知A(－3，1)，B(0，3)，C(－4，3).
(1)将△ABC经过平移后得到△A1B1C1，若点C1的坐标为(0，－1)，在图中画出△A1B1C1；
(2)顶点A1坐标为 ，B1的坐标为 ，
(3)将△ABC绕点P沿顺时针方向旋转后得到△A2B2C2，则点P的坐标是 ，旋转角的度数是 .
第12题图
13.如图，在平面直角坐标系中，A，B两点均在边长为1的正方形网格的格点上.
(1)求线段AB所在直线对应的函数解析式，并写出当0≤y≤2时，自变量x的取值范围；
(2)将线段AB绕点B逆时针旋转90°，得到线段BC，请在图中画出线段BC，并求出线段BC所在直线对应的函数解析式；
(3)根据以上两个解析式可知：当两条直线互相垂直时，两个解析式中的k有何关系？
第13题图
14.[2024春·达州期末]已知，点O是等边△ABC内的任一点，连接OA，OB，OC.
(1)如图1，已知∠AOB＝150°，∠BOC＝120°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC.
①∠DAO的度数是 ；
②用等式表示线段OA，OB，OC之间的数量关系，并证明；
(2)设∠AOB＝α，∠BOC＝β.
①当α，β满足什么关系时，OA＋OB＋OC有最小值？请在图2中画出符合条件的图形，并说明理由；
②若等边△ABC的边长为1，直接写出OA＋OB＋OC的最小值.
第14题图1.[2023春·漳州期末]如图，在7×5的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是( A )
第1题图
A.点M B.点N
C.点P D.点Q
2.[2022·绥化]如图，线段OA在平面直角坐标系内，点A坐标为(2，5)，线段OA绕原点O逆时针旋转90°，得到线段OA′，则点A′的坐标为( A )
第2题图
A.(－5，2) B.(5，2)
C.(2，－5) D.(5，－2)
3.如图，△ABC的各顶点都在正方形网格的格点上，其中点A的坐标为(－3，2)，将△ABC绕点C(0，5)逆时针旋转90°后，得到△A1B1C，则点A1的坐标为( B )
第3题图
A.(－2，2) B.(3，2)
C.(2，3) D.(2，2)
4.[2023春·青岛期中]如图，在正方形网格中，格点△ABC绕某点顺时针旋转角α(0°<α<180°)得到格点△A1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点，则α＝( C )
第4题图
A.30° B.60°
C.90° D.150°
5.如图，在△OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4，点B的坐标为(6，0)，将△OAB绕点A逆时针旋转得到△CAD，当点O的对应点C落在OB上时，点D的坐标为( A )
第5题图
A.(7，3 ) B.(7，5)
C.(5 ，5) D.(5 ，3 )
6.[2023春·滨州期末]如图，在正方形网格中，△ABC绕某点旋转一定的角度得到△A′B′C′，则旋转中心的坐标是(－1，－1).
第6题图
7.如图，将等边△OAB放在平面直角坐标系中，A点坐标(1，0)，将△OAB绕点A顺时针旋转60°，则旋转后点B的对应点B′的坐标为(，).
第7题图
8.[2024春·崇明期中]已知直角坐标平面上的机器人接受指令“”(0°＜A＜180°，a≥0)后的行动结果为：在原地逆时针旋转A后，再向面对方向沿直线行走a.若机器人的位置在原点，面对方向为y轴的负半轴，则它完成一次指令后，所在位置的坐标为(，－1).
9.[2024·济南二模]如图，在平面直角坐标系中，将等边△OAB绕点A旋转180°得到△O1AB1，再将△O1AB1绕点O1旋转180°得到△O1A1B2，再将△O1A1B2绕点A1旋转180°得到△O2A1B3，按此规律进行下去，若点B的坐标为(－2，0)，则点B2 024的坐标为(－2_026，2_024).
第9题图
10.[2024春·东营期末]如图，在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰Rt△AOB，∠OAB＝90°，直角边AO在x轴上，且AO＝1.将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰Rt△A1OB1，且A1O＝2AO；再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰Rt△A2OB2，且A2O＝2A1O……依此规律，得到等腰Rt△A2 024OB2 024，则点B2 024的坐标为(22_024，22_024).
第10题图
11.[南宁中考]如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1，1)，B(4，1)，C(3，3).
(1)将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
(2)将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；
(3)判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状.(无需说明理由)
第11题图
解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求作；
第11题图
(2)如图，△A2B2C2即为所求作；
(3)三角形的形状为等腰直角三角形.
12.[2023秋·达州期末]如图，平面直角坐标系中，已知A(－3，1)，B(0，3)，C(－4，3).
(1)将△ABC经过平移后得到△A1B1C1，若点C1的坐标为(0，－1)，在图中画出△A1B1C1；
(2)顶点A1坐标为(1，－3)，B1的坐标为(4，－1)，
(3)将△ABC绕点P沿顺时针方向旋转后得到△A2B2C2，则点P的坐标是(0，－1)，旋转角的度数是90°.
第12题图
解：(1)△A1B2C1即为所求作；
第12题图
13.如图，在平面直角坐标系中，A，B两点均在边长为1的正方形网格的格点上.
(1)求线段AB所在直线对应的函数解析式，并写出当0≤y≤2时，自变量x的取值范围；
(2)将线段AB绕点B逆时针旋转90°，得到线段BC，请在图中画出线段BC，并求出线段BC所在直线对应的函数解析式；
(3)根据以上两个解析式可知：当两条直线互相垂直时，两个解析式中的k有何关系？
第13题图
解：(1)设直线AB的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
依题意，得A(1，0)，B(0，2)，代入解析式得到
解得
∴直线AB的函数解析式为y＝－2x＋2；
由图象可知，当0≤y≤2时，自变量x的取值范围是0≤x≤1；
(2)线段BC即为所求.
第13题图
设直线BC的函数解析式为y＝k1x＋b1(k1≠0)，
依题意，得C(2，3)，B(0，2)，代入解析式得到
解得
∴直线BC的函数解析式为y＝x＋2；
(3)根据以上两个解析式可知：当两条直线互相垂直时，两个解析式中的k的乘积为－1.
14.[2024春·达州期末]已知，点O是等边△ABC内的任一点，连接OA，OB，OC.
(1)如图1，已知∠AOB＝150°，∠BOC＝120°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC.
①∠DAO的度数是________；
②用等式表示线段OA，OB，OC之间的数量关系，并证明；
(2)设∠AOB＝α，∠BOC＝β.
①当α，β满足什么关系时，OA＋OB＋OC有最小值？请在图2中画出符合条件的图形，并说明理由；
②若等边△ABC的边长为1，直接写出OA＋OB＋OC的最小值.
第14题图
解：(1)①∵∠AOB＝150°，∠BOC＝120°，∴∠AOC＝90°，
由旋转的性质可知，∠OCD＝60°，∠ADC＝∠BOC＝120°，
∴∠DAO＝360°－60°－90°－120°＝90°，
故答案为：90°；
②线段OA，OB，OC之间的数量关系是OA2＋OB2＝OC2.
如图1，连接OD.
第14题图
∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴△ADC≌△BOC，∠OCD＝60°.
∴CD＝OC，∠ADC＝∠BOC＝120°，AD＝OB.
∴△OCD是等边三角形，
∴OC＝OD＝CD，∠COD＝∠CDO＝60°，
由①可知∠DAO＝90°.
在Rt△ADO中，∠DAO＝90°，
∴OA2＋AD2＝OD2.
∴OA2＋OB2＝OC2；
(2)①如图2，当α＝β＝120°时，OA＋OB＋OC有最小值.
作图如图2，将△AOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△A′O′C，连接OO′.
第14题图
∴△A′O′C≌△AOC，
∠OCO′＝∠ACA′＝60°.
∴O′C＝OC，O′A′＝OA，A′C＝BC，
∠A′O′C＝∠AOC.
∴△OCO′是等边三角形.
∴OC＝O′C＝OO′，
∠COO′＝∠CO′O＝60°.
∵∠AOB＝∠BOC＝120°，
∴∠AOC＝∠A′O′C＝120°.
∴∠BOO′＝∠OO′A′＝180°.
∴B，O，O′，A′四点共线.
∴OA＋OB＋OC＝O′A′＋OB＋OO′＝BA′时值最小；
②当等边△ABC的边长为1时，OA＋OB＋OC的最小值A′B＝.1.下列现象中是旋转的是( )
A.雪橇在雪地上滑行
B.抽屉来回运动
C.电梯的上下移动
D.汽车方向盘的转动
2.[2023春·太原期中]如图，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转一个角度得到△DEF，其中点A，B，C分别旋转到了点D，E，F.在旋转过程中，与∠AOB始终相等的是( )
第2题图
A.∠ABC B.∠BAO
C.∠AOE D.∠DOE
3.如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′的度数是( )
第3题图
A.35° B.40°
C.50° D.70°
4.[2023春·西安期末]如图，在下列选项中的四个三角形中，不能由△ABC经过旋转或平移得到的是( )
第4题图
5.[2023·通辽]如图，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE，旋转角为α(0°<α<180°)，点B的对应点D恰好落在BC边上，若DE⊥AC，∠CAD＝24°，则旋转角α的度数为( )
第5题图
A.24° B.28°
C.48° D.66°
6.[2023·河西区二模]如图，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为斜边AB上一点，将△BCD绕点C逆时针旋转90°得到△ACE，则下列说法错误的是( )
第6题图
A.∠EAC＝∠B
B.△EDC是等腰直角三角形
C.BD2＋AD2＝CD2
D.∠AED＝∠ACD
7.如图，点P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，将△ABP绕点B顺时针旋转得到△CBQ，连接PQ，则以下结论中不正确是( )
第7题图
A.∠PBQ＝60° B.∠APB＝150°
C.S△PQC＝6 D.S△BPQ＝8
8.如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝2，∠B＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转120°得到△AB′C′，若点P为CB上一动点，旋转后点P的对应点为点P′，则线段PP′长度的最小值是( )
第8题图
A.3 B.3
C.4 D.4
9.[2023·枣庄]银杏是著名的活化石植物，其叶有细长的叶柄，呈扇形.如图是一片银杏叶标本，叶片上两点B，C的坐标分别为(－3，2)，(4，3)，将银杏叶绕原点顺时针旋转90°后，叶柄上点A对应点的坐标为 .
第9题图
10.[2022·六盘水]如图，将△ABC绕点A旋转得到△ADE，若∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝1，则AE＝ .
第10题图
11.[2023春·保定期末]如图1，将一个正三角形绕其中心最少旋转60°，所得图形与原图的重叠部分是正六边形；如图2，将一个正方形绕其中心最少旋转45°，所得图形与原图形的重叠部分是正八边形；依此规律，将一个正六边形绕其中心最少旋转 °，所得图形与原图的重叠部分是正多边形.在图2中，若正方形的边长为2，则所得正八边形的面积为 .
第11题图
12.[2023·绥化]如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点E为高BD上的动点.连接CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到CF.连接AF，EF，DF，则△CDF周长的最小值是 .
第12题图
13.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2 cm，∠BAC＝45°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△CDE.在旋转过程中：
(1)旋转中心是什么，∠DCE为多少度？
(2)与线段AC相等的线段是哪一条？
(3)△CDE的面积是多少？
第13题图
14.[2023春·青岛期中]如图，点O是等边△ABC内一点，点D是△ABC外的一点，∠AOB＝100°，∠BOC＝α，将△BOC绕点C顺时针旋转60°得△ADC，连接OD.
(1)当α＝150°时，∠ODA＝ ；
(2)当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？说明理由.
第14题图
