第三章图形的平移与旋转
一、选择题(共12小题，每题3分，共36分)
1.[2023·乐山]下列四个图形中，可以由
图1通过平移得到的是( D )
2.[2023·哈尔滨模拟]下列图形中是中心对称图形的是( C )
3.[2023·唐山模拟]将点A(－3，－2)沿水平方向向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点A′，若点A′在直线y＝x＋b上，则b的值为( D )
A.6 B.5
C.－6 D.－5
4.点M(－2，6)关于坐标原点的中心对称点为( B )
A.M′(－6，2) B.M′(2，－6)
C.M′(－1，3) D.M′(3，－1)
5.如图，点A1(1，1)，点A1向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点A2；点A2向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点A3；点A3向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点A4……按这个规律平移得到点An，则点An的横坐标为( C )
第5题图
A.2n B.2n－1
C.2n－1 D.2n＋1
6.如图，△AOB绕点O逆时针旋转65°得到△COD，若∠AOB＝30°，则∠BOC的度数是( B )
第6题图
A.30° B.35°
C.40° D.65°
7.如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，如果AP＝3，那么PP′的长等于( A )
第7题图
A.3 B.2
C.4 D.3
8.如图，点P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝1，PB＝1，PC＝，将△ABP绕点B顺时针旋转60°到△CBQ的位置.连接PQ，则以下结论错误的是( D )
第8题图
A.∠QPB＝60° B.∠PQC＝90°
C.∠APB＝150° D.∠APC＝135°
9.如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝50°，点D在斜边AB上，如果△ABC绕点B旋转后与△EBD重合，连接AE，那么∠EAB的度数是( B )
第9题图
A.80° B.70°
C.60° D.50°
10.[2022·宁夏改编]如图，点B的坐标是(0，3)，将△OAB沿x轴向右平移至△CDE，点B的对应点E恰好落在直线y＝2x－3上，则点A移动的距离是( C )
第10题图
A. B.2
C.3 D.6
11.[2022·益阳]如图，已知在△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，下列结论：①BC＝B′C′ ②AC∥C′B′ ③C′B′⊥BB′ ④∠ABB′＝∠ACC′.其中正确的有( B )
A.①②③ B.①②④
C.①③④ D.②③④
第11题图
12.[2024·安徽模拟]如图，在等边三角形ABC中，CD为AB边上的高，M是直线CD上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到线段BN，连接DN.若AB＝5，则在点M的运动过程中，线段DN的长的最小值是( B )
第12题图
A.2 B.
C. D.
二、填空题(共6小题，每题3分，共18分)
13.[2024·江西]在平面直角坐标系中，将点A(1，1)向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为(3，4).
14.[2023·泸州]在平面直角坐标系中，若点P(2，－1)与点Q(－2，m)关于原点对称，则m的值是1.
15.将图1剪成若干小块，再进行拼接后能够得到
图2中①，②，③中的①②.
第15题图
16.如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中线段AB和点P绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段A′B′和点P′，则点P′所在的单位正方形区域是4区.
第16题图
17.[2023·宿迁]如图，△ABC是正三角形，点A在第一象限，点B(0，0)，C(1，0).将线段CA绕点C按顺时针方向旋转120°至CP1；将线段BP1绕点B按顺时针方向旋转120°至BP2；将线段AP2绕点A按顺时针方向旋转120°至AP3；将线段CP3绕点C按顺时针方向旋转120°至CP4……以此类推，则点P99的坐标是(－49，50).
第17题图
18.如图，将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子，
第18题图
其中AB＝AC＝AG＝FG，∠BAC＝∠AGF＝90°，AF，AG分别与BC交于D，E两点，将△ACE绕着点A顺时针旋转90°得到△ABH，则下列结论：①BH⊥BC ②DA平分∠HDE ③若BD＝3，CE＝4，则AH＝2 ④若AB＝BE，则S△ABD＝S△ADE.其中正确的是①②③.
三、解答题(共5小题，共46分)
19.(8分)如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上.
第19题图
(1)画出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的三角形，点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，连接BB′；
(2)在(1)所画图形中，∠B′BC的度数是多少.
解：(1)如图所示，△A′B′C即为所求作；
第19题图
(2)根据旋转的性质，得∠BCB′＝90°，BC＝B′C，
∴∠B′BC＝45°.
20.(8分)如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称，已知A，D1，D三点的坐标分别是(0，4)，(0，3)，(0，2).
(1)求对称中心的坐标；
(2)写出顶点B，C，B1，C1的坐标.
第20题图
解：(1)根据对称中心的性质，得对称中心的坐标是D1D的中点.
∵点D1，D的坐标分别是(0，3)，(0，2)，
∴对称中心的坐标是(0，2.5)；
(2)∵A，D的坐标分别是(0，4)，(0，2)，
∴正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的边长都是2，
∴B，C的坐标分别是(－2，4)，(－2，2).
∵A1D1＝2，D1的坐标是(0，3)，
∴A1的坐标是(0，1)，
∴B1，C1的坐标分别是(2，1)，(2，3).
综上所述，顶点B，C，B1，C1的坐标分别是(－2，4)，(－2，2)，(2，1)，(2，3).
21.(8分)将△ABC绕点B逆时针旋转α得到△DBE，DE的延长线与AC相交于点F，连接DA，BF.如图，若∠ABC＝α＝60°，BF＝AF.
(1)求证：DA∥BC；
(2)猜想线段DF，AF的数量关系，并证明你的猜想.
第21题图
解：(1)证明：由旋转性质，得∠DBE＝∠ABC＝60°，BD＝AB，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠DAB＝60°，∴∠DAB＝∠ABC，
∴DA∥BC；
(2)猜想：DF＝2AF.证明：由(1)知△ABD为等边三角形，
∴BD＝AD，
在△BDF和△ADF中，
∴△BDF≌△ADF(SSS)，
∴∠ADF＝∠BDF＝×60°＝30°.
又∵∠DBE＝60°，∴∠BED＝90°，
∴∠C＝∠BED＝90°.
由(1)知DA∥BC，
∴∠DAF＝∠C＝90°，∴DF＝2AF.
22.(10分)[2023春·南宁期中]在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(3，0)，(－3，0)，现将线段AB先向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到线段DC，连接AD，BC.
第22题图
(1)如图1，求点C，D的坐标及四边形ABCD的面积；
(2)如图1，在y轴上是否存在点P，连接PA，PB，使S△PAB＝S四边形ABCD？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，在直线CD上是否存在点Q，连接QB，使S△QCB＝S四边形ABCD？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
解：(1)∵点A，B的坐标分别为(3，0)，(－3，0)，线段AB先向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到线段DC，
∴C点坐标为(－2，3)，D点坐标为(4，3)，AB＝6，
∴四边形ABCD的面积＝6×3＝18；
(2)存在，
设点P的坐标为(0，b)，
由题意，得×6×|b|＝18，
解得b＝±6，
∴点P的坐标为(0，6)或(0，－6)；
(3)设点Q的坐标为(a，3)，
则CQ＝|a＋2|，
由题意，得×|a＋2|×3＝×18，
解得a＝2或－6，
则点Q的坐标为(2，3)或(－6，3).
23.(12分)[2023·通辽]已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形(OA∠AOB＝∠MON＝90°
(1)如图1，连接AM，BN，求证：AM＝BN；
(2)将△MON绕点O顺时针旋转.
①如图2，当点M恰好在AB边上时，求证：AM2＋BM2＝2OM2；
②当点A，M，N在同一条直线上时，若OA＝4，OM＝3，请直接写出线段AM的长.
第23题图
解：(1)证明：∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，
∴OA＝OB，ON＝OM，∠AOB＝∠NOM＝90°，
又∵∠AOM＝∠NOM＋∠AON，
∠BON＝∠AOB＋∠AON，
∴∠BON＝∠AOM，
∴△AMO≌△BNO(SAS)，
∴AM＝BN；
(2)①连接BN，如图1所示：
第23题图
∴∠AOM＝∠AOB－∠BOM＝90°－∠BOM，
∠BON＝∠MON－∠BOM＝90°－∠BOM，
且OA＝OB，OM＝ON，
∴△AMO≌△BNO(SAS)，
∴∠A＝∠OBN＝45°，AM＝BN，
∴∠ABN＝∠ABO＋∠OBN＝45°＋45°＝90°，
∵△OMN为等腰直角三角形，
∴MN＝OM，
在Rt△BMN中，由勾股定理可知
BM2＋BN2＝MN2＝(OM)2＝2OM2，
∵AM＝BN，
∴AM2＋BM2＝2OM2；
②分类讨论：
情况一：如图2所示，设AO与NB交于点C，过O点作OH⊥AM于H点，
第23题图
∵∠HNO＝45°，
∴△NHO为等腰直角三角形，
∴HO＝＝HM，
在Rt△AHO中，AH＝＝＝，
∴AM＝AH＋HM＝；
情况二：如图3所示，过O点作OH⊥AM于H点，
第23题图
∵∠HNO＝45°，∴△NHO为等腰直角三角形，
∴HO＝＝HM，
在Rt△AHO中，
AH＝＝＝，
∴AM＝AH－HM＝；
故AM＝或.第三章图形的平移与旋转
一、选择题(共12小题，每题3分，共36分)
1.[2023·乐山]下列四个图形中，可以由
图1通过平移得到的是( )
2.[2023·哈尔滨模拟]下列图形中是中心对称图形的是( )
3.[2023·唐山模拟]将点A(－3，－2)沿水平方向向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点A′，若点A′在直线y＝x＋b上，则b的值为( )
A.6 B.5
C.－6 D.－5
4.点M(－2，6)关于坐标原点的中心对称点为( )
A.M′(－6，2) B.M′(2，－6)
C.M′(－1，3) D.M′(3，－1)
5.如图，点A1(1，1)，点A1向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点A2；点A2向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点A3；点A3向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点A4……按这个规律平移得到点An，则点An的横坐标为( )
第5题图
A.2n B.2n－1
C.2n－1 D.2n＋1
6.如图，△AOB绕点O逆时针旋转65°得到△COD，若∠AOB＝30°，则∠BOC的度数是( )
第6题图
A.30° B.35°
C.40° D.65°
7.如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，如果AP＝3，那么PP′的长等于( )
第7题图
A.3 B.2
C.4 D.3
8.如图，点P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝1，PB＝1，PC＝，将△ABP绕点B顺时针旋转60°到△CBQ的位置.连接PQ，则以下结论错误的是( )
第8题图
A.∠QPB＝60° B.∠PQC＝90°
C.∠APB＝150° D.∠APC＝135°
9.如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝50°，点D在斜边AB上，如果△ABC绕点B旋转后与△EBD重合，连接AE，那么∠EAB的度数是( )
第9题图
A.80° B.70°
C.60° D.50°
10.[2022·宁夏改编]如图，点B的坐标是(0，3)，将△OAB沿x轴向右平移至△CDE，点B的对应点E恰好落在直线y＝2x－3上，则点A移动的距离是( )
第10题图
A. B.2
C.3 D.6
11.[2022·益阳]如图，已知在△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，下列结论：①BC＝B′C′ ②AC∥C′B′ ③C′B′⊥BB′ ④∠ABB′＝∠ACC′.其中正确的有( )
A.①②③ B.①②④
C.①③④ D.②③④
第11题图
12.[2024·安徽模拟]如图，在等边三角形ABC中，CD为AB边上的高，M是直线CD上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到线段BN，连接DN.若AB＝5，则在点M的运动过程中，线段DN的长的最小值是( )
第12题图
A.2 B.
C. D.
二、填空题(共6小题，每题3分，共18分)
13.[2024·江西]在平面直角坐标系中，将点A(1，1)向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为 .
14.[2023·泸州]在平面直角坐标系中，若点P(2，－1)与点Q(－2，m)关于原点对称，则m的值是 .
15.将图1剪成若干小块，再进行拼接后能够得到
图2中①，②，③中的 .
第15题图
16.如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中线段AB和点P绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段A′B′和点P′，则点P′所在的单位正方形区域是 区.
第16题图
17.[2023·宿迁]如图，△ABC是正三角形，点A在第一象限，点B(0，0)，C(1，0).将线段CA绕点C按顺时针方向旋转120°至CP1；将线段BP1绕点B按顺时针方向旋转120°至BP2；将线段AP2绕点A按顺时针方向旋转120°至AP3；将线段CP3绕点C按顺时针方向旋转120°至CP4……以此类推，则点P99的坐标是 .
第17题图
18.如图，将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子，
第18题图
其中AB＝AC＝AG＝FG，∠BAC＝∠AGF＝90°，AF，AG分别与BC交于D，E两点，将△ACE绕着点A顺时针旋转90°得到△ABH，则下列结论：①BH⊥BC ②DA平分∠HDE ③若BD＝3，CE＝4，则AH＝2 ④若AB＝BE，则S△ABD＝S△ADE.其中正确的是 .
三、解答题(共5小题，共46分)
19.(8分)如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上.
第19题图
(1)画出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的三角形，点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，连接BB′；
(2)在(1)所画图形中，∠B′BC的度数是多少.
20.(8分)如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称，已知A，D1，D三点的坐标分别是(0，4)，(0，3)，(0，2).
(1)求对称中心的坐标；
(2)写出顶点B，C，B1，C1的坐标.
第20题图
21.(8分)将△ABC绕点B逆时针旋转α得到△DBE，DE的延长线与AC相交于点F，连接DA，BF.如图，若∠ABC＝α＝60°，BF＝AF.
(1)求证：DA∥BC；
(2)猜想线段DF，AF的数量关系，并证明你的猜想.
第21题图
22.(10分)[2023春·南宁期中]在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(3，0)，(－3，0)，现将线段AB先向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到线段DC，连接AD，BC.
第22题图
(1)如图1，求点C，D的坐标及四边形ABCD的面积；
(2)如图1，在y轴上是否存在点P，连接PA，PB，使S△PAB＝S四边形ABCD？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，在直线CD上是否存在点Q，连接QB，使S△QCB＝S四边形ABCD？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
23.(12分)[2023·通辽]已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形(OA∠AOB＝∠MON＝90°
(1)如图1，连接AM，BN，求证：AM＝BN；
(2)将△MON绕点O顺时针旋转.
①如图2，当点M恰好在AB边上时，求证：AM2＋BM2＝2OM2；
②当点A，M，N在同一条直线上时，若OA＝4，OM＝3，请直接写出线段AM的长.
第23题图
