1.[2023春·聊城期末]下列式子：①－x2－xy－y2②0.5a2－ab＋0.5b2 ③－4ab－a2＋4b2④4x2＋9y2－12xy ⑤3x2＋6xy＋3y2.其中能用完全平方公式分解因式的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
2.[2023秋·厦门期末]要使多项式x2＋M＋2x能运用完全平方公式进行分解因式，整式M可以是( )
A.1 B.－1
C.－2x＋4 D.－2x－4
3.已知x－y＝－4，则多项式x2－xy＋y2的值为( )
A.4 B.6
C.8 D.10
4.[2024·内江]若a＝2 019x＋2 020，b＝2 019x＋2 021，c＝2 019x＋2 022，则代数式a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
5.[2023·呼和浩特]分解因式2b3－4b2＋2b＝ .
6.[2023·辽宁]分解因式：x3－4x2＋4x＝ .
7.[十堰中考]已知xy＝2，x－3y＝3，则2x3y－12x2y2＋18xy3＝ .
8.[2022·乐山]已知m2＋n2＋10＝6m－2n，则m－n＝ .
9.因式分解：
(1)4x3y＋4x2y2＋xy3；
(2)a2－b2－c2＋2bc；
(3)4＋12(x－y)＋9(x－y)2；
(4)4(x＋y)2＋25－20(x＋y)；
(5)x4－18x2＋81；
(6)(x2－1)2－6(x2－1)＋9；
(7)利用因式分解简化计算：2002－400×199＋1992.
10.[推理能力][2022·安徽]观察下列等式：
第1个等式：(2×1＋1)2＝(2×2＋1)2－(2×2)2，
第2个等式：(2×2＋1)2＝(3×4＋1)2－(3×4)2，
第3个等式：(2×3＋1)2＝(4×6＋1)2－(4×6)2，
第4个等式：(2×4＋1)2＝(5×8＋1)2－(5×8)2，
……
按照以上规律.解决下列问题：
(1)写出
第5个等式： ；
(2)写出你猜想的
第n个等式(用含n的式子表示)，并证明.
11.[2024·宿州]问题背景：对于形如x2－120x＋3 600这样的二次三项式，可以直接用完全平方公式将它分解成(x－60)2，对于二次三项式x2－120x＋3 456，就不能直接用完全平方公式分解因式了.此时常采用将x2－120x加上一项602，使它与x2－120x的和成为一个完全平方式，再减去602，整个式子的值不变，于是有
x2－120x＋3 456
＝x2－2×60x＋602－602＋3 456
＝(x－60)2－144
＝(x－60)2－122
＝(x－60＋12)(x－60－12)
＝(x－48)(x－72).
问题解决：
(1)请你按照上面的方法分解因式：x2－140x＋4 756；
(2)已知一个长方形的面积为a2＋8ab＋12b2，宽为a＋2b，求这个长方形的长.
12.[应用意识][2022·西宁]八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将2a－3ab－4＋6b因式分解.
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式＝(2a－3ab)－(4－6b)＝a(2－3b)－2(2－3b)＝(2－3b)(a－2).
解法二：原式＝(2a－4)－(3ab－6b)＝2(a－2)－3b(a－2)＝(a－2)(2－3b).
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法.分组分解法在代数式的化简求值、方程、函数等学习中起着重要的作用.(温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止)
【类比】
(1)请用分组分解法将x2－a2＋x＋a因式分解；
【挑战】
(2)请用分组分解法将ax＋a2－2ab－bx＋b2因式分解；
【应用】
(3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理.如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形.若直角三角形的两条直角边长分别是a和b(a>b)，斜边长是3，小正方形的面积是1.
根据以上信息，先将a4－2a3b＋2a2b2－2ab3＋b4因式分解，再求值.
第12题图1.[2023春·聊城期末]下列式子：①－x2－xy－y2②0.5a2－ab＋0.5b2 ③－4ab－a2＋4b2④4x2＋9y2－12xy ⑤3x2＋6xy＋3y2.其中能用完全平方公式分解因式的有( C )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
2.[2023秋·厦门期末]要使多项式x2＋M＋2x能运用完全平方公式进行分解因式，整式M可以是( A )
A.1 B.－1
C.－2x＋4 D.－2x－4
3.已知x－y＝－4，则多项式x2－xy＋y2的值为( C )
A.4 B.6
C.8 D.10
4.[2024·内江]若a＝2 019x＋2 020，b＝2 019x＋2 021，c＝2 019x＋2 022，则代数式a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值是( D )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析：∵a＝2 019x＋2 020，b＝2 019x＋2 021，c＝2 019x＋2 022，
∴a－b＝－1，a－c＝－2，b－c＝－1，
则a2＋b2＋c2－ab－ac－bc
＝(2a2＋2b2＋2c2－2ab－2ac－2bc)
＝[(a2－2ab＋b2)＋(a2－2ac＋c2)＋(b2－2bc＋c2)]
＝[(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2]，
当a－b＝－1，a－c＝－2，b－c＝－1时，原式＝×(1＋4＋1)＝3.
5.[2023·呼和浩特]分解因式2b3－4b2＋2b＝2b(b－1)2.
6.[2023·辽宁]分解因式：x3－4x2＋4x＝x(x－2)2.
7.[十堰中考]已知xy＝2，x－3y＝3，则2x3y－12x2y2＋18xy3＝36.
8.[2022·乐山]已知m2＋n2＋10＝6m－2n，则m－n＝4.
9.因式分解：
(1)4x3y＋4x2y2＋xy3；
(2)a2－b2－c2＋2bc；
(3)4＋12(x－y)＋9(x－y)2；
(4)4(x＋y)2＋25－20(x＋y)；
(5)x4－18x2＋81；
(6)(x2－1)2－6(x2－1)＋9；
(7)利用因式分解简化计算：2002－400×199＋1992.
解：(1)4x3y＋4x2y2＋xy3
＝xy(4x2＋4xy＋y2)
＝xy(2x＋y)2；
(2)a2－b2－c2＋2bc
＝a2－(b2－2bc＋c2)
＝a2－(b－c)2
＝(a＋b－c)(a－b＋c)；
(3)4＋12(x－y)＋9(x－y)2
＝[2＋3(x－y)]2
＝(2＋3x－3y)2；
(4)4(x＋y)2＋25－20(x＋y)
＝[2(x＋y)－5]2
＝(2x＋2y－5)2；
(5)x4－18x2＋81
＝(x2－9)2
＝(x＋3)2(x－3)2；
(6)(x2－1)2－6(x2－1)＋9
＝(x2－1－3)2
＝(x2－4)2
＝(x＋2)2(x－2)2；
(7)2002－400×199＋1992
＝2002－2×200×199＋1992
＝(200－199)2
＝1.
10.[推理能力][2022·安徽]观察下列等式：
第1个等式：(2×1＋1)2＝(2×2＋1)2－(2×2)2，
第2个等式：(2×2＋1)2＝(3×4＋1)2－(3×4)2，
第3个等式：(2×3＋1)2＝(4×6＋1)2－(4×6)2，
第4个等式：(2×4＋1)2＝(5×8＋1)2－(5×8)2，
……
按照以上规律.解决下列问题：
(1)写出
第5个等式：________；
(2)写出你猜想的
第n个等式(用含n的式子表示)，并证明.
解：(1)观察
第1至
第4个等式中相同位置数的变化规律，可知
第5个等式为(2×5＋1)2＝(6×10＋1)2－(6×10)2，
故答案为：(2×5＋1)2＝(6×10＋1)2－(6×10)2；
(2)
第n个等式为(2n＋1)2＝2－2，
证明：
等式左边：(2n＋1)2＝4n2＋4n＋1，
等式右边：[(n＋1)·2n＋1]2－[(n＋1)·2n]2
＝[(n＋1)·2n＋1＋(n＋1)·2n]·[(n＋1)·2n＋1－(n＋1)·2n]
＝[(n＋1)·4n＋1]×1
＝4n2＋4n＋1，
故等式(2n＋1)2＝[(n＋1)·2n＋1]2－[(n＋1)·2n]2成立.
11.[2024·宿州]问题背景：对于形如x2－120x＋3 600这样的二次三项式，可以直接用完全平方公式将它分解成(x－60)2，对于二次三项式x2－120x＋3 456，就不能直接用完全平方公式分解因式了.此时常采用将x2－120x加上一项602，使它与x2－120x的和成为一个完全平方式，再减去602，整个式子的值不变，于是有
x2－120x＋3 456
＝x2－2×60x＋602－602＋3 456
＝(x－60)2－144
＝(x－60)2－122
＝(x－60＋12)(x－60－12)
＝(x－48)(x－72).
问题解决：
(1)请你按照上面的方法分解因式：x2－140x＋4 756；
(2)已知一个长方形的面积为a2＋8ab＋12b2，宽为a＋2b，求这个长方形的长.
解：(1)x2－140x＋4 756
＝x2－2×70x＋702－702＋4 756
＝(x－70)2－144
＝(x－70)2－122
＝(x－70＋12)(x－70－12)
＝(x－58)(x－82)；
(2)∵a2＋8ab＋12b2
＝a2＋2×a×4b＋(4b)2－(4b)2＋12b2
＝(a＋4b)2－4b2
＝(a＋4b＋2b)(a＋4b－2b)
＝(a＋2b)(a＋6b)，
∴宽为a＋2b时，这个长方形的长为a＋6b.
12.[应用意识][2022·西宁]八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将2a－3ab－4＋6b因式分解.
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式＝(2a－3ab)－(4－6b)＝a(2－3b)－2(2－3b)＝(2－3b)(a－2).
解法二：原式＝(2a－4)－(3ab－6b)＝2(a－2)－3b(a－2)＝(a－2)(2－3b).
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法.分组分解法在代数式的化简求值、方程、函数等学习中起着重要的作用.(温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止)
【类比】
(1)请用分组分解法将x2－a2＋x＋a因式分解；
【挑战】
(2)请用分组分解法将ax＋a2－2ab－bx＋b2因式分解；
【应用】
(3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理.如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形.若直角三角形的两条直角边长分别是a和b(a>b)，斜边长是3，小正方形的面积是1.
根据以上信息，先将a4－2a3b＋2a2b2－2ab3＋b4因式分解，再求值.
第12题图
解：(1)x2－a2＋x＋a
＝(x2－a2)＋(x＋a)
＝(x＋a)(x－a)＋(x＋a)
＝(x＋a)(x－a＋1)；
(2)ax＋a2－2ab－bx＋b2
＝(a2－2ab＋b2)＋(ax－bx)
＝(a－b)2＋x(a－b)
＝(a－b)(a－b＋x)；
(3)a4－2a3b＋2a2b2－2ab3＋b4
＝(a4＋2a2b2＋b4)－(2a3b＋2ab3)
＝(a2＋b2)2－2ab(a2＋b2)
＝(a2＋b2)(a2－2ab＋b2)
＝(a2＋b2)(a－b)2，
根据题意得a2＋b2＝9，(a－b)2＝1，
∴原式＝9.1.[2023春·七星区期中]下列各式能用平方差公式进行分解因式的是( A )
A.x2－25 B.x3－4
C.x2－2x＋1 D.x2＋1
2.因式分解：m2－4n2＝( B )
A.(m－2n)2
B.(m－2n)(m＋2n)
C.(2m－n)(2m＋n)
D.(2m－n)2
3.[2023春·雨城区期中]下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是( B )
A.－a2＋b2 B.－x2－y2
C.49x2y2－z2 D.16m4－25m2p2
4.[2023秋·东营期中]若k＋1012－1＝1022，则k的值为( D )
A.100 B.101
C.200 D.204
5.[2023春·驻马店期末]小李在计算2 0232 023－2 0232 021时，发现其计算结果能被三个连续整数整除，则这三个整数是( B )
A.2 023，2 024，2 025
B.2 022，2 023，2 024
C.2 021，2 022，2 023
D.2 020，2 021，2 022
6.[2023春·炎陵县期末]如果一个正整数能表示成两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数是“和谐数”，如8＝32－12，16＝52－32，因此8和16都是“和谐数”.那么下列各数是“和谐数”的是( D )
A.36 B.34
C.42 D.48
7.计算：101×1022－101×982＝( D )
A.404 B.808
C.40 400 D.80 800
8.[2022·常德]分解因式：x3－9xy2＝x(x－3y)(x＋3y).
9.[2023·平谷区二模]分解因式：mx2－my2＝m(x＋y)(x－y).
10.若a＋b＝4，a－b＝1，则(a＋1)2－(b－1)2的值为12.
11.[2023·苏州]已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点(1，3)和(－1，2)，则k2－b2＝－6.
12.把下列多项式因式分解：
(1)x2－9；
(2)9(3x－2)2－(2x＋7)2；
(3)4x2－9y2；
(4)x2(x－y)2－4(y－x)2；
(5)(2x＋y)2－(x＋2y)2；
(6)x4－1.
解：(1)原式＝(x＋3)(x－3)；
(2)原式＝[3(3x－2)＋(2x＋7)][3(3x－2)－(2x＋7)]＝(11x＋1)(7x－13)；
(3)原式＝(2x＋3y)(2x－3y)；
(4)原式＝x2(x－y)2－4(x－y)2＝(x－y)2(x2－4)＝(x－y)2(x＋2)(x－2)；
(5)原式＝(2x＋y＋x＋2y)(2x＋y－x－2y)＝3(x＋y)(x－y)；
(6)原式＝(x2＋1)(x2－1)＝(x2＋1)(x＋1)(x－1).
13.先因式分解，再计算求值：()2－()2，其中m＝－，n＝4.
解：()2－()2
＝(＋)(－)
＝mn，
当m＝－，n＝4时，
原式＝－×4＝－.
14.[2023·石家庄三模]【提出问题】在数学课上，老师提出一个问题：“任意奇数的平方减去1后都一定是8的倍数吗？”
【解决问题】(1)计算：32－1＝________；52－1＝________；72－1＝________；以上计算结果均________(填“是”或“不是”)8的倍数；
(2)设奇数为2n＋1(n为整数)，请你先试着回答老师提出的问题，再论证你的结论；
【拓展延伸】任意奇数的平方加上1后都一定是________的倍数.
解：【解决问题】(1)32－1＝9－1＝8；
52－1＝25－1＝24；72－1＝49－1＝48；
故答案为：8，24，48，是；
(2)任意奇数的平方减去1后都一定是8的倍数；
设奇数为2n＋1，
则有(2n＋1)2－1＝(2n＋1)2－12＝2n(2n＋2)＝4n(n＋1)，
又∵n，n＋1是两个连续的整数，
则其中必有一个是2的倍数，
所以，有(2n＋1)2－1都是8的倍数；
【拓展延伸】设奇数为2n＋1，
则有(2n＋1)2＋1＝4n2＋4n＋2＝2(2n2＋2n＋1)，
所以任意奇数的平方加上1后一定是2的倍数.
故答案为：2.
15.数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数形的相互转化来解决数学问题的思想.我们常利用数形结合思想，借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，如探索整式乘法的一些法则和公式.
第15题图
(1)探究一：
将图1的阴影部分沿虚线剪开后，拼成
图2的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的分解因式________.
(2)探究二：类似地，我们可以借助一个棱长为a的大正方体进行以下探索：
在大正方体一角截去一个棱长为b(b
(3)将图3中的几何体分割成三个长方体①，②，③，如图4，
图5所示，∵BC＝a，AB＝a－b，CF＝b，∴长方体①的体积为ab(a－b).类似地，长方体②的体积为________，长方体③的体积为________；(结果不需要化简)
(4)用不同的方法表示
图3中几何体的体积，可以得到的恒等式(将一个多项式因式分解)为________________________；
(5)问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知a－b＝6，ab＝2，求a3－b3的值.
(6)类比以上探究，尝试因式分解：a3＋b3＝________________.
解：(1)图1中阴影部分的面积为a2－b2，
图2中阴影部分的面积为(a＋b)(a－b)，
∵拼图前后图形的面积不变，
∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)，
∴可得一个多项式的分解因式为a2－b2＝(a＋b)(a－b)，
故答案为：a2－b2＝(a＋b)(a－b)；
(2)由题意，得到的几何体的体积为a3－b3，
故答案为：a3－b3；
(3)∵EN＝b，DE＝b，DM＝a－b，
∴长方体②的体积为b2(a－b)，
∵GH＝a，FG＝a－b，HR＝a，
∴长方体③的体积为a2(a－b)，
故答案为：b2(a－b)，a2(a－b)；
(4)由(2)和(3)，得a3－b3＝ab(a－b)＋b2(a－b)＋a2(a－b)，
则可以得到的恒等式(将一个多项式因式分解)为a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)，
故答案为：a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)；
(5)∵a－b＝6，ab＝2，
∴a2＋b2＝(a－b)2＋2ab＝62＋2×2＝40，
∴a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝6×(40＋2)＝252；
(6)由(4)可知，a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)，
则a3＋b3＝a3－(－b)3
＝
＝(a＋b)(a2－ab＋b2)，
故答案为：(a＋b)(a2－ab＋b2).1.[2023春·七星区期中]下列各式能用平方差公式进行分解因式的是( )
A.x2－25 B.x3－4
C.x2－2x＋1 D.x2＋1
2.因式分解：m2－4n2＝( )
A.(m－2n)2
B.(m－2n)(m＋2n)
C.(2m－n)(2m＋n)
D.(2m－n)2
3.[2023春·雨城区期中]下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是( )
A.－a2＋b2 B.－x2－y2
C.49x2y2－z2 D.16m4－25m2p2
4.[2023秋·东营期中]若k＋1012－1＝1022，则k的值为( )
A.100 B.101
C.200 D.204
5.[2023春·驻马店期末]小李在计算2 0232 023－2 0232 021时，发现其计算结果能被三个连续整数整除，则这三个整数是( )
A.2 023，2 024，2 025
B.2 022，2 023，2 024
C.2 021，2 022，2 023
D.2 020，2 021，2 022
6.[2023春·炎陵县期末]如果一个正整数能表示成两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数是“和谐数”，如8＝32－12，16＝52－32，因此8和16都是“和谐数”.那么下列各数是“和谐数”的是( )
A.36 B.34
C.42 D.48
7.计算：101×1022－101×982＝( )
A.404 B.808
C.40 400 D.80 800
8.[2022·常德]分解因式：x3－9xy2＝ .
9.[2023·平谷区二模]分解因式：mx2－my2＝ .
10.若a＋b＝4，a－b＝1，则(a＋1)2－(b－1)2的值为 .
11.[2023·苏州]已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点(1，3)和(－1，2)，则k2－b2＝ .
12.把下列多项式因式分解：
(1)x2－9；
(2)9(3x－2)2－(2x＋7)2；
(3)4x2－9y2；
(4)x2(x－y)2－4(y－x)2；
(5)(2x＋y)2－(x＋2y)2；
(6)x4－1.
13.先因式分解，再计算求值：()2－()2，其中m＝－，n＝4.
14.[2023·石家庄三模]【提出问题】在数学课上，老师提出一个问题：“任意奇数的平方减去1后都一定是8的倍数吗？”
【解决问题】(1)计算：32－1＝ ；52－1＝ ；72－1＝ ；以上计算结果均 (填“是”或“不是”)8的倍数；
(2)设奇数为2n＋1(n为整数)，请你先试着回答老师提出的问题，再论证你的结论；
【拓展延伸】任意奇数的平方加上1后都一定是 的倍数.
15.数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数形的相互转化来解决数学问题的思想.我们常利用数形结合思想，借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，如探索整式乘法的一些法则和公式.
第15题图
(1)探究一：
将图1的阴影部分沿虚线剪开后，拼成
图2的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的分解因式 .
(2)探究二：类似地，我们可以借助一个棱长为a的大正方体进行以下探索：
在大正方体一角截去一个棱长为b(b(3)将图3中的几何体分割成三个长方体①，②，③，如图4，
图5所示，∵BC＝a，AB＝a－b，CF＝b，∴长方体①的体积为ab(a－b).类似地，长方体②的体积为 ，长方体③的体积为 ；(结果不需要化简)
(4)用不同的方法表示
图3中几何体的体积，可以得到的恒等式(将一个多项式因式分解)为 ；
(5)问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知a－b＝6，ab＝2，求a3－b3的值.
(6)类比以上探究，尝试因式分解：a3＋b3＝ .