第四章 因式分解
类型一 因式分解
1.[2023春·雅安期中]下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是( D )
A.x(a－b)＝ax－bx
B.x2－1＋y2＝(x－1)(x＋1)＋y2
C.ax＋bx＋c＝x(a＋b)＋c
D.y2－1＝(y＋1)(y－1)
2.下列因式分解正确的是( B )
A.a2－2a＋1＝a(a－2)＋1
B.－2a2b2＋4ab2＝2ab2(2－a)
C.(a＋b)(a－b)＝a2－b2
D.(m－n)－4a(n－m)＝(m－n)(1－4a)
类型二 因式分解的方法
3.下列多项式中，不能用公式法因式分解的是( D )
A.－x2＋16y2
B.81(a2＋b2－2ab)－(a＋b)2
C.m2－mn＋n2
D.－x2－y2
4.将多项式4x2＋1加上一个单项式后，使它能成为另一个整式的完全平方，下列添加的单项式错误的是( B )
A.4x B.－4x4
C.4x4 D.－4x
5.下列各式中，能用完全平方公式分解的个数为( B )
①x2－10x＋25 ②4a2＋4a－1 ③x2－2x－1
④－m2＋m－ ⑤4x4－x2＋
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
6.9(m－n)2－25(m＋n)2因式分解的结果是( B )
A.(8m＋2n)(－2m－8n)
B.－4(4m＋n)(m＋4n)
C.－4(4m＋n)(m－4n)
D.4(4m＋n)(m＋4n)
7.[2023春·淮安期中]已知某正方形的面积是(16－8x＋x2)cm2(x>4)，则该正方形的周长是( D )
A.(4－x)cm B.(x－4)cm
C.(16－4x)cm D.(4x－16)cm
8.若n为任意整数，(n＋11)2－n2的值总可以被k整除，则k的值等于( B )
A.11的倍数 B.11
C.12 D.11或12
9.小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x－1，a－b，3，x2＋1，a，x＋1分别对应下列六个字：国，爱，我，数，学，中，现将3a(x2－1)－3b(x2－1)因式分解，结果呈现的密码信息可能是( C )
A.我爱学 B.爱中国
C.我爱中国 D.我爱数学
10.多项式x2－1与x2－2x＋1的公因式是x－1.
11.已知3x2－x＝1，则6x3＋7x2－5x＋2 022＝2_025.
12.计算：＝.
13.因式分解：
(1)8m2n－2mn；
(2)9x2－y2；
(3)x3y－4x2y2＋4xy3；
(4)n4－16.
解：(1)8m2n－2mn＝2mn(4m－1)；
(2)9x2－y2＝(3x＋y)(3x－y)；
(3)x3y－4x2y2＋4xy3
＝xy(x2－4xy＋4y2)
＝xy(x－2y)2；
(4)n4－16
＝(n2＋4)(n2－4)
＝(n2＋4)(n＋2)(n－2).
14.因式分解：
(1)m3n－10m2n＋25mn；
(2)a2(a－b)＋9(b－a).
解：(1)m3n－10m2n＋25mn
＝mn(m2－10m＋25)
＝mn(m－5)2；
(2)a2(a－b)＋9(b－a)
＝(a－b)(a2－9)
＝(a－b)(a＋3)(a－3).
类型三 因式分解的综合运用
15.如图，在一个大圆盘中有4个相同的小圆盘，已知大、小圆盘的半径R，r都是整数，阴影部分的面积为5π cm2，则R＋r＝4_cm.
第15题图
16.如图，某农场修建一座小型水库，需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径d＝45 cm，外径D＝75 cm，长l＝300 cm.利用因式分解计算浇制一节这样的管道约需要多少立方米的混凝土(π取3.14，结果精确到0.01 m3).
第16题图
解：由题意，得
π·l
＝π·l
＝π(D2－d2)·l
＝π(D＋d)(D－d)·l，
当d＝45 cm，D＝75 cm，l＝300 cm时，
原式≈×3.14×(75＋45)×(75－45)×300
＝×3.14×120×30×300
＝847 800(cm3)
≈0.85 m3.
答：浇制一节这样的管道约需要0.85 m3的混凝土.
17.如图1所示是一个长为2 m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按
图2的方式拼成一个正方形.
第17题图
(1)请用两种不同的方法求
图2中阴影部分的面积：(直接用含m，n的代数式表示).
方法一：________；
方法二：________；
(2)根据(1)的结论，请你写出代数式(m＋n)2，(m－n)2，mn之间的等量关系；
(3)根据(2)题中的等量关系，解决问题：
已知实数a，b满足a＋b＝6，ab＝5，求a－b的值.
解：(1)方法一：(m＋n)2－4mn；
方法二：(m－n)2；
(2)(m＋n)2－4mn＝(m－n)2；
(3)由(2)可知(a－b)2＝(a＋b)2－
4ab＝62－4×5＝16，
∴a－b＝4或a－b＝－4.
易错点 因式分解不彻底
18.因式分解：(1)(a2＋4)2－16a2；
(2)(x2－1)2＋6(1－x2)＋9.
解：(1)原式＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)
＝(a＋2)2(a－2)2；
(2)原式＝(x2－1)2－6(x2－1)＋9
＝(x2－1－3)2
＝(x2－4)2
＝(x＋2)2(x－2)2.第四章 因式分解
类型一 因式分解
1.[2023春·雅安期中]下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是( )
A.x(a－b)＝ax－bx
B.x2－1＋y2＝(x－1)(x＋1)＋y2
C.ax＋bx＋c＝x(a＋b)＋c
D.y2－1＝(y＋1)(y－1)
2.下列因式分解正确的是( )
A.a2－2a＋1＝a(a－2)＋1
B.－2a2b2＋4ab2＝2ab2(2－a)
C.(a＋b)(a－b)＝a2－b2
D.(m－n)－4a(n－m)＝(m－n)(1－4a)
类型二 因式分解的方法
3.下列多项式中，不能用公式法因式分解的是( )
A.－x2＋16y2
B.81(a2＋b2－2ab)－(a＋b)2
C.m2－mn＋n2
D.－x2－y2
4.将多项式4x2＋1加上一个单项式后，使它能成为另一个整式的完全平方，下列添加的单项式错误的是( )
A.4x B.－4x4
C.4x4 D.－4x
5.下列各式中，能用完全平方公式分解的个数为( )
①x2－10x＋25 ②4a2＋4a－1 ③x2－2x－1
④－m2＋m－ ⑤4x4－x2＋
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
6.9(m－n)2－25(m＋n)2因式分解的结果是( )
A.(8m＋2n)(－2m－8n)
B.－4(4m＋n)(m＋4n)
C.－4(4m＋n)(m－4n)
D.4(4m＋n)(m＋4n)
7.[2023春·淮安期中]已知某正方形的面积是(16－8x＋x2)cm2(x>4)，则该正方形的周长是( )
A.(4－x)cm B.(x－4)cm
C.(16－4x)cm D.(4x－16)cm
8.若n为任意整数，(n＋11)2－n2的值总可以被k整除，则k的值等于( )
A.11的倍数 B.11
C.12 D.11或12
9.小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x－1，a－b，3，x2＋1，a，x＋1分别对应下列六个字：国，爱，我，数，学，中，现将3a(x2－1)－3b(x2－1)因式分解，结果呈现的密码信息可能是( )
A.我爱学 B.爱中国
C.我爱中国 D.我爱数学
10.多项式x2－1与x2－2x＋1的公因式是 .
11.已知3x2－x＝1，则6x3＋7x2－5x＋2 022＝ _ .
12.计算：＝ .
13.因式分解：
(1)8m2n－2mn；
(2)9x2－y2；
(3)x3y－4x2y2＋4xy3；
(4)n4－16.
14.因式分解：
(1)m3n－10m2n＋25mn；
(2)a2(a－b)＋9(b－a).
类型三 因式分解的综合运用
15.如图，在一个大圆盘中有4个相同的小圆盘，已知大、小圆盘的半径R，r都是整数，阴影部分的面积为5π cm2，则R＋r＝ _ .
第15题图
16.如图，某农场修建一座小型水库，需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径d＝45 cm，外径D＝75 cm，长l＝300 cm.利用因式分解计算浇制一节这样的管道约需要多少立方米的混凝土(π取3.14，结果精确到0.01 m3).
第16题图
17.如图1所示是一个长为2 m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按
图2的方式拼成一个正方形.
第17题图
(1)请用两种不同的方法求
图2中阴影部分的面积：(直接用含m，n的代数式表示).
方法一： ；
方法二： ；
(2)根据(1)的结论，请你写出代数式(m＋n)2，(m－n)2，mn之间的等量关系；
(3)根据(2)题中的等量关系，解决问题：
已知实数a，b满足a＋b＝6，ab＝5，求a－b的值.
易错点 因式分解不彻底
18.因式分解：(1)(a2＋4)2－16a2；
(2)(x2－1)2＋6(1－x2)＋9.
