第四章 因式分解
一、选择题(共12小题，每题3分，共36分)
1.[2023·茂名]下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是( C )
A.a(x＋y)＝ax＋ay
B.x2－4x＋4＝x(x－4)＋4
C.10x2－5x＝5x(2x－1)
D.x2－16＋6x＝(x＋4)(x－4)＋6x
2.[2022·柳州]把多项式a2＋2a分解因式得( A )
A.a(a＋2) B.a(a－2)
C.(a＋2)2 D.(a＋2)(a－2)
3.把x4－2x2y2＋y4分解因式，结果是( D )
A.(x－y)4 B.(x2－y2)4
C.(x＋y)4 D.(x＋y)2(x－y)2
4.[2023春·大名县期末]如果多项式x2＋1加上一个单项式后，能够直接用完全平方公式进行因式分解，那么在下列单项式中，可以加上的是( D )
A.x B.x4
C.4x D.x4
5.[2023春·太原期末]已知一个圆的面积为9πa2＋6πab＋πb2(a＞0，b＞0)，则该圆的半径是( A )
A.3a＋b B.9a＋b
C.3ab D.3πa＋πb
6.[2023春·阜新期末]把多项式12a2b3＋8a3b分解因式，应提的公因式是( D )
A.a2b B.4a3b
C.2ab D.4a2b
7.[2023春·新民期末]已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a2－b2＝ac－bc，则△ABC一定是( A )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.锐角三角形 D.直角三角形
8.[2023·河北]若k为任意整数，则(2k＋3)2－4k2的值总能( B )
A.被2整除 B.被3整除
C.被5整除 D.被7整除
9.如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x，y表示四个长方形的两边长(x>y)，观察图案及以下关系式：①x－y＝n
②xy＝ ③x2－y2＝mn ④x2＋y2＝.其中正确的关系式的个数有( C )
第9题图
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
10.已知a－b＝1，则a2－b2－2b的值为( C )
A.4 B.3
C.1 D.0
11.对于任意的有理数a，b，c，d，我们规定|a b,c d)|＝ad－bc，如|1 2,3 4)|＝1×4－2×3＝－2.求|(a＋c) (b－a)2,(a－c) (a－b)2)|的值为( A )
A.2c(a－b)2 B.2a(a－b)2
C.(a－c)(a－b) D.(a－c)(a＋c)
12.在数学中为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑”，如记k＝3＋4＋5＋…＋n＝， (x＋k)＝(x＋3)＋(x＋4)＋…＋(x＋n).已知[x(x＋k)]＝9x2＋mx，则m的值是( B )
A.45 B.63
C.54 D.不确定
二、填空题(共6小题，每题3分，共18分)
13.[2023·东城区模拟]分解因式：2a2＋8ab＋8b2＝2(a＋2b)2.
14.[2023·滨海县模拟]已知x＋y＝2，x＋3y＝4，则代数式x2＋4xy＋4y2的值为9.
15.如图，六块纸板拼成一张大长方形纸板，其中一块是边长为a的正方形，两块是边长为b的正方形，三块是长为a，宽为b的长方形(a>b).观察图形，发现多项式a2＋3ab＋2b2可因式分解为(a＋b)(a＋2b).
第15题图
16.利用因式分解计算：842－28×84＋142＝4_900.
17.[2023春·曲阳县期末]两名同学将一个二次三项式因式分解，甲同学因看错了一次项系数而分解成2(x－1)(x－9)；乙同学因看错了常数项而分解成2(x－2)(x－4)，则原多项式为2x2－12x＋18，因式分解正确的结果为2(x－3)2.
18.[2023春·高新区期中]若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”(如3＝22－12，16＝52－32，则3和16是智慧数).已知智慧数按从小到大顺序构成如下数列：3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20，21，23，24，25……则
第2 023个“智慧数”是2_700.
三、解答题(共6小题，共46分)
19.(6分)因式分解：
(1)16－(2a＋3b)2；
(2)－16x2y2＋12xy3z；
(3)x2(a－b)2－y2(b－a)2.
解：(1)原式＝42－(2a＋3b)2
＝(4＋2a＋3b)(4－2a－3b)；
(2)原式＝－4xy2(4x－3yz)；
(3)原式＝x2(a－b)2－y2(a－b)2
＝(a－b)2(x＋y)(x－y).
20.(6分)(1)已知a2＋2ab＋b2＝0，求代数式a(a＋4b)－(a＋2b)(a－2b)的值；
(2)已知xy＝2，x－3y＝3，求代数式2x3y－12x2y2＋18xy3的值.
解：(1)a(a＋4b)－(a＋2b)(a－2b)
＝a2＋4ab－a2＋4b2
＝4ab＋4b2
＝4b(a＋b)，
∵a2＋2ab＋b2＝0，∴(a＋b)2＝0，
∴a＋b＝0，∴原式＝0；
(2)2x3y－12x2y2＋18xy3
＝2xy(x2－6xy＋9y2)
＝2xy(x－3y)2，
∵xy＝2，x－3y＝3，
∴原式＝2×2×32＝36.
21.(6分)[2024春·南京期中]数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释.如图1，有足够多的边长为a的小正方形，长为b、宽为a的长方形以及边长为b的大正方形.
第21题图
利用图1中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，例如图2可以解释整式乘法：(2a＋b)(a＋b)＝2a2＋3ab＋b2，也可以解释因式分解：2a2＋3ab＋b2＝(2a＋b)(a＋b).
(1)若用4个B类材料围成
图3的形状，设外围大正方形的边长为x，内部小正方形的边长为y，观察图案，指出下列关系式中正确的是(写出所有正确结论的序号)________.
①a＋b＝x ②(x－y)2＝2a2 ③ab＝ ④b2＝a2＋xy ⑤a2＋b2＝.
(2)若取其中的若干个(三种图形都要取到)拼成一个长方形，使其面积为3a2＋5ab＋2b2，在虚线框中画出图形，并根据所画图形，将多项式3a2＋5ab＋2b2分解因式为________.
第21题图
(3)若取其中的若干个(三种图形都要取到)拼成一个长方形，使其面积为4a2＋mab＋5b2，则m的值为________.(直接写出结果)
解：(1)由图形可得x＝b＋a，y＝b－a，故①正确，
∴(x－y)2＝(b＋a－b＋a)2＝4a2，即②错误；
由图形可得4ab＝x2－y2，即ab＝，即③正确；
∵x＝b＋a，y＝b－a，
∴xy＝b2－a2，即b2＝xy＋a2，即④正确；
∵x2＋y2＝(a＋b)2＋(b－a)2＝2a2＋2b2，a2＋b2＝，故⑤正确.
故答案为：①③④⑤；
(2)由题意可得，图形如图所示，
第21题图
∴3a2＋5ab＋2b2＝(3a＋2b)(a＋b).
故答案为：(3a＋2b)(a＋b)；
(3)由题意可得，
①当4a2＋mab＋5b2＝(4a＋5b)(a＋b)＝4a2＋9ab＋5b2，m＝9，
②当4a2＋mab＋5b2＝(4a＋b)(a＋5b)＝4a2＋21ab＋5b2，m＝21，
③当4a2＋mab＋5b2＝(2a＋b)(2a＋5b)＝4a2＋12ab＋5b2，m＝12.
故答案为：9或21或12.
22.(8分)先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：解一元二次不等式x2－4>0.
解：∵x2－4＝(x＋2)(x－2)，
∴x2－4>0可化为(x＋2)(x－2)>0，
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得
①②
解不等式组①，得x>2，
解不等式组②，得x<－2，
∴(x＋2)(x－2)>0的解集为x>2或x<－2，
即一元二次不等式x2－4>0的解集为x>2或x<－2.
(1)一元二次不等式x2－16>0的解集为________；
(2)不等式(x－1)(x－3)>0的解集为________；
(3)解一元二次不等式2x2－3x<0.
解：(1)∵x2－16＝(x＋4)(x－4)，
∴x2－16>0可化为(x＋4)(x－4)>0，
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得
①②
解不等式组①，得x>4，
解不等式组②，得x<－4，
∴(x＋4)(x－4)>0的解集为x>4或x<－4，
即一元二次不等式x2－16>0的解集为x>4或x<－4，
故答案为：x>4或x<－4；
(2)不等式(x－1)(x－3)>0，
由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”，得
①②
解不等式组①，得x>3，
解不等式组②，得x<1，
∴不等式(x－1)(x－3)>0的解集为x>3或x<1，
故答案为：x>3或x<1；
(3)∵2x2－3x＝x(2x－3)，
∴2x2－3x<0可化为x(2x－3)<0，
由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得①
②
解不等式组①，得0解不等式组②，不等式组无解，
∴x(2x－3)<0的解集为0即一元二次不等式2x2－3x<0的解集为023.(10分)请看下面的问题：
把x4＋4分解因式.
分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？
19世纪的法国数学家苏菲·热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和(x2)2＋22的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4＋4＝x4＋4x2＋4－4x2＝(x2＋2)2－4x2＝(x2＋2)2－(2x)2＝(x2＋2x＋2)(x2－2x＋2).
人们为了纪念苏菲·热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”.
请你依照苏菲·热门的做法，将下列各式因式分解.
(1)x4＋4y4；(2)x2－2ax－b2－2ab.
解：(1)x4＋4y4
＝x4＋4x2y2＋4y4－4x2y2
＝(x2＋2y2)2－4x2y2
＝(x2＋2y2＋2xy)(x2＋2y2－2xy)；
(2)x2－2ax－b2－2ab
＝x2－2ax＋a2－a2－b2－2ab
＝(x－a)2－(a＋b)2
＝(x－a＋a＋b)(x－a－a－b)
＝(x＋b)(x－2a－b).
24.(10分)[2023春·东阳期中]【阅读材料】：
教科书中这样写道：“我们把多项式a2＋2ab＋b2及a2－2ab＋b2叫做完全平方式.”如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法.即将多项式x2＋bx＋c(b，c为常数)写成(x＋h)2＋k(h，k为常数)的形式，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题.
【知识理解】：
(1)若多项式x2＋kx＋4是一个完全平方式，那么常数k的值为________；
(2)配方：x2－4x－6＝(x－2)2－________；
【知识运用】：
(3)已知m2＋2mn＋2n2－8n＋16＝0，则m＝________，n＝________；
(4)求多项式x2＋y2－4x＋6y＋15的最小值.
解：(1)∵多项式x2＋kx＋4是一个完全平方式，
∴x2＋kx＋4＝x2±2×2·x＋22，
∴k＝±4，
故答案为：±4；
(2)x2－4x－6＝x2－4x＋4－4－6＝(x－2)2－10，
故答案为：10；
(3)∵m2＋2mn＋2n2－8n＋16＝0，
∴(m2＋2mn＋n2)＋(n2－8n＋16)＝0，
∴(m＋n)2＋(n－4)2＝0，
∴∴
故答案为：－4，4；
(4)x2＋y2－4x＋6y＋15
＝(x2－4x＋4)＋(y2＋6y＋9)＋2
＝(x－2)2＋(y＋3)2＋2，
∵(x－2)2≥0，(y＋3)2≥0，
∴x2＋y2－4x＋6y＋15的最小值为2.第四章 因式分解
一、选择题(共12小题，每题3分，共36分)
1.[2023·茂名]下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是( )
A.a(x＋y)＝ax＋ay
B.x2－4x＋4＝x(x－4)＋4
C.10x2－5x＝5x(2x－1)
D.x2－16＋6x＝(x＋4)(x－4)＋6x
2.[2022·柳州]把多项式a2＋2a分解因式得( )
A.a(a＋2) B.a(a－2)
C.(a＋2)2 D.(a＋2)(a－2)
3.把x4－2x2y2＋y4分解因式，结果是( )
A.(x－y)4 B.(x2－y2)4
C.(x＋y)4 D.(x＋y)2(x－y)2
4.[2023春·大名县期末]如果多项式x2＋1加上一个单项式后，能够直接用完全平方公式进行因式分解，那么在下列单项式中，可以加上的是( )
A.x B.x4
C.4x D.x4
5.[2023春·太原期末]已知一个圆的面积为9πa2＋6πab＋πb2(a＞0，b＞0)，则该圆的半径是( )
A.3a＋b B.9a＋b
C.3ab D.3πa＋πb
6.[2023春·阜新期末]把多项式12a2b3＋8a3b分解因式，应提的公因式是( )
A.a2b B.4a3b
C.2ab D.4a2b
7.[2023春·新民期末]已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a2－b2＝ac－bc，则△ABC一定是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.锐角三角形 D.直角三角形
8.[2023·河北]若k为任意整数，则(2k＋3)2－4k2的值总能( )
A.被2整除 B.被3整除
C.被5整除 D.被7整除
9.如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x，y表示四个长方形的两边长(x>y)，观察图案及以下关系式：①x－y＝n
②xy＝ ③x2－y2＝mn ④x2＋y2＝.其中正确的关系式的个数有( )
第9题图
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
10.已知a－b＝1，则a2－b2－2b的值为( )
A.4 B.3
C.1 D.0
11.对于任意的有理数a，b，c，d，我们规定|a b,c d)|＝ad－bc，如|1 2,3 4)|＝1×4－2×3＝－2.求|(a＋c) (b－a)2,(a－c) (a－b)2)|的值为( )
A.2c(a－b)2 B.2a(a－b)2
C.(a－c)(a－b) D.(a－c)(a＋c)
12.在数学中为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑”，如记k＝3＋4＋5＋…＋n＝， (x＋k)＝(x＋3)＋(x＋4)＋…＋(x＋n).已知[x(x＋k)]＝9x2＋mx，则m的值是( )
A.45 B.63
C.54 D.不确定
二、填空题(共6小题，每题3分，共18分)
13.[2023·东城区模拟]分解因式：2a2＋8ab＋8b2＝ .
14.[2023·滨海县模拟]已知x＋y＝2，x＋3y＝4，则代数式x2＋4xy＋4y2的值为 .
15.如图，六块纸板拼成一张大长方形纸板，其中一块是边长为a的正方形，两块是边长为b的正方形，三块是长为a，宽为b的长方形(a>b).观察图形，发现多项式a2＋3ab＋2b2可因式分解为 .
第15题图
16.利用因式分解计算：842－28×84＋142＝ _ .
17.[2023春·曲阳县期末]两名同学将一个二次三项式因式分解，甲同学因看错了一次项系数而分解成2(x－1)(x－9)；乙同学因看错了常数项而分解成2(x－2)(x－4)，则原多项式为 ，因式分解正确的结果为 .
18.[2023春·高新区期中]若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”(如3＝22－12，16＝52－32，则3和16是智慧数).已知智慧数按从小到大顺序构成如下数列：3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20，21，23，24，25……则
第2 023个“智慧数”是 _ .
三、解答题(共6小题，共46分)
19.(6分)因式分解：
(1)16－(2a＋3b)2；
(2)－16x2y2＋12xy3z；
(3)x2(a－b)2－y2(b－a)2.
20.(6分)(1)已知a2＋2ab＋b2＝0，求代数式a(a＋4b)－(a＋2b)(a－2b)的值；
(2)已知xy＝2，x－3y＝3，求代数式2x3y－12x2y2＋18xy3的值.
21.(6分)[2024春·南京期中]数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释.如图1，有足够多的边长为a的小正方形，长为b、宽为a的长方形以及边长为b的大正方形.
第21题图
利用图1中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，例如图2可以解释整式乘法：(2a＋b)(a＋b)＝2a2＋3ab＋b2，也可以解释因式分解：2a2＋3ab＋b2＝(2a＋b)(a＋b).
(1)若用4个B类材料围成
图3的形状，设外围大正方形的边长为x，内部小正方形的边长为y，观察图案，指出下列关系式中正确的是(写出所有正确结论的序号) .
①a＋b＝x ②(x－y)2＝2a2 ③ab＝ ④b2＝a2＋xy ⑤a2＋b2＝.
(2)若取其中的若干个(三种图形都要取到)拼成一个长方形，使其面积为3a2＋5ab＋2b2，在虚线框中画出图形，并根据所画图形，将多项式3a2＋5ab＋2b2分解因式为 .
第21题图
(3)若取其中的若干个(三种图形都要取到)拼成一个长方形，使其面积为4a2＋mab＋5b2，则m的值为 .(直接写出结果)
22.(8分)先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：解一元二次不等式x2－4>0.
解：∵x2－4＝(x＋2)(x－2)，
∴x2－4>0可化为(x＋2)(x－2)>0，
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得
①②
解不等式组①，得x>2，
解不等式组②，得x<－2，
∴(x＋2)(x－2)>0的解集为x>2或x<－2，
即一元二次不等式x2－4>0的解集为x>2或x<－2.
(1)一元二次不等式x2－16>0的解集为 ；
(2)不等式(x－1)(x－3)>0的解集为 ；
(3)解一元二次不等式2x2－3x<0.
23.(10分)请看下面的问题：
把x4＋4分解因式.
分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？
19世纪的法国数学家苏菲·热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和(x2)2＋22的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4＋4＝x4＋4x2＋4－4x2＝(x2＋2)2－4x2＝(x2＋2)2－(2x)2＝(x2＋2x＋2)(x2－2x＋2).
人们为了纪念苏菲·热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”.
请你依照苏菲·热门的做法，将下列各式因式分解.
(1)x4＋4y4；(2)x2－2ax－b2－2ab.
24.(10分)[2023春·东阳期中]【阅读材料】：
教科书中这样写道：“我们把多项式a2＋2ab＋b2及a2－2ab＋b2叫做完全平方式.”如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法.即将多项式x2＋bx＋c(b，c为常数)写成(x＋h)2＋k(h，k为常数)的形式，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题.
【知识理解】：
(1)若多项式x2＋kx＋4是一个完全平方式，那么常数k的值为 ；
(2)配方：x2－4x－6＝(x－2)2－ ；
【知识运用】：
(3)已知m2＋2mn＋2n2－8n＋16＝0，则m＝ ，n＝ ；
(4)求多项式x2＋y2－4x＋6y＋15的最小值.
