第三章图形的平移与旋转
类型一 平移的应用
1.[2022·广东]在平面直角坐标系中，将点(1，1)向右平移2个单位后，得到的点的坐标是( A )
A.(3，1) B.(－1，1)
C.(1，3) D.(1，－1)
2.[2022·淄博]如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置.若顶点A(－3，4)的对应点是A1(2，5)，则点B(－4，2)的对应点B1的坐标是(1，3).
第2题图
3.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别是A(5，3)，B(2，1)，C(6，－2)，△ABC中任意一点P(x0，y0)，经平移后对应点为P′(x0－8，y0＋2)，将△ABC作同样的平移得到△A′B′C′，点A，B，C的对应点分别为A′，B′，C′.
第3题图
(1)点A′的坐标为________，点B′的坐标为________；
(2)①画出△A′B′C′；②求出△A′B′C′的面积；
(3)点D是x轴上一动点，当S△B′C′D＝S△A′B′C′时，请直接写出点D的坐标：________.
解：(1)A′(－3，5)，B′(－6，3)，
故答案为：(－3，5)，(－6，3)；
(2)①如图，△A′B′C′即为所求；
第3题图
②△A′B′C′的面积＝4×5－×2×3－×3×4－×1×5＝8.5；
(3)设D(m，0)，
由题意，得××3＝×8.5，
∴m＝或－.
∴D或，
故答案为：或.
类型二 旋转的应用
第4题图
4.[2022·南充]如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′，点B′恰好落在CA的延长线上，∠B＝30°，∠C＝90°，则∠BAC′为( B )
A.90° B.60°
C.45° D.30°
第5题图
5.[2022·天津]如图，在△ABC中，AB＝AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是( C )
A.AB＝AN
B.AB∥NC
C.∠AMN＝∠ACN
D.MN⊥AC
6.[2022·枣庄]如图，将△ABC先向右平移1个单位，再绕点P按顺时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点B的对应点B′的坐标是( C )
第6题图
A.(4，0) B.(2，－2)
C.(4，－1) D.(2，－3)
7.[2022·安徽]如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点(网格线的交点).
(1)将△ABC向上平移6个单位，再向右平移2个单位，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1﹔
(2)以边AC的中点O为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转180°，得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2.
第7题图
解：(1)如图1，△A1B1C1即为所求作；
图1
第7题图
(2)如图2，△A2B2C2即为所求作；
图2
第7题图
类型三 中心对称与图案设计
8.[2023·辽宁]下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( B )
9.阅读理解，并解答问题：
观察发现：
如图1是一块正方形瓷砖，分析发现这块瓷砖上的图案是按
图2所示的过程设计的，其中虚线所在的直线是正方形的对称轴.
第9题图
问题解决：
用四块如图1所示的正方形瓷砖按下列要求拼成一个新的大正方形，并在图3和
图4中各画一种拼法.
(1)
图3中所画拼图拼成的图案是轴对称图形，但不是中心对称图形；
(2)
图4中所画拼图拼成的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形.
第9题图
解：(1)参考图案(答案不唯一)，如图3所示：
图3
第9题图
(2)参考图案(答案不唯一)，如图4所示：
图4
第9题图
类型四 旋转综合题
10.问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°.将△ABC从
图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到△ADE(点D，E分别是点B，C的对应点)，旋转角为α(0°<α<100°)，设线段AD与BC相交于点M，线段DE分别交BC，AC于点O，N.
第10题图
特例分析：(1)如图2，当旋转到AD⊥BC时，旋转角α的度数为________；
探究规律：(2)如图3，在△ABC绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段AM始终等于线段AN，请你证明这一结论；
拓展延伸：(3)当△DOM是等腰三角形时，求旋转角α的度数.
解：(1)∵AB＝AC，
∴∠BAC＝180°－2∠B＝100°，
∵AD⊥BC，
∴∠BAM＝∠BAC＝50°，
∴α＝50°，
故答案为：50°；
(2)证明：∵AB＝AC，
∴∠ABM＝∠C，
由旋转，得∠AEN＝∠C，∠BAM＝∠EAN＝α，AD＝AE＝AB，
∴∠ABM＝∠AEN，
在△ABM和△AEN中，
∴△ABM≌△AEN(ASA)，
∴AM＝AN；
(3)①如图1，当MD＝MO时，
第10题图
由旋转，得∠MDO＝40°，
∴∠MOD＝40°，
∴∠AMO＝2∠MDO＝80°，
∵∠AMO＝∠ABM＋∠BAM，
∴∠BAM＝80°－40°＝40°，
∴α＝40°；
②如图2，当DM＝DO时，
第10题图
由①，得∠MDO＝40°，
∴∠DOM＝＝70°，
∴∠AMO＝∠MDO＋∠DOM＝110°，
∵∠AMO＝∠ABM＋∠BAM，
∴∠BAM＝110°－40°＝70°，
∴α＝70°；
③如图3，当OD＝OM时，
第10题图
由①，得∠MDO＝∠DMO＝40°，
∴∠AMO＝180°－∠DMO＝140°，
∵∠AMO＝∠ABM＋∠BAM，
∴∠BAM＝140°－40°＝100°，
∴α＝100°，
∵0°<α<100°，
∴α＝100°不合题意，舍去；
综上所述，旋转角α的度数为40°或70°.
11.在“综合与实践”课上，同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动.
第11题图
(1)探究发现
如图1，在等边△ABC内部有一点P，连接AP，BP，CP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AD，连接PD，CD，若AP2＋CP2＝BP2，则∠APC的度数是________；
(2)类比延伸
如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°.在△ABC内部有一点P，连接AP，BP，CP，若∠APC＝135°，试判断AP，BP，CP之间的数量关系，并说明理由；
(3)迁移应用
如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°.在直线AC的上方有一点P，连接AP，BP，CP，若∠APC＝60°，则存在实数λ使得λAP2＋CP2＝BP2成立，请直接写出λ的值.
解：(1)由旋转性质可知AD＝AP，∠DAP＝60°＝∠BAC，
∴△ADP是等边三角形，∠BAP＝∠CAD，
∴PD＝AP，∠APD＝60°，
在△ABP与△ACD中，
∴△ABP≌△ACD(SAS)，
∴BP＝CD，
∵AP2＋CP2＝BP2，
∴DP2＋CP2＝CD2，
∴∠DPC＝90°，
∴∠APC＝∠APD＋∠DPC＝60°＋90°＝150°，
故答案为：150°；
(2)2AP2＋CP2＝BP2，理由：
如图1中，将△APB绕点A逆时针旋转90°得到△ATC，连接PT，
第11题图
由旋转性质可知AP＝AT，∠PAT＝90°，TC＝BP，
∴PT＝AP，∠APT＝∠ATP＝45°，
∵∠APC＝135°，
∴∠TPC＝∠APC－∠APT＝135°－45°＝90°，
∴PT2＋PC2＝TC2，
∴(AP)2＋PC2＝BP2，
∴2AP2＋CP2＝BP2；
(3)如图2中，将△APC绕点A顺时针旋转120°得到△ABQ，连接PQ，过点A作AH⊥PQ，垂足为点H，
第11题图
由旋转性质可知AP＝AQ，∠PAQ＝∠BAC＝120°，PC＝BQ，∠AQB＝∠APC＝60°，
∴∠PQA＝∠APQ＝＝30°，
∴∠BQP＝∠PQA＋∠AQB＝30°＋60°＝90°，
∴PQ2＋BQ2＝BP2，
∵AP＝AQ，AH⊥PQ，
∴PQ＝2PH，
在Rt△APH中，∠APQ＝30°，
∴AH＝AP，
∴PH＝＝AP，
∴PQ＝2PH＝AP，
∴3AP2＋PC2＝BP2，
∴λ＝3.
易错点 忽略分类讨论致错
12.[2024·宝山期末]如图，正方形CDEF旋转后能与正方形ABCD重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点的个数是( C )
第12题图
A.1个 B.2个
C.3个 D.无数个
13.[2024·上海期中]如图：已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，将△ABC绕点A旋转20°得到△AB′C′，AB′所在的直线与直线BC交于点E，那么BEB′的度数是10°或50°.
第13题图第三章图形的平移与旋转
类型一 平移的应用
1.[2022·广东]在平面直角坐标系中，将点(1，1)向右平移2个单位后，得到的点的坐标是( )
A.(3，1) B.(－1，1)
C.(1，3) D.(1，－1)
2.[2022·淄博]如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置.若顶点A(－3，4)的对应点是A1(2，5)，则点B(－4，2)的对应点B1的坐标是
第2题图
3.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别是A(5，3)，B(2，1)，C(6，－2)，△ABC中任意一点P(x0，y0)，经平移后对应点为P′(x0－8，y0＋2)，将△ABC作同样的平移得到△A′B′C′，点A，B，C的对应点分别为A′，B′，C′.
第3题图
(1)点A′的坐标为 ，点B′的坐标为 ；
(2)①画出△A′B′C′；②求出△A′B′C′的面积；
(3)点D是x轴上一动点，当S△B′C′D＝S△A′B′C′时，请直接写出点D的坐标： .
类型二 旋转的应用
第4题图
4.[2022·南充]如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′，点B′恰好落在CA的延长线上，∠B＝30°，∠C＝90°，则∠BAC′为( )
A.90° B.60°
C.45° D.30°
第5题图
5.[2022·天津]如图，在△ABC中，AB＝AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是( )
A.AB＝AN
B.AB∥NC
C.∠AMN＝∠ACN
D.MN⊥AC
6.[2022·枣庄]如图，将△ABC先向右平移1个单位，再绕点P按顺时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点B的对应点B′的坐标是( )
第6题图
A.(4，0) B.(2，－2)
C.(4，－1) D.(2，－3)
7.[2022·安徽]如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点(网格线的交点).
(1)将△ABC向上平移6个单位，再向右平移2个单位，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1﹔
(2)以边AC的中点O为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转180°，得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2.
第7题图
类型三 中心对称与图案设计
8.[2023·辽宁]下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
9.阅读理解，并解答问题：
观察发现：
如图1是一块正方形瓷砖，分析发现这块瓷砖上的图案是按
图2所示的过程设计的，其中虚线所在的直线是正方形的对称轴.
第9题图
问题解决：
用四块如图1所示的正方形瓷砖按下列要求拼成一个新的大正方形，并在图3和
图4中各画一种拼法.
(1)
图3中所画拼图拼成的图案是轴对称图形，但不是中心对称图形；
(2)
图4中所画拼图拼成的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形.
第9题图
类型四 旋转综合题
10.问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°.将△ABC从
图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到△ADE(点D，E分别是点B，C的对应点)，旋转角为α(0°<α<100°)，设线段AD与BC相交于点M，线段DE分别交BC，AC于点O，N.
第10题图
特例分析：(1)如图2，当旋转到AD⊥BC时，旋转角α的度数为 ；
探究规律：(2)如图3，在△ABC绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段AM始终等于线段AN，请你证明这一结论；
拓展延伸：(3)当△DOM是等腰三角形时，求旋转角α的度数.
11.在“综合与实践”课上，同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动.
第11题图
(1)探究发现
如图1，在等边△ABC内部有一点P，连接AP，BP，CP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AD，连接PD，CD，若AP2＋CP2＝BP2，则∠APC的度数是 ；
(2)类比延伸
如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°.在△ABC内部有一点P，连接AP，BP，CP，若∠APC＝135°，试判断AP，BP，CP之间的数量关系，并说明理由；
(3)迁移应用
如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°.在直线AC的上方有一点P，连接AP，BP，CP，若∠APC＝60°，则存在实数λ使得λAP2＋CP2＝BP2成立，请直接写出λ的值.
易错点 忽略分类讨论致错
12.[2024·宝山期末]如图，正方形CDEF旋转后能与正方形ABCD重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点的个数是( )
第12题图
A.1个 B.2个
C.3个 D.无数个
13.[2024·上海期中]如图：已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，将△ABC绕点A旋转20°得到△AB′C′，AB′所在的直线与直线BC交于点E，那么BEB′的度数是 .
第13题图
