1.[2023·深圳模拟]某商店需要购进甲、乙两种商品，已知甲的进价比乙多50元，分别用2万元购进甲、乙两种商品，购买乙的件数比甲多20件，现设乙的进价为x元，则下列方程正确的是( C )
A.－＝20
B.－＝20
C.－＝20
D.－＝20
2.[2023春·镇海区期末]爱心文具店购进A，B两种款式的圆珠笔，其中A种圆珠笔的单价比B种圆珠笔的单价低10%.已知购进A种圆珠笔用了810元，购进B种圆珠笔用了600元，且所购进的A种圆珠笔的数量比B种圆珠笔多20盒.设文具店购进B种款式的圆珠笔x盒，则所列方程正确的是( C )
A.＝×10%
B.＝×10%
C.＝(1－10%)·
D.＝·(x＋20)
3.[2023·海州区二模]A，B两地相距80千米，一辆大汽车从A地开出2小时后，又从A地开出另一辆小汽车，已知小汽车的速度是大汽车速度的3倍，结果小汽车比大汽车早40分钟到达B地，求两种汽车每小时各走多少千米.设大汽车的速度为x km/h，则下列方程中正确的是( C )
A.－＝40 B.－＝2.4
C.－2＝＋ D.＋2＝－
4.[2023春·达川区期末]某中学为使初三学生在中考体育测试中取得优异的成绩，在4月初安排全校体育教师对初三全体学生进行了一次模拟检测，在这一次检测中，甲组教师完成300个学生检测，乙组教师完成270个学生检测；已知甲组教师比乙组教师平均每分钟多检测4个学生，所用时间比乙组教师少用30分钟，求本次检测中甲、乙两组教师平均每分钟各检测多少个学生？设甲组教师平均每分钟检测x个学生，则由题意可列方程为( C )
A.－＝30 B.－＝30
C.－＝30 D.－＝30
5.[2024·徐州期末]某项工程，若由甲队单独施工，刚好如期完成；若由乙队单独施工，则要超期3天完成.现由甲、乙两队同时施工2天后，剩下的工程由乙队单独做，刚好如期完成.则规定的工期是6天.
6.[2024春·宜宾期末]某厂家接到一份生产24 000件防护服的订单，由于情况紧急，防护服的需求量呈上升趋势，又接到生产12 000件防护服的订单.工厂在实际生产中，提高了生产效率，每天比原计划多生产300件，实际全部完成生产任务的天数是原计划生产24 000件天数的1.2倍.设原计划每天生产x件防护服.根据题意得方程＝1.2×.
7.[2023·呼和浩特]甲、乙两船从相距150 km的A，B两地同时匀速沿江出发相向而行，甲船从A地顺流航行90 km时与从B地逆流航行的乙船相遇.甲、乙两船在静水中的航速均为30 km/h，则江水的流速为6km/h.
8.[2023·青岛]某校组织学生进行劳动实践活动，用1 000元购进甲种劳动工具，用2 400元购进乙种劳动工具，乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，但单价贵了4元.设甲种劳动工具单价为x元，则x满足的分式方程为＝2×.
9.[2024·长春模拟]某校为增强学生体质，提倡学生参与体育运动，举办“阳光体育节”活动，九年级甲、乙两名同学在跳绳比赛中，甲同学跳480个的时间与乙同学跳450个所用时间相同.已知甲同学平均每分钟比乙同学多跳10个，问乙同学平均每分钟跳多少个？
解：设乙同学平均每分钟跳x个，则甲同学平均每分钟跳(x＋10)个，
依题意，得＝，解得x＝150，
经检验，x＝150是该分式方程的解且符合题意，
答：乙同学平均每分钟跳150个.
10.[2024春·青岛期末]为美化校园，某校需补栽甲、乙两种花苗，经咨询，每株甲种花苗比每株乙种花苗的零售价多5元.已知用零售价购买相同数量的甲、乙两种花苗，需分别花费100元、50元.
(1)求甲、乙两种花苗的零售价；
(2)该校预计购买这两种花苗共1 000株，且甲种花苗的数量不少于乙种花苗数量的，商家提供了甲、乙两种花苗的批发价分别为8元/株、2元/株，与零售价相比较，通过批发价购买这两种花苗可节约资金W元.设通过批发价购买a株甲种花苗，求W与a之间的函数关系式，并求节约资金总额的最大值.
解：(1)设甲种花苗的零售价为m元，则乙种花苗的零售价为(m－5)元，
根据题意，得＝，
解得m＝10，
经检验，m＝10是原方程的解，符合题意；
∴m－5＝10－5＝5，
∴甲种花苗的零售价为10元，乙种花苗的零售价为5元；
(2)∵甲种花苗的数量不少于乙种花苗数量的，
∴a≥(1 000－a)，
解得a≥250；
根据题意得W＝(10－8)a＋(5－2)(1 000－a)＝－a＋3 000，
∵－1<0，
∴W随a的增大而减小，
∴当a＝250时，W取最大值，最大值为－250＋3 000＝2 750(元)，
∴W与a之间的函数关系式为W＝－a＋3 000，节约资金总额的最大值是2 750元.
11.[2022·东营]为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售.经了解，甲种水果的进价比乙种水果的进价低20%，水果店用1 000元购进甲种水果比用1 200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲、乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克.
(1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？
(2)若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
解：(1)设乙种水果的进价是x元/千克，
由题意，得＝＋10，
解得x＝5，
经检验，x＝5是分式方程的解，且符合题意，
则(1－20%)x＝0.8×5＝4，
答：甲种水果的进价是4元/千克，乙种水果的进价是5元/千克；
(2)设水果店购进甲种水果a千克，总共获得的利润为y元，
则购进乙种水果(150－a)千克.
由题意，得
y＝(6－4)a＋(8－5)(150－a)＝－a＋450，
∵－1＜0，
∴y随a的增大而减小.
∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，
∴a≥2(150－a).
解得a≥100，
∴当a＝100时，y取最大值，此时
y＝－100＋450＝350，150－a＝50.
答：水果店购进甲种水果100千克，乙种水果50千克时获得最大利润，最大利润是350元.
12.[2023·济南]某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型.A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2 000元购买A型机器人模型和用1 200元购买B型机器人模型的数量相同.
(1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？
(2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠.问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？
解：(1)设A型编程机器人模型单价是x元，B型编程机器人模型单价是(x－200)元.
根据题意，得＝，
解得x＝500，
经检验，x＝500是原方程的根且符合题意.
x－200＝300.
答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元；
(2)设购买A型编程机器人模型m台，购买B型编程机器人模型(40－m)台，购买A型和B型编程机器人模型共花费w元，
由题意，得40－m≤3m，解得m≥10.
∴w＝500×0.8·m＋300×0.8·(40－m)，
即w＝160m＋9 600，
∵160>0，
∴w随m的增大而增大.
∴当m＝10时，w取得最小值11 200，此时40－m＝30；
答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11 200元.1.下列方程中是分式方程的是( )
A.－2x＝1 B.2x2＝x－3
C.＝2 D.＝2
2.[2023·大连]将方程＋3＝去分母，两边同乘(x－1)后的式子为( )
A.1＋3＝3x(1－x)
B.1＋3(x－1)＝－3x
C.x－1＋3＝－3x
D.1＋3(x－1)＝3x
3.[2023·武侯区模拟]已知x＝1是分式方程＝的解，则a的值为( )
A.－1 B.1
C.3 D.－3
4.[2023春·宛城区期中]下列解为－1的分式方程是( )
A.＝0 B.＝0
C.＝0 D.＝
5.[2023·牡丹江]若分式方程＝1－的解为负数，则a的取值范围是( )
A.a<－1且a≠－2
B.a<0且a≠－2
C.a<－2且a≠－3
D.a<－1且a≠－3
6.[2022·临清市二模]定义a b＝2a＋，则方程3 x＝4 2的解为( )
A.x＝ B.x＝
C.x＝ D.x＝
7.若分式方程＋＝去分母后所得整式方程的解不是原分式方程的解，则实数a的取值是( )
A.4或8 B.4
C.8 D.0或2
8.[2023春·乌鲁木齐期末]如果关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且关于y的分式方程－＝1有非负数解，则符合条件的所有整数m的和是( )
A.13 B.15
C.20 D.22
9.[2024·济南模拟]若代数式与代数式的值相等，则x＝ .
10.[2023·永州]若关于x的分式方程－＝1(m为常数)有增根，则增根是 .
11.[2023春·遂宁期末]已知分式方程＝＋2的解为非负数，求k的取值范围 .
12.[2023·桓台县二模]若关于x的分式方程＝有正整数解，则整数m为 .
13.解方程：(1)＝－1；
(2)1－＝.
14.观察下列算式：
＝＝－，＝＝－，＝＝－…
(1)由此可推断：＝ ；
(2)请用含字母m(m为正整数)的等式表示(1)中的一般规律 ；
(3)仿照以上方法可推断：＝ ；
(4)仿照以上方法解方程：＝.
15.[换元法][2023春·晋城期中]阅读与思考
阅读下面的材料，解答后面的问题：
解方程：－＝0.
解：设y＝，则原方程可化为y－＝0，方程两边同时乘y，得y2－4＝0，
解得y＝±2，
经检验：y＝±2都是方程y－＝0的解，
∴当y＝2时，＝2，解得x＝－1，
当y＝－2时，＝－2，解得x＝，
经检验：x＝－1或x＝都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x＝－1或x＝.
上述这种解分式方程的方法称为“换元法”.
问题：
(1)若在方程－＝0中，设y＝，则原方程可化为 ；
(2)模仿上述换元法解方程：－－9＝0.1.下列方程中是分式方程的是( C )
A.－2x＝1 B.2x2＝x－3
C.＝2 D.＝2
2.[2023·大连]将方程＋3＝去分母，两边同乘(x－1)后的式子为( B )
A.1＋3＝3x(1－x)
B.1＋3(x－1)＝－3x
C.x－1＋3＝－3x
D.1＋3(x－1)＝3x
3.[2023·武侯区模拟]已知x＝1是分式方程＝的解，则a的值为( D )
A.－1 B.1
C.3 D.－3
4.[2023春·宛城区期中]下列解为－1的分式方程是( C )
A.＝0 B.＝0
C.＝0 D.＝
5.[2023·牡丹江]若分式方程＝1－的解为负数，则a的取值范围是( D )
A.a<－1且a≠－2
B.a<0且a≠－2
C.a<－2且a≠－3
D.a<－1且a≠－3
6.[2022·临清市二模]定义a b＝2a＋，则方程3 x＝4 2的解为( B )
A.x＝ B.x＝
C.x＝ D.x＝
7.若分式方程＋＝去分母后所得整式方程的解不是原分式方程的解，则实数a的取值是( A )
A.4或8 B.4
C.8 D.0或2
8.[2023春·乌鲁木齐期末]如果关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且关于y的分式方程－＝1有非负数解，则符合条件的所有整数m的和是( B )
A.13 B.15
C.20 D.22
9.[2024·济南模拟]若代数式与代数式的值相等，则x＝－5.
10.[2023·永州]若关于x的分式方程－＝1(m为常数)有增根，则增根是x＝4.
11.[2023春·遂宁期末]已知分式方程＝＋2的解为非负数，求k的取值范围k≤3且k≠1.
12.[2023·桓台县二模]若关于x的分式方程＝有正整数解，则整数m为0.
13.解方程：(1)＝－1；
(2)1－＝.
解：(1)去分母，得3(5x－4)＝4x＋10－(3x－6)，
去括号，移项，得15x－4x＋3x＝10＋6＋12，
合并同类项，得14x＝28，
系数化为1，得x＝2，
检验：当x＝2时，3x－6＝0，
∴原方程无解；
(2)去分母，得x2－4－(x－2)(x－2)＝16，
去括号，得x2－4－x2＋4x－4＝16，
移项，合并同类项，得4x＝24，
系数化为1，得x＝6，
检验：当x＝6时，x2－4＝32≠0，
∴原分式方程的解是x＝6.
14.观察下列算式：
＝＝－，＝＝－，＝＝－…
(1)由此可推断：＝________；
(2)请用含字母m(m为正整数)的等式表示(1)中的一般规律________；
(3)仿照以上方法可推断：＝________；
(4)仿照以上方法解方程：＝.
解：(1)＝＝－；
(2)根据题意可得＝－；
(3)＝＝－；
(4)＝，
即－＝，
即＝，
去分母，得x－1＝2x－8，
解得x＝7，
经检验，x＝7是分式方程的解.
15.[换元法][2023春·晋城期中]阅读与思考
阅读下面的材料，解答后面的问题：
解方程：－＝0.
解：设y＝，则原方程可化为y－＝0，方程两边同时乘y，得y2－4＝0，
解得y＝±2，
经检验：y＝±2都是方程y－＝0的解，
∴当y＝2时，＝2，解得x＝－1，
当y＝－2时，＝－2，解得x＝，
经检验：x＝－1或x＝都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x＝－1或x＝.
上述这种解分式方程的方法称为“换元法”.
问题：
(1)若在方程－＝0中，设y＝，则原方程可化为________；
(2)模仿上述换元法解方程：－－9＝0.
解：(1)设y＝，原方程可化为y－＝0，
故答案为：y－＝0;
(2)∵－－9＝－＝－，
∴原方程为－＝0.
设y＝，原方程可化为y－＝0，
方程两边同时乘以y，得y2－9＝0，
解得y＝±3，
经检验，y＝±3是原方程y－的解，
当y＝3时，有＝3，解得x＝－，
当y＝－3时，有＝－3，解得x＝－，
经检验：x＝－或x＝－都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x＝－或x＝－.1.[2023·深圳模拟]某商店需要购进甲、乙两种商品，已知甲的进价比乙多50元，分别用2万元购进甲、乙两种商品，购买乙的件数比甲多20件，现设乙的进价为x元，则下列方程正确的是( )
A.－＝20
B.－＝20
C.－＝20
D.－＝20
2.[2023春·镇海区期末]爱心文具店购进A，B两种款式的圆珠笔，其中A种圆珠笔的单价比B种圆珠笔的单价低10%.已知购进A种圆珠笔用了810元，购进B种圆珠笔用了600元，且所购进的A种圆珠笔的数量比B种圆珠笔多20盒.设文具店购进B种款式的圆珠笔x盒，则所列方程正确的是( )
A.＝×10%
B.＝×10%
C.＝(1－10%)·
D.＝·(x＋20)
3.[2023·海州区二模]A，B两地相距80千米，一辆大汽车从A地开出2小时后，又从A地开出另一辆小汽车，已知小汽车的速度是大汽车速度的3倍，结果小汽车比大汽车早40分钟到达B地，求两种汽车每小时各走多少千米.设大汽车的速度为x km/h，则下列方程中正确的是( )
A.－＝40 B.－＝2.4
C.－2＝＋ D.＋2＝－
4.[2023春·达川区期末]某中学为使初三学生在中考体育测试中取得优异的成绩，在4月初安排全校体育教师对初三全体学生进行了一次模拟检测，在这一次检测中，甲组教师完成300个学生检测，乙组教师完成270个学生检测；已知甲组教师比乙组教师平均每分钟多检测4个学生，所用时间比乙组教师少用30分钟，求本次检测中甲、乙两组教师平均每分钟各检测多少个学生？设甲组教师平均每分钟检测x个学生，则由题意可列方程为( )
A.－＝30 B.－＝30
C.－＝30 D.－＝30
5.[2024·徐州期末]某项工程，若由甲队单独施工，刚好如期完成；若由乙队单独施工，则要超期3天完成.现由甲、乙两队同时施工2天后，剩下的工程由乙队单独做，刚好如期完成.则规定的工期是 天.
6.[2024春·宜宾期末]某厂家接到一份生产24 000件防护服的订单，由于情况紧急，防护服的需求量呈上升趋势，又接到生产12 000件防护服的订单.工厂在实际生产中，提高了生产效率，每天比原计划多生产300件，实际全部完成生产任务的天数是原计划生产24 000件天数的1.2倍.设原计划每天生产x件防护服.根据题意得方程 .
7.[2023·呼和浩特]甲、乙两船从相距150 km的A，B两地同时匀速沿江出发相向而行，甲船从A地顺流航行90 km时与从B地逆流航行的乙船相遇.甲、乙两船在静水中的航速均为30 km/h，则江水的流速为 km/h.
8.[2023·青岛]某校组织学生进行劳动实践活动，用1 000元购进甲种劳动工具，用2 400元购进乙种劳动工具，乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，但单价贵了4元.设甲种劳动工具单价为x元，则x满足的分式方程为 .
9.[2024·长春模拟]某校为增强学生体质，提倡学生参与体育运动，举办“阳光体育节”活动，九年级甲、乙两名同学在跳绳比赛中，甲同学跳480个的时间与乙同学跳450个所用时间相同.已知甲同学平均每分钟比乙同学多跳10个，问乙同学平均每分钟跳多少个？
10.[2024春·青岛期末]为美化校园，某校需补栽甲、乙两种花苗，经咨询，每株甲种花苗比每株乙种花苗的零售价多5元.已知用零售价购买相同数量的甲、乙两种花苗，需分别花费100元、50元.
(1)求甲、乙两种花苗的零售价；
(2)该校预计购买这两种花苗共1 000株，且甲种花苗的数量不少于乙种花苗数量的，商家提供了甲、乙两种花苗的批发价分别为8元/株、2元/株，与零售价相比较，通过批发价购买这两种花苗可节约资金W元.设通过批发价购买a株甲种花苗，求W与a之间的函数关系式，并求节约资金总额的最大值.
11.[2022·东营]为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售.经了解，甲种水果的进价比乙种水果的进价低20%，水果店用1 000元购进甲种水果比用1 200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲、乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克.
(1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？
(2)若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
12.[2023·济南]某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型.A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2 000元购买A型机器人模型和用1 200元购买B型机器人模型的数量相同.
(1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？
(2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠.问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？
