1.[2023春·连平县期中]到三角形各顶点距离相等的点是三角形三条( B )
A.中线的交点
B.边垂直平分线的交点
C.角平分线的交点
D.高线的交点
2.△ABC在如图所示的网格中，顶点均在格点上，在△ABC内部有E，F，G，H四个点，则到△ABC三个顶点距离相等的点是( C )
第2题图
A.点H B.点G
C.点F D.点E
3.[2024·无锡期中]如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交BC于点D连接AD，若∠B＝50°，则∠DAC＝( C )
第3题图
A.20° B.50°
C.30° D.80°
4.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，MN垂直平分AB交AB于点M，交AC于点N，连接BN，ND⊥BC于点D，则∠BND的度数为( B )
第4题图
A.65° B.60°
C.55° D.50°
5.[2023春·佛冈县期中]已知点P为△ABC三边垂直平分线的交点，且∠BAC＝40°，则∠BPC＝( B )
第5题图
A.70° B.80°
C.120° D.110°
6.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝2∠C，BE平分∠ABC，交AC于点E，AD⊥BE于点D，下列结论：①AC－BE＝AE ②点E在线段BC的垂直平分线上 ③∠DAE＝∠C ④BC＝4AD.其中正确的有( D )
第6题图
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
7.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF(点E在BC上，点F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为( D )
第7题图
A.126° B.120°
C.110° D.108°
8.[2023·武安市二模]如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC，BC的垂直平分线的交点，连接AO，BO，若∠AOB＝α，则∠AIB的大小为( B )
第8题图
A.α B.α＋90°
C.α＋90° D.180°＋α
9.[2023·柳州二模]如图，已知∠BAC＝60°，AD是角平分线且AD＝20，作AD的垂直平分线交AC于点F，作DE⊥AC，则△DEF的周长为10＋10.
第9题图
10.如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线交于点O，∠A＝50°，则∠BOC＝100°.
第10题图
11.[2024春·即墨区期中]如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面结论：①∠APO＝∠ACO ②∠APO＋∠PCB＝90° ③PC＝PO ④AO＋AP＝AC；其中正确的有①②③④.(填上所有正确结论的序号)
第11题图
12.已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，∠B＝120°.
(1)用直尺和圆规作出AB的垂直平分线，分别交AC，AB于点M，N(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)猜想CM与AM之间有何数量关系，并证明你的猜想.
第12题图
第12题图
解：(1)如图1，
(2)如图2，CM＝2AM.
理由：
连接BM，
∵AB＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠A＝∠C＝30°，
又∵MN垂直平分AB，
∴MA＝MB，
∴∠MBA＝∠A＝30°，
∴∠CBM＝∠CBA－∠MBA＝90°，
又∵∠C＝30°，
∴CM＝2BM，
即CM＝2AM.
13.[2023春·古田县期中]如图，在△ABC中，DE，DF分别为BC，AB边的垂直平分线，连接AD，CD.
(1)若∠B＝50°，求∠ACD的度数；
(2)判断∠B与∠ACD之间的数量关系，并说明理由.
解：(1)连接BD并延长，交AC于点H，
第13题图
∵DE，DF分别为BC，AB边的垂直平分线，
∴DA＝DB，
DC＝DB，
∴∠DAB＝∠DBA，
∠DCB＝∠DBC，
∴∠ADH＝∠DAB＋∠DBA＝2∠DBA，∠CDH＝∠DCB＋∠DBC＝2∠DBC，
∴∠ADC＝2∠ABC＝100°，
第13题图
∵DA＝DB，DC＝DB，
∴DA＝DC，
∴∠ACD＝∠CAD＝×(180°－100°)＝40°；
(2)∠ABC＋∠ACD＝90°，
理由：∵∠ACD＋∠CAD＋∠ADC＝180°，
∴2∠ACD＋2∠ABC＝180°，
∴∠ACD＋∠ABC＝90°.
14.如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，DE⊥BC，∠ABC的角平分线BF交DE于点P，交AC于点M，连接PC.
(1)若∠A＝60°，∠ACP＝24°，求∠ABP的度数；
(2)若AB＝BC，BM2＋CM2＝m2(m＞0)，△PCM的周长为m＋2时，求△BCM的面积(用含m的代数式表示).
解：(1)∵点D是BC边的中点，DE⊥BC，
第14题图
∴PB＝PC，
∴∠PBC＝∠PCB，
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBC＝∠ABP，
∴∠PBC＝∠PCB＝∠ABP，
∵∠A＝60°，∠ACP＝24°，
∴∠PBC＋∠PCB＋∠ABP＝120°－24°，
∴3∠ABP＝120°－24°，
∴∠ABP＝32°；
(2)∵AB＝BC，BP平分∠ABC，
∴BM⊥AC，
∴∠BMC＝90°，
∵PD⊥BC，点D是BC边的中点，
∴PD垂直平分BC，
∴PB＝PC，
∵△PCM的周长为m＋2，
∴PM＋PC＋CM＝PM＋PB＋CM＝BM＋CM＝m＋2，
∴(BM＋CM)2＝BM2＋CM 2＋2BM·CM＝m2＋2·BM·CM＝(m＋2)2，
∴BM·CM＝2m＋2，
∴△BCM的面积＝BM·CM＝m＋1.1.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与BC的垂直平分线交于点P，连接CP，若∠A＝75°，∠ACP＝12°，则∠ABP的度数为( B )
第1题图
A.12° B.31°
C.53° D.75°
2.[2023·西湖区二模]如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，AB的垂直平分线与∠BAC的角平分线交于点O，则∠ABO的度数为( A )
第2题图
A.35° B.30°
C.25° D.20°
3.[2023春·渝中区期末]如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝42°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD，则∠DBC的度数是( B )
第3题图
A.22° B.27°
C.32° D.40°
4.[2023秋·无锡期中]如图，在△ABC中，∠ABC＝52°，点P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB，BC于点M，N，若点M在PA的垂直平分线上，点N在PC的垂直平分线上，则∠APC的度数为( B )
第4题图
A.115° B.116°
C.117° D.118°
5.[2023·宁波模拟]如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，若BC＝5，BD＝6.5，则△BCE的周长为( A )
第5题图
A.17 B.18
C.19 D.20
6.[2023春·宁波期末]如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE分别与AB，BC交于点D，E，AC的垂直平分线FG分别与AC，BC交于点F，G，EG＝BE＝CG，若△CGF的面积为3，则△ABC的面积是( D )
第6题图
A.9 B.10
C.13 D.18
7.如图，△ABC的面积为12，AB＝AC，BC＝4，AC的垂直平分线EF分别交AB，AC边于点E，F，若点D为BC边的中点，点P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小值为( B )
第7题图
A.6 B.8
C.10 D.12
8.[2023春·惠来县期末]如图，△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，连接AE，AG，则∠EAG＝40°.
第8题图
9.[2023春·青岛期末]如图，在△ABC中，∠A＝52°，∠ACB的角平分线CF与BC的垂直平分线DE交于点O，连接OB.若∠ABO＝20°，则∠ACB＝72°.
第9题图
10.[2023·屯昌县一模]如图，锐角△ABC中，∠A＝30°，BC＝，△ABC的面积是6，D，E，F分别是三边上的动点，则△DEF周长的最小值是.
第10题图
11.如图，已知△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB于点D，交AC于点E，∠A＝30°.求证：AE＝2EC.
第11题图
解：如图所示，连接BE，
∵ED垂直平分AB于点D，
∴AE＝BE，
∴∠A＝∠EBA＝30°，
∵∠C＝90°，
第11题图
∴∠ABC＝180°－∠C－∠A＝60°，
∴∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝30°，
∴BE＝2CE，
∴AE＝BE＝2CE.
12.[推理能力]如图，在△ABC中，∠BAC>90°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点E，F，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点M，N，直线EF，MN交于点P.
(1)求证：点P在线段BC的垂直平分线上；
(2)连接AP，求证：AP平分∠FAN；
(3)设∠FAN＝α，其他条件不变时，∠FPN的度数是________.(用含α的代数式表示)
解：(1)证明：如图，连接PA，PB，PC.
第12题图
∵PE垂直平分AB，PM垂直平分AC，
∴PA＝PB，PA＝PC，
∴PB＝PC，
∴点P在线段BC的垂直平分线上；
(2)证明：由(1)知PB＝PC，
∴∠PBF＝∠PCN，
∵PE垂直平分AB，
第12题图
∴PA＝PB，FA＝FB，
∴∠PAB＝∠PBA，
∠FAB＝∠FBA，
∴∠PAF＝∠PBF，
同理∠PAN＝∠PCN，
∴∠PAF＝∠PAN，
即AP平分∠FAN；
(3)∵PE垂直平分AB，PM垂直平分AC，
∴FA＝FB，NA＝NC，∠AEP＝∠AMP＝90°，
设∠ABC＝x，∠ACB＝y，
∴∠ABC＝x＝∠BAF，∠ACB＝y＝∠CAN，
在△ABC中，∠ABC＋∠ACB＋∠CAB＝180°，∠FAN＝α，
∴x＋y＋x＋y＋α＝180°，即＝x＋y，
在四边形AEPM中，∠AEP＋∠AMP＋∠EAM＋∠FPN＝360°，
∴∠FPN＝360°－90°－90°－(x＋y＋α)＝180°－＝.
故答案为：.
13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，点E在直线BC上(点E不与点B，C重合)，连接DE，过点D作DF⊥DE交直线AC于点F，连接EF.
第13题图
(1)如图1，当点F与点A重合时，请直接写出线段EF与BE的数量关系；
(2)如图2，当点F不与点A重合时，请写出线段AF，EF，BE之间的数量关系，并说明理由；
(3)若AC＝10，BC＝6，EC＝2，请直接写出线段AF的长.
解：(1)结论：EF＝BE.
理由：∵AD＝DB，DE⊥AB，
∴DE垂直平分AB，
∴EF＝EB；
(2)结论：AF2＋BE2＝EF2.
理由：如图1中，过点A作AJ⊥AC交ED的延长线于点J，连接FJ.
第13题图
∵AJ⊥AC，EC⊥AC，
∴AJ∥BE，
∴∠AJD＝∠DEB，
在△AJD和△BED中，
∴△AJD≌△BED(AAS)，
∴AJ＝BE，DJ＝DE，
∵DF⊥EJ，
∴FJ＝EF，
∵∠FAJ＝90°，
∴AF2＋AJ2＝FJ2，
∴AF2＋BE2＝EF2；
(3)如图2中，当点E在线段BC上时，设AF＝x，则CF＝10－x.
第13题图
∵BC＝6，CE＝2，
∴BE＝4，
∵EF2＝AF2＋BE2＝CF2＋CE2，
∴x2＋42＝(10－x)2＋22，
∴x＝，
∴AF＝.
如图3中，当点E在线段BC的延长线上时，设AF＝x，则CF＝10－x.
第13题图
∵BC＝6，CE＝2，
∴BE＝8，
∵EF2＝AF2＋BE2＝CF2＋CE2，
∴x2＋82＝(10－x)2＋22，
∴x＝2，
∴AF＝2，
综上所述，满足条件的AF的长为或2.1.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与BC的垂直平分线交于点P，连接CP，若∠A＝75°，∠ACP＝12°，则∠ABP的度数为( )
第1题图
A.12° B.31°
C.53° D.75°
2.[2023·西湖区二模]如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，AB的垂直平分线与∠BAC的角平分线交于点O，则∠ABO的度数为( )
第2题图
A.35° B.30°
C.25° D.20°
3.[2023春·渝中区期末]如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝42°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD，则∠DBC的度数是( )
第3题图
A.22° B.27°
C.32° D.40°
4.[2023秋·无锡期中]如图，在△ABC中，∠ABC＝52°，点P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB，BC于点M，N，若点M在PA的垂直平分线上，点N在PC的垂直平分线上，则∠APC的度数为( )
第4题图
A.115° B.116°
C.117° D.118°
5.[2023·宁波模拟]如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，若BC＝5，BD＝6.5，则△BCE的周长为( )
第5题图
A.17 B.18
C.19 D.20
6.[2023春·宁波期末]如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE分别与AB，BC交于点D，E，AC的垂直平分线FG分别与AC，BC交于点F，G，EG＝BE＝CG，若△CGF的面积为3，则△ABC的面积是( )
第6题图
A.9 B.10
C.13 D.18
7.如图，△ABC的面积为12，AB＝AC，BC＝4，AC的垂直平分线EF分别交AB，AC边于点E，F，若点D为BC边的中点，点P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小值为( )
第7题图
A.6 B.8
C.10 D.12
8.[2023春·惠来县期末]如图，△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，连接AE，AG，则∠EAG＝ .
第8题图
9.[2023春·青岛期末]如图，在△ABC中，∠A＝52°，∠ACB的角平分线CF与BC的垂直平分线DE交于点O，连接OB.若∠ABO＝20°，则∠ACB＝ .
第9题图
10.[2023·屯昌县一模]如图，锐角△ABC中，∠A＝30°，BC＝，△ABC的面积是6，D，E，F分别是三边上的动点，则△DEF周长的最小值是 .
第10题图
11.如图，已知△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB于点D，交AC于点E，∠A＝30°.求证：AE＝2EC.
第11题图
12.[推理能力]如图，在△ABC中，∠BAC>90°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点E，F，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点M，N，直线EF，MN交于点P.
(1)求证：点P在线段BC的垂直平分线上；
(2)连接AP，求证：AP平分∠FAN；
(3)设∠FAN＝α，其他条件不变时，∠FPN的度数是 .(用含α的代数式表示)
13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，点E在直线BC上(点E不与点B，C重合)，连接DE，过点D作DF⊥DE交直线AC于点F，连接EF.
第13题图
(1)如图1，当点F与点A重合时，请直接写出线段EF与BE的数量关系；
(2)如图2，当点F不与点A重合时，请写出线段AF，EF，BE之间的数量关系，并说明理由；
(3)若AC＝10，BC＝6，EC＝2，请直接写出线段AF的长.1.[2023春·连平县期中]到三角形各顶点距离相等的点是三角形三条( )
A.中线的交点
B.边垂直平分线的交点
C.角平分线的交点
D.高线的交点
2.△ABC在如图所示的网格中，顶点均在格点上，在△ABC内部有E，F，G，H四个点，则到△ABC三个顶点距离相等的点是( )
第2题图
A.点H B.点G
C.点F D.点E
3.[2024·无锡期中]如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交BC于点D连接AD，若∠B＝50°，则∠DAC＝( )
第3题图
A.20° B.50°
C.30° D.80°
4.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，MN垂直平分AB交AB于点M，交AC于点N，连接BN，ND⊥BC于点D，则∠BND的度数为( )
第4题图
A.65° B.60°
C.55° D.50°
5.[2023春·佛冈县期中]已知点P为△ABC三边垂直平分线的交点，且∠BAC＝40°，则∠BPC＝( )
第5题图
A.70° B.80°
C.120° D.110°
6.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝2∠C，BE平分∠ABC，交AC于点E，AD⊥BE于点D，下列结论：①AC－BE＝AE ②点E在线段BC的垂直平分线上 ③∠DAE＝∠C ④BC＝4AD.其中正确的有( )
第6题图
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
7.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF(点E在BC上，点F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为( )
第7题图
A.126° B.120°
C.110° D.108°
8.[2023·武安市二模]如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC，BC的垂直平分线的交点，连接AO，BO，若∠AOB＝α，则∠AIB的大小为( )
第8题图
A.α B.α＋90°
C.α＋90° D.180°＋α
9.[2023·柳州二模]如图，已知∠BAC＝60°，AD是角平分线且AD＝20，作AD的垂直平分线交AC于点F，作DE⊥AC，则△DEF的周长为 .
第9题图
10.如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线交于点O，∠A＝50°，则∠BOC＝ .
第10题图
11.[2024春·即墨区期中]如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面结论：①∠APO＝∠ACO ②∠APO＋∠PCB＝90° ③PC＝PO ④AO＋AP＝AC；其中正确的有 .(填上所有正确结论的序号)
第11题图
12.已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，∠B＝120°.
(1)用直尺和圆规作出AB的垂直平分线，分别交AC，AB于点M，N(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)猜想CM与AM之间有何数量关系，并证明你的猜想.
第12题图
第12题图
13.[2023春·古田县期中]如图，在△ABC中，DE，DF分别为BC，AB边的垂直平分线，连接AD，CD.
(1)若∠B＝50°，求∠ACD的度数；
(2)判断∠B与∠ACD之间的数量关系，并说明理由.
14.如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，DE⊥BC，∠ABC的角平分线BF交DE于点P，交AC于点M，连接PC.
(1)若∠A＝60°，∠ACP＝24°，求∠ABP的度数；
(2)若AB＝BC，BM2＋CM2＝m2(m＞0)，△PCM的周长为m＋2时，求△BCM的面积(用含m的代数式表示).
