1.[2023春·祥符区期末]如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在( )
第1题图
A.△ABC的三条中线的交点
B.△ABC三条角平分线的交点
C.△ABC三条高所在直线的交点
D.△ABC三边的中垂线的交点
2.[2023春·市南区期末]如图，在△ABC中，点O是△ABC三个内角平分线的交点，若△ABC面积为36，且点O到边AC的距离为4，则△ABC的周长为( )
第2题图
A.8 B.12
C.18 D.30
3.[2023·辽宁]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点G，作射线AG，交BC于点D，则BD的长为( )
第3题图
A. B.
C. D.
4.[2023·包头]如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BD于点M，交BC于点E，连接DE，则S△BDE∶S△CDE的值是( )
第4题图
A.1∶2 B.1∶
C.2∶5 D.3∶8
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线.若点P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC＋PQ的最小值是( )
第5题图
A.2.4 B.4.8
C.4 D.5
6.点O在△ABC内，且到三边的距离相等，若∠A＝56°，则∠BOC＝ .
7.在△ABC中，AB＝13 cm，AC＝5 cm，BC＝12 cm，若三角形内有一点P到各边距离相等，则这个距离等于 cm.
8.[2023秋·盖州市期中]如图，已知△ABC的面积是26，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝2，则△ABC的周长是 .
第8题图
9.[2023·达州]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝.
(1)尺规作图：作∠BAC的角平分线交BC于点P；(不写做法，保留作图痕迹)
(2)在(1)所作图形中，求△ABP的面积.
第9题图
10.[2023春·扬州期末]如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于点E，EF⊥AB交AB于F，EG⊥AC交AC的延长线于点G，试问：BF与CG的大小如何？证明你的结论.
第10题图
11.[2023春·工业园区期中]如图，点O是△ABC的三条角平分线的交点，OG⊥BC，垂足为点G.∠DOB＝50°，求∠GOC的度数.
12.[2024春·武汉期末]如图，已知Rt△ABC中，∠A＝90°，BD，CD分别平分∠ABC和∠ACB.
第12题图
(1)如图1，求∠BDC的度数；
(2)如图2，延长BD交AC于点E，作EG⊥BE交CD于点G，作GF⊥AC交BE的延长线于点F，垂足为点H，求证：EF＝BD；
(3)如图3，若AB＝AC＝1，点Q是边BC所在直线上一点，分别关于BD，CD作Q的对称点M，N，它们到直线BC的距离分别记作m和n.
①若点Q在边BC上，直接写出mn的最大值；
②若点Q在BC的延长线上，取十个特殊的Q点，使十个对应的n值依次为n1＝1，n2＝2，…，n10＝10这十个自然数，对应的m的值分别记作m1，m2，…，m10.直接写出＋＋…＋的和.1.[2023春·祥符区期末]如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在( B )
第1题图
A.△ABC的三条中线的交点
B.△ABC三条角平分线的交点
C.△ABC三条高所在直线的交点
D.△ABC三边的中垂线的交点
2.[2023春·市南区期末]如图，在△ABC中，点O是△ABC三个内角平分线的交点，若△ABC面积为36，且点O到边AC的距离为4，则△ABC的周长为( C )
第2题图
A.8 B.12
C.18 D.30
3.[2023·辽宁]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点G，作射线AG，交BC于点D，则BD的长为( D )
第3题图
A. B.
C. D.
4.[2023·包头]如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BD于点M，交BC于点E，连接DE，则S△BDE∶S△CDE的值是( A )
第4题图
A.1∶2 B.1∶
C.2∶5 D.3∶8
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线.若点P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC＋PQ的最小值是( B )
第5题图
A.2.4 B.4.8
C.4 D.5
6.点O在△ABC内，且到三边的距离相等，若∠A＝56°，则∠BOC＝118°.
7.在△ABC中，AB＝13 cm，AC＝5 cm，BC＝12 cm，若三角形内有一点P到各边距离相等，则这个距离等于2cm.
8.[2023秋·盖州市期中]如图，已知△ABC的面积是26，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝2，则△ABC的周长是26.
第8题图
9.[2023·达州]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝.
(1)尺规作图：作∠BAC的角平分线交BC于点P；(不写做法，保留作图痕迹)
(2)在(1)所作图形中，求△ABP的面积.
第9题图
解：(1)以A为圆心，任意长为半径画弧，分别与AC，AB交于两点；再以两交点为圆心，以大于它们距离的为半径画弧，交于一点；过点A与该点作射线交BC于点P，则AP即为所求作；
(2)过点P作PD⊥AB，如图，
由(1)，得PC＝PD，
第9题图
∵∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝，
∴AC＝＝2，
∴S△ACB＝S△ACP＋S△APB，
∵S△ACB＝AC·BC＝×2×＝，
∴AC·PC＋AB·PD＝，
即×2PC＋×5PD＝，
∵PC＝PD，
∴PD＝，
∴S△APB＝AB·PD＝×5×＝.
10.[2023春·扬州期末]如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于点E，EF⊥AB交AB于F，EG⊥AC交AC的延长线于点G，试问：BF与CG的大小如何？证明你的结论.
第10题图
解：BF与CG的大小关系为相等.
证明：连接EB，EC，如图，
∵AE是∠BAC的平分线，且EF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，
第10题图
∴EF＝EG，
∵ED⊥BC于点D，点D是BC的中点，
∴EB＝EC，
∴Rt△EFB≌Rt△EGC(HL)，
∴BF＝CG.
11.[2023春·工业园区期中]如图，点O是△ABC的三条角平分线的交点，OG⊥BC，垂足为点G.∠DOB＝50°，求∠GOC的度数.
解：∵在△ABC中，三条角平分线AD，BE，CF相交于点O，
第11题图
∴∠OAB＝∠BAC，
∠OBA＝∠ABC，
∵∠ABC＋∠BAC＝180°－∠BCA，
∴∠AOB＝180°－(∠OAB＋∠OBA)＝180°－(∠CAB＋∠CBA)＝180°－(180°－∠ACB)＝90°＋∠ACB，
∴∠DOB＝180°－∠AOB＝180°－(90°＋∠ACB)＝90°－∠ACB，
又∵OC平分∠ACB，OG⊥BC，
∴∠GOC＝90°－∠ACB，
∴∠GOC＝∠DOB＝50°.
12.[2024春·武汉期末]如图，已知Rt△ABC中，∠A＝90°，BD，CD分别平分∠ABC和∠ACB.
第12题图
(1)如图1，求∠BDC的度数；
(2)如图2，延长BD交AC于点E，作EG⊥BE交CD于点G，作GF⊥AC交BE的延长线于点F，垂足为点H，求证：EF＝BD；
(3)如图3，若AB＝AC＝1，点Q是边BC所在直线上一点，分别关于BD，CD作Q的对称点M，N，它们到直线BC的距离分别记作m和n.
①若点Q在边BC上，直接写出mn的最大值；
②若点Q在BC的延长线上，取十个特殊的Q点，使十个对应的n值依次为n1＝1，n2＝2，…，n10＝10这十个自然数，对应的m的值分别记作m1，m2，…，m10.直接写出＋＋…＋的和.
解：(1)在Rt△ABC中，
∵∠A＝90°，
∴∠ABC＋∠ACB＝90°，
∵BD，CD分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABC＝2∠DBC，∠ACB＝2∠DCB，
∴∠ABC＋∠ACB＝2∠DBC＋2∠DCB＝90°，
∴∠DBC＋∠DCB＝45°，
∴∠BDC＝135°；
(2)如图1，在BC上取点M，使得CM＝CE，
第12题图
∵CD平分∠ACB，
∴∠ECD＝∠MCD
在△ECD和△MCD中，
∴△ECD≌△MCD(SAS)，
∴DE＝DM，∠DEC＝∠DMC，
∴∠BMD＝∠FEH，
由(1)得∠BDC＝135°，
∴∠CDE＝45°，
∵DE⊥GE，
∴∠EGD＝45°，
∴DE＝EG＝DM，
又∵GF⊥AC，
∴∠FEH＝∠EGF，
∴∠BMD＝∠FGE，
在△AEB和△EHF中，
∵∠A＝∠EHF＝90°，
∠AEB＝∠FEH，
∴∠ABD＝∠F，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠DBC＝∠F，
在△BDM和△FEG中，
∴△BDM≌△FEG(AAS)，
∴EF＝BD；
(3)①如图2，过点M作MJ⊥BC于点J，过N作NK⊥BC于点K，
第12题图
∵AB＝AC＝1，∠A＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝，
设BQ＝x，则CQ＝－x，则BM＝x，CN＝－x，
∴m＝MJ＝x，
n＝NK＝(－x)，
∴mn＝x·(－x)＝－x2＋x＝－2＋，
∵－<0，
∴当x＝时，mn取得最大值，最大值为；
②∵BD平分∠ABC，
∴点Q关于BD的对称点M在直线AB上，
∴点M到BC的距离等于点Q到AB的距离；同理可得点N到BC的距离等于点Q到AC的距离.
∵S△ABC＝S△ABQ－S△ACQ，
∴×1×1＝×1×m－×1×n，
∴m＝n＋1，
当n＝10时，m＝11，
∴＋＋…＋
＝＋＋…＋
＝1－＋－＋…＋－
＝1－
＝，
∴＋＋…＋的和为.1.[2023·武安市二模]在正方形网格中，点M，N，P，Q均是格点，∠AOB的位置如图所示，则到∠AOB的两边距离相等的格点是( )
第1题图
A.点M B.点N
C.点P D.点Q
2.[2023春·秀峰区期中]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB.若DE＝3，BD＝6，则BC的长度为( )
第2题图
A.7 B.8
C.9 D.10
3.[2023春·福田区期末]如图，射线OC是∠AOB的角平分线，点D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝4，若点Q是射线OB上一点，OQ＝3，则△ODQ的面积是( )
第3题图
A.3 B.4
C.5 D.6
4.如图，BD为∠ABC的角平分线，DE⊥BC于点E，DE＝6，∠A＝30°，则AD的长为( )
第4题图
A.6 B.8
C.12 D.16
5.如图，△ABC的外角平分线BD，CE相交于点P.若点P到AC的距离为3，则点P到AB的距离为( )
第5题图
A.1 B.2
C.3 D.4
6.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，DC＝AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于( )
第6题图
A.4 B.3
C.2 D.1
7.[2024·武汉期中]如图，△ABC中，∠ABC，∠EAC的角平分线BP，AP交于点P，延长BA，BC过P作PM⊥BE于M，PN⊥BF于N，则下列结论：①CP平分∠ACF；②AP＝CP；③∠ACB＝2∠APB；④AC＝AM＋CN.其中正确的个数是( )
第7题图
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
8.[2023春·福鼎市期中]如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PD＝5 cm，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为 cm.
第8题图
9.[2023春·宁远县期中]如图，直线a，b，c分别表示相互交叉的马路，要建一个停车场要求到三条马路的距离相等，那么符合条件的修建点有 处.
第9题图
10.[2023·龙凤区模拟]如图，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，BE是△ABD边AD上的中线，若△ABC的面积是24，AB＝5，AC＝3，则△ABE的面积是 .
第10题图
11.如图，∠B＝∠C＝90°，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，若S△CDE∶S△ABE＝2∶3，则S△ADE∶S△DCE＝ .
第11题图
12.如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，AM平分∠DAB，求证：DM平分∠ADC.
13.[2023春·高新区期中]如图，点P是∠MON中一点，PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，连接AB，∠PAB＝∠PBA.
(1)求证：OP平分∠MON；
(2)若∠MON＝60°，OA＝2，求△PAB的面积.
第13题图
14.[2023秋·荆门市期中]如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB＝8，AC＝6，BC＝12.
(1)求S△ABD∶S△ACD的值；
(2)求证：＝；
(3)求BD的长.
第14题图
15.[2023秋·金水区期末]【问题背景】
已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD，CE是角平分线，AD与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为M，N.
【思考说理】
(1)求证：FE＝FD；
【反思提升】
(2)爱思考的小强尝试将【问题背景】中的条件“∠ACB＝90°”去掉，其他条件不变，观察发现(1)中结论(即FE＝FD)仍成立.你认为小强的发现正确吗？如果不正确请举例说明，如果正确请仅就
图2给出证明.
第15题图1.[2023·武安市二模]在正方形网格中，点M，N，P，Q均是格点，∠AOB的位置如图所示，则到∠AOB的两边距离相等的格点是( A )
第1题图
A.点M B.点N
C.点P D.点Q
2.[2023春·秀峰区期中]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB.若DE＝3，BD＝6，则BC的长度为( C )
第2题图
A.7 B.8
C.9 D.10
3.[2023春·福田区期末]如图，射线OC是∠AOB的角平分线，点D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝4，若点Q是射线OB上一点，OQ＝3，则△ODQ的面积是( D )
第3题图
A.3 B.4
C.5 D.6
4.如图，BD为∠ABC的角平分线，DE⊥BC于点E，DE＝6，∠A＝30°，则AD的长为( C )
第4题图
A.6 B.8
C.12 D.16
5.如图，△ABC的外角平分线BD，CE相交于点P.若点P到AC的距离为3，则点P到AB的距离为( C )
第5题图
A.1 B.2
C.3 D.4
6.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，DC＝AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于( C )
第6题图
A.4 B.3
C.2 D.1
7.[2024·武汉期中]如图，△ABC中，∠ABC，∠EAC的角平分线BP，AP交于点P，延长BA，BC过P作PM⊥BE于M，PN⊥BF于N，则下列结论：①CP平分∠ACF；②AP＝CP；③∠ACB＝2∠APB；④AC＝AM＋CN.其中正确的个数是( C )
第7题图
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
8.[2023春·福鼎市期中]如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PD＝5 cm，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为5cm.
第8题图
9.[2023春·宁远县期中]如图，直线a，b，c分别表示相互交叉的马路，要建一个停车场要求到三条马路的距离相等，那么符合条件的修建点有4处.
第9题图
10.[2023·龙凤区模拟]如图，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，BE是△ABD边AD上的中线，若△ABC的面积是24，AB＝5，AC＝3，则△ABE的面积是7.5.
第10题图
11.如图，∠B＝∠C＝90°，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，若S△CDE∶S△ABE＝2∶3，则S△ADE∶S△DCE＝5∶2.
第11题图
12.如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，AM平分∠DAB，求证：DM平分∠ADC.
证明：如图，过点M作ME⊥AD，垂足为E，
第12题图
∵AM平分∠DAB，
MB⊥AB，ME⊥AD，
∴ME＝MB(角平分线上的点到角两边的距离相等)，
又∵MC＝MB，
∴ME＝MC，
∵MC⊥CD，ME⊥AD，
∴DM平分∠ADC(到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上).
13.[2023春·高新区期中]如图，点P是∠MON中一点，PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，连接AB，∠PAB＝∠PBA.
(1)求证：OP平分∠MON；
(2)若∠MON＝60°，OA＝2，求△PAB的面积.
第13题图
解：(1)证明：∵∠PAB＝∠PBA，
∴PA＝PB.
∵PA⊥OM，PB⊥ON，
∴OP平分∠MON，
即OP是∠MON的平分线；
(2)∵∠OAP＝∠OBP＝90°，OP＝OP，AP＝BP，
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)，
∴AO＝BO.
∵∠MON＝60°，PA⊥OM，PB⊥ON，
∴∠AOP＝30°.
∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，
∴△AOB的面积为，
∵OA＝2，∴AP＝，
∴△AOP的面积＝OA·PA＝×2×＝，
∴△PAB的面积＝2△AOP的面积－△AOB的面积＝－＝.
14.[2023秋·荆门市期中]如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB＝8，AC＝6，BC＝12.
(1)求S△ABD∶S△ACD的值；
(2)求证：＝；
(3)求BD的长.
第14题图
解：(1)作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∵AD是∠BAC的角平分线，AB＝8，AC＝6，
∴DE＝DF，
所以＝＝＝＝.
∴S△ABD∶S△ACD的值是4∶3.
(2)作AG⊥BC于点G，
第14题图
则＝＝，
∵＝＝，
∴＝；
(3)∵BC＝12，＝＝，
∴BD＝BC＝×12＝.
15.[2023秋·金水区期末]【问题背景】
已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD，CE是角平分线，AD与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为M，N.
【思考说理】
(1)求证：FE＝FD；
【反思提升】
(2)爱思考的小强尝试将【问题背景】中的条件“∠ACB＝90°”去掉，其他条件不变，观察发现(1)中结论(即FE＝FD)仍成立.你认为小强的发现正确吗？如果不正确请举例说明，如果正确请仅就
图2给出证明.
第15题图
解：(1)证明：∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，
∴点F是△ABC的内心，
∵FM⊥AB，FN⊥BC，
∴FM＝FN，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠CAB＝30°，
∴∠CAD＝15°，
∴∠ADC＝75°，
∵∠ACE＝45°，
∴∠CEB＝75°，
∴∠ADC＝∠CEB，
∴Rt△FDN≌Rt△FEM(AAS)，
∴FE＝FD；
(2)如图，在AC上截取CP＝CD，
第15题图
在△CDF和△CPF中，
∴△CDF≌△CPF(SAS)，
∴FD＝FP，∠CFD＝∠CFP，
∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，
∴∠CAD＝∠BAD，∠ACE＝∠BCE，
∵∠B＝60°，
∴∠ACB＋∠BAC＝120°，
∴∠CAD＋∠ACE＝60°，
∴∠AFC＝120°，
∵∠CFD＝∠AFE＝180°－∠AFC＝60°，
又∵∠CFD＝∠CFP，
∴∠AFP＝∠CFP＝∠CFD＝∠AFE＝60°，
在△AFE和△AFP中，
∴△AFE≌△AFP(ASA)，
∴FP＝EF，
∴FD＝EF.
