第一章 三角形的证明
类型一 等腰三角形的性质与判定
第1题图
1.如图，在△ABC中，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD.若∠BAC＝104°，∠B＝40°，则∠DAC的度数为 .
2.[2023秋·江北区期中]如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠CBA与∠CAB的平分线相交于点E，延长AE交BC于点D，过点E作EF⊥AD交AC于点F，作EG∥AB交AC于点G.
(1)求证：△GEF为等腰三角形；
(2)求证：AF＋BD＝AB.
第2题图
类型二 等边三角形的性质与判定
3.在△ABC中，∠A＝60°，添加下列一个条件后，仍不能判定△ABC为等边三角形的是( )
A.AB＝AC B.∠A＝∠B
C.AD⊥BC D.∠B＝∠C
4.如图，在等边三角形ABC中，BD是AC边上的中线，延长BC至点E，使CE＝CD，若DE＝4 ，则AB＝( )
第4题图
A.4 B.6
C.8 D.8
类型三 直角三角形的性质与判定
5.[2023秋·临沧期末]如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB＝AC，∠CAD＝26°，则∠ACE的度数为( )
第5题图
A.26° B.32°
C.38° D.48°
6.[2023春·克孜勒苏州期末]以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是( )
A.1，2，2 B.3，4，5
C.3，4，9 D.4，5，7
7.如图，在△ABC中，∠B＝45°，点D是BC边的中点，DE⊥BC于点D，交AB于点E，连接CE.
(1)求∠AEC的度数；
(2)请你判断AE，BE，AC三条线段之间的等量关系，并证明你的结论.
第7题图
类型四 线段的垂直平分线
8.[2023春·娄底期中]已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，AD与BE交于点F，连接CF.
(1)求证：△ADC≌△BDF；
(2)若CD＝，求AD的长.
第8题图
9.[2023春·咸阳期中]如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，且BD＝BE，连接CD，AE，相交于点F，且∠ADC＝∠AEC.求证：
(1)AB＝BC；
(2)过点B，F的直线垂直平分线段AC.
第9题图
类型五 角的平分线
10.[2023·长清区二模]如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC于点E.已知CE＝3，BE＝5，则AC的长为( )
第10题图
A.8 B.7
C.6 D.5
11.[2024春·织金县期末]如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝7，则AC长是 .
第11题图
12.[2023秋·长宁区期末]如图，AD平分∠BAE，DE⊥AE，点C在线段AE上，CD＝BD.
(1)求证：AE＋CE＝AB；
(2)若AB＝4，BD＝2，AD＝2 ，求△ADE的面积.
第12题图
13.如图，已知△ABC，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G.
(1)求证：AD垂直平分EF；
(2)若AB＋AC＝10，DE＝3，求△ABC的面积.
第13题图
易错点 忽略分类讨论致错
14.[2024·福州期中]若等腰三角形的一边长为8 cm，周长为18 cm，则腰长为 _ _ .
15.如果等腰三角形的一个内角是80°，那么这个等腰三角形的顶角为 .第一章 三角形的证明
类型一 等腰三角形的性质与判定
第1题图
1.如图，在△ABC中，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD.若∠BAC＝104°，∠B＝40°，则∠DAC的度数为34°.
2.[2023秋·江北区期中]如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠CBA与∠CAB的平分线相交于点E，延长AE交BC于点D，过点E作EF⊥AD交AC于点F，作EG∥AB交AC于点G.
(1)求证：△GEF为等腰三角形；
(2)求证：AF＋BD＝AB.
第2题图
证明：(1)∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵EG∥AB，
∴∠AEG＝∠BAD，
∴∠AEG＝∠CAD，
∵EF⊥AD，
∴∠AEG＋∠GEF＝90°＝∠CAD＋∠AFE，
∴∠AFE＝∠GEF，
∴GF＝GE，
∴△GEF为等腰三角形；
(2)在AB上取BM＝BD，连接EM，
第2题图
∵BE平分∠ABD，
∴∠MBE＝∠DBE，
在△MBE和△DBE中，
∴△MBE≌△DBE(SAS)，
∴∠BME＝∠BDE，
∵∠FED＝∠ACB＝90°，
∴∠EFC＋∠EDC＝180°，
∵∠EDC＋∠BDE＝180°，
∴∠EFC＝∠BDE，
∴∠EFC＝∠BME，
∴∠AFE＝∠AME，
在△AFE和△AME中，
∴△AFE≌△AME(AAS)，
∴AF＝AM，
∴AF＋BD＝AM＋BM＝AB.
类型二 等边三角形的性质与判定
3.在△ABC中，∠A＝60°，添加下列一个条件后，仍不能判定△ABC为等边三角形的是( C )
A.AB＝AC B.∠A＝∠B
C.AD⊥BC D.∠B＝∠C
4.如图，在等边三角形ABC中，BD是AC边上的中线，延长BC至点E，使CE＝CD，若DE＝4 ，则AB＝( C )
第4题图
A.4 B.6
C.8 D.8
类型三 直角三角形的性质与判定
5.[2023秋·临沧期末]如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB＝AC，∠CAD＝26°，则∠ACE的度数为( B )
第5题图
A.26° B.32°
C.38° D.48°
6.[2023春·克孜勒苏州期末]以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是( B )
A.1，2，2 B.3，4，5
C.3，4，9 D.4，5，7
7.如图，在△ABC中，∠B＝45°，点D是BC边的中点，DE⊥BC于点D，交AB于点E，连接CE.
(1)求∠AEC的度数；
(2)请你判断AE，BE，AC三条线段之间的等量关系，并证明你的结论.
第7题图
解：(1)∵点D是BC的中点且ED⊥BC，
∴EB＝EC.
∵∠B＝45°，
∴∠BCE＝45°，
∴∠AEC＝∠B＋∠BCE＝45°＋45°＝90°；
(2)AE2＋BE2＝AC2.
证明：∵∠AEC＝90°，
∴△AEC为直角三角形，
∴AE2＋CE2＝AC2.
又∵BE＝CE，∴AE2＋BE2＝AC2.
类型四 线段的垂直平分线
8.[2023春·娄底期中]已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，AD与BE交于点F，连接CF.
(1)求证：△ADC≌△BDF；
(2)若CD＝，求AD的长.
第8题图
解：(1)证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠ACD＋∠DAC＝90°.
∵∠BAD＝45°，
∴∠ABD＝45°，
∴∠BAD＝∠DBA，
∴AD＝BD.
∵BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∴∠ACD＋∠EBC＝90°，
又∵∠ADB＝∠ADC，
∴∠DAC＝∠DBF.
在△ADC和△BDF中，
∴△ADC≌△BDF(ASA)；
(2)∵△ADC≌△BDF，
∴DC＝DF.
∵CD＝，
∴DF＝.
在Rt△CDF中，由勾股定理，得
CF＝＝2.
∵AB＝BC，BE⊥AC，
∴AE＝CE，
∴BE是AC的中垂线，
∴AF＝CF，
∴AF＝2，
∵AD＝AF＋DF，
∴AD＝2＋.
∴AD的长为2＋.
9.[2023春·咸阳期中]如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，且BD＝BE，连接CD，AE，相交于点F，且∠ADC＝∠AEC.求证：
(1)AB＝BC；
(2)过点B，F的直线垂直平分线段AC.
第9题图
证明：(1)∵∠ADC＝∠B＋∠BCD，∠AEC＝∠B＋∠BAE，∠ADC＝∠AEC，
∴∠BCD＝∠BAE，
在△BCD与△BAE中，
∴△BAE≌△BCD(AAS)，
∴AB＝BC；
(2)∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
由(1)可知∠BAE＝∠BCD，
∴∠BAC－∠BAE＝∠BCA－∠BCD，
即∠FAC＝∠FCA，
∴FA＝FC，
∴点F在AC的垂直平分线上，
∵AB＝BC，
∴点B在AC的垂直平分线上，
∴过点B，F的直线垂直平分线段AC.
类型五 角的平分线
10.[2023·长清区二模]如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC于点E.已知CE＝3，BE＝5，则AC的长为( C )
第10题图
A.8 B.7
C.6 D.5
11.[2024春·织金县期末]如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝7，则AC长是5.
第11题图
12.[2023秋·长宁区期末]如图，AD平分∠BAE，DE⊥AE，点C在线段AE上，CD＝BD.
(1)求证：AE＋CE＝AB；
(2)若AB＝4，BD＝2，AD＝2 ，求△ADE的面积.
第12题图
解：(1)证明：如图，过点D作DF⊥AB于点F，
第12题图
又∵DE⊥AE，AD平分∠BAE，
∴DF＝DE，
在Rt△FDA与Rt△EDA中，
∴Rt△FDA≌Rt△EDA(HL)，
∴AF＝AE，
在Rt△DFB与Rt△DEC中，
∴Rt△DFB≌Rt△DEC(HL)，
∴BF＝CE，
∴AE＋CE＝AF＋CE＝AF＋BF＝AB；
(2)∵AD2＋BD2＝AB2，
∴△ABD是直角三角形.
∵S△ABD＝AB·DF＝AD·BD，
∴DF＝＝＝，
∴BF＝＝＝1，
∴S△BDF＝BF·DF＝，
∴S△ADF＝S△ABD－S△DBF＝BD·AD－＝×2×2 －＝.
由(1)知，Rt△FDA≌Rt△EDA，
∴△ADE的面积为.
13.如图，已知△ABC，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G.
(1)求证：AD垂直平分EF；
(2)若AB＋AC＝10，DE＝3，求△ABC的面积.
第13题图
解：(1)证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴∠DEA＝∠DFA＝90°，DE＝DF，
在Rt△AED和Rt△AFD中，
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL).
∴AE＝AF，
又∵DE＝DF，
∴AD垂直平分EF；
(2)∵DE＝3，
∴DF＝DE＝3，
∵AB＋AC＝10，
∴△ABC的面积＝AB·DE＋AC·DF＝(AB＋AC)·DE＝15.
易错点 忽略分类讨论致错
14.[2024·福州期中]若等腰三角形的一边长为8 cm，周长为18 cm，则腰长为8_cm或5_cm.
15.如果等腰三角形的一个内角是80°，那么这个等腰三角形的顶角为80°或20°.
