第一章 三角形的证明
一、选择题(共12小题，每题3分，共36分)
1.[2023秋·克拉玛依期末]已知等腰三角形的两边长分别为4 cm，8 cm，则该等腰三角形的周长是( )
A.12 cm B.16 cm
C.16 cm或20 cm D.20 cm
2.以下列各组数为边的三角形中，是直角三角形的有( )
①3，4，5 ②，， ③32，42，52 ④0.03，0.04，0.05
A.1组 B.2组
C.3组 D.4组
3.[2022·荆门]数学兴趣小组为测量学校A与河对岸的科技馆B之间的距离， 在A的同岸选取点C，测得AC＝30，∠A＝45°，∠C＝90°，如图所示，据此可求得A，B之间的距离为( )
第3题图
A.20 B.60
C.30 D.30
4.[2023·岳阳]已知AB∥CD，点E在直线AB上，点F，G在直线CD上，EG⊥EF于点E，∠AEF＝40°，则∠EGF的度数是( )
第4题图
A.40° B.45°
C.50° D.60°
5.如图，在一张由边长为1的小正方形组成的方格稿纸上，有A，B，C，D，E，F，G七个点，则在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是( )
第5题图
A.点A，点B，点C B.点A，点D，点G
C.点B，点E，点F D.点B，点G，点E
6.[2024·眉山]如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，分别以点A，点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于点E，F，过点E，F作直线交AC于点D，连接BD，则△BCD的周长为( )
第6题图
A.7 B.8
C.10 D.12
7.[2022·贵阳]如图，已知∠ABC＝60°，点D为BA边上一点，BD＝10，点O为线段BD的中点，以点O为圆心，线段OB长为半径作弧，交BC于点E，连接DE，则BE的长是( )
第7题图
A.5 B.5
C.5 D.5
8.[2022·营口]如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，由图中的尺规作图得到的射线与AC交于点D，则下列推断错误的是( )
第8题图
A.BD＝BC B.AD＝BD
C.∠ADB＝108° D.CD＝AD
9.在△ABC内的一点P到三边的距离相等，则点P一定是△ABC( )
A.三条角平分线的交点 B.三边垂直平分线的交点
C.三条高的交点 D.三条中线的交点
10.如图，在等边△ABC中，点D，E分别是BC，AC上的点，且BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠1＋∠2的度数是( )
第10题图
A.45° B.55°
C.60° D.75°
11.[2023·安吉县一模]如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，BD，CE交于点F，连接AF，下列结论：①BD＝CE ②BF⊥CF ③AF平分∠CAD ④∠AFE＝45°.其中正确结论的个数有( )
第11题图
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
12.[西藏中考]如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝6，点P是线段AC上一动点，点M在线段AB上，当AM＝AB时，PB＋PM的最小值为( )
第12题图
A.3 B.2
C.2 ＋2 D.3 ＋3二、填空题(共6小题，每题3分，共18分)
13.在等腰△ABC中，AB＝AC＝10 cm，BC＝12 cm，则BC边上的高是 cm.
14.如图是某超市自动扶梯的示意图，大厅两层之间的距离h＝6.5 m，自动扶梯的倾角为30°.若自动扶梯运行速度v＝0.5 m/s，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为 s.
第14题图
15.[2023·长沙]如图，已知∠ABC＝50°，点D在BA上，以点B为圆心，BD长为半径画弧，交BC于点E，连接DE，则∠BDE的度数是 度.
第15题图
16.[2023·攀枝花]如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则∠EBC＝ .
第16题图
17.[2024·陕西]如图，在△ABC中，AB＝AC，E是边AB上一点，连接CE，在BC右侧作BF∥AC，且BF＝AE，连接CF.若AC＝13，BC＝10，则四边形EBFC的面积为 .
第17题图
18.如图，在△ABC中，BC＝10，AC－AB＝6，AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AD，则△BCD的面积最大值为 .
第18题图
三、解答题(共6小题，共46分)
19.(6分)[2023·枣庄]
图1、
图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A和点B在小正方形的顶点上.
(1)在图1中画出△ABC，使△ABC为直角三角形(点C在小正方形的顶点上，画出一个即可)；
(2)在图2中画出△ABD，使△ABD为等腰三角形(点D在小正方形的顶点上，画出一个即可).
第19题图
20.(6分)[2023·淄博]如图，△ABC是等腰三角形，点D，E分别在腰AC，AB上，且BE＝CD，连接BD，CE.求证：BD＝CE.
第20题图
21.(8分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F.
求证：BE垂直平分CD.
第21题图
22.(8分)如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB.
(1)求∠BDC的度数；
(2)连接AD，作DE⊥AB于点E，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面积.
第22题图
23.(8分)【教材呈现】数学课上，赵老师用无刻度的直尺和圆规按照华师版教材八年级上册87页完成角平分线的做法，如图，在△ABC中：
(1)【问题1】下列操作中，作∠ABC的平分线的正确顺序是 ；(填序号)
①分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作圆弧，在∠ABC内，两弧交于点P
②以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，交AB于点M，交BC于点N
③画射线BP，交AC于点D
(2)【问题2】连接MP，NP，通过证明△BMP≌△BNP，得到∠ABD＝∠CBD，从而得到BD是∠ABC的平分线，其中证明△BMP≌△BNP的依据是 ；(填序号)
①SAS ②ASA ③AAS ④SSS
(3)【问题3】若AB＝16，BC＝14，S△ABC＝75，过点D作DE⊥AB于点E，求DE的长.
第23题图
24.(10分)[2022·鄂尔多斯]在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线.
第24题图
(1)如图1，点E，F分别是线段BD，AD上的点，且DE＝DF，AE与CF的延长线交于点M，则AE与CF的数量关系是 ，位置关系是 ；
(2)如图2，点E，F分别在DB和DA的延长线上，且DE＝DF，EA的延长线交CF于点M.
①(1)中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
②连接DM，求∠EMD的度数；
③若DM＝6 ，ED＝12，求EM的长.第一章 三角形的证明
一、选择题(共12小题，每题3分，共36分)
1.[2023秋·克拉玛依期末]已知等腰三角形的两边长分别为4 cm，8 cm，则该等腰三角形的周长是( D )
A.12 cm B.16 cm
C.16 cm或20 cm D.20 cm
2.以下列各组数为边的三角形中，是直角三角形的有( B )
①3，4，5 ②，， ③32，42，52 ④0.03，0.04，0.05
A.1组 B.2组
C.3组 D.4组
3.[2022·荆门]数学兴趣小组为测量学校A与河对岸的科技馆B之间的距离， 在A的同岸选取点C，测得AC＝30，∠A＝45°，∠C＝90°，如图所示，据此可求得A，B之间的距离为( C )
第3题图
A.20 B.60
C.30 D.30
4.[2023·岳阳]已知AB∥CD，点E在直线AB上，点F，G在直线CD上，EG⊥EF于点E，∠AEF＝40°，则∠EGF的度数是( C )
第4题图
A.40° B.45°
C.50° D.60°
5.如图，在一张由边长为1的小正方形组成的方格稿纸上，有A，B，C，D，E，F，G七个点，则在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是( C )
第5题图
A.点A，点B，点C B.点A，点D，点G
C.点B，点E，点F D.点B，点G，点E
6.[2024·眉山]如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，分别以点A，点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于点E，F，过点E，F作直线交AC于点D，连接BD，则△BCD的周长为( C )
第6题图
A.7 B.8
C.10 D.12
7.[2022·贵阳]如图，已知∠ABC＝60°，点D为BA边上一点，BD＝10，点O为线段BD的中点，以点O为圆心，线段OB长为半径作弧，交BC于点E，连接DE，则BE的长是( A )
第7题图
A.5 B.5
C.5 D.5
8.[2022·营口]如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，由图中的尺规作图得到的射线与AC交于点D，则下列推断错误的是( D )
第8题图
A.BD＝BC B.AD＝BD
C.∠ADB＝108° D.CD＝AD
9.在△ABC内的一点P到三边的距离相等，则点P一定是△ABC( A )
A.三条角平分线的交点 B.三边垂直平分线的交点
C.三条高的交点 D.三条中线的交点
10.如图，在等边△ABC中，点D，E分别是BC，AC上的点，且BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠1＋∠2的度数是( C )
第10题图
A.45° B.55°
C.60° D.75°
11.[2023·安吉县一模]如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，BD，CE交于点F，连接AF，下列结论：①BD＝CE ②BF⊥CF ③AF平分∠CAD ④∠AFE＝45°.其中正确结论的个数有( C )
第11题图
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
12.[西藏中考]如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝6，点P是线段AC上一动点，点M在线段AB上，当AM＝AB时，PB＋PM的最小值为( B )
第12题图
A.3 B.2
C.2 ＋2 D.3 ＋3二、填空题(共6小题，每题3分，共18分)
13.在等腰△ABC中，AB＝AC＝10 cm，BC＝12 cm，则BC边上的高是8cm.
14.如图是某超市自动扶梯的示意图，大厅两层之间的距离h＝6.5 m，自动扶梯的倾角为30°.若自动扶梯运行速度v＝0.5 m/s，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为26s.
第14题图
15.[2023·长沙]如图，已知∠ABC＝50°，点D在BA上，以点B为圆心，BD长为半径画弧，交BC于点E，连接DE，则∠BDE的度数是65度.
第15题图
16.[2023·攀枝花]如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则∠EBC＝10°.
第16题图
17.[2024·陕西]如图，在△ABC中，AB＝AC，E是边AB上一点，连接CE，在BC右侧作BF∥AC，且BF＝AE，连接CF.若AC＝13，BC＝10，则四边形EBFC的面积为60.
第17题图
18.如图，在△ABC中，BC＝10，AC－AB＝6，AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AD，则△BCD的面积最大值为15.
第18题图
三、解答题(共6小题，共46分)
19.(6分)[2023·枣庄]
图1、
图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A和点B在小正方形的顶点上.
(1)在图1中画出△ABC，使△ABC为直角三角形(点C在小正方形的顶点上，画出一个即可)；
(2)在图2中画出△ABD，使△ABD为等腰三角形(点D在小正方形的顶点上，画出一个即可).
第19题图
解：(1)如图1、2、3、4，画一个即可：
第19题图
(2)如图5、6、7、8，画一个即可：
第19题图
20.(6分)[2023·淄博]如图，△ABC是等腰三角形，点D，E分别在腰AC，AB上，且BE＝CD，连接BD，CE.求证：BD＝CE.
第20题图
证明：∵△ABC是等腰三角形，
∴∠EBC＝∠DCB，
在△EBC与△DCB中，
∴△EBC≌△DCB(SAS)，
∴BD＝CE.
21.(8分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F.
求证：BE垂直平分CD.
第21题图
证明：∵ED⊥AB，
∴∠EDB＝∠ECB＝90°.
在Rt△CEB和Rt△DEB中，
∴Rt△CEB≌Rt△DEB(HL)，
∴DE＝CE.
又∵BD＝BC，
∴BE垂直平分CD.
22.(8分)如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB.
(1)求∠BDC的度数；
(2)连接AD，作DE⊥AB于点E，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面积.
第22题图
解：(1)∵BD平分∠ABC，∠ABC＝60°，
∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，
∵CD平分∠ACB，∠ACB＝40°，
∴∠DCB＝∠ACB＝×40°＝20°，
∴∠BDC＝180°－∠DBC－∠DCB
＝180°－30°－20°＝130°；
(2)如图，作DF⊥AC于点F，DH⊥BC于点H，
∵BD平分∠ABC，
第22题图
DE⊥AB，DH⊥BC，
∴DH＝DE＝2.
∵CD平分∠ACB，
DF⊥AC，DH⊥BC，
∴DF＝DH＝2，
∴S△ADC＝DF·AC＝×2×4＝4.
23.(8分)【教材呈现】数学课上，赵老师用无刻度的直尺和圆规按照华师版教材八年级上册87页完成角平分线的做法，如图，在△ABC中：
(1)【问题1】下列操作中，作∠ABC的平分线的正确顺序是________；(填序号)
①分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作圆弧，在∠ABC内，两弧交于点P
②以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，交AB于点M，交BC于点N
③画射线BP，交AC于点D
(2)【问题2】连接MP，NP，通过证明△BMP≌△BNP，得到∠ABD＝∠CBD，从而得到BD是∠ABC的平分线，其中证明△BMP≌△BNP的依据是________；(填序号)
①SAS ②ASA ③AAS ④SSS
(3)【问题3】若AB＝16，BC＝14，S△ABC＝75，过点D作DE⊥AB于点E，求DE的长.
第23题图
解：(1)作∠ABC的平分线的正确顺序是②①③，
故答案为：②①③；
(2)在△MBP和△NBP中，
∴△MBP≌△NBP(SSS)，
∴∠ABD＝∠CBD，
故答案为：④；
第23题图
(3)过点D作DF⊥BC于点F，
∵∠ABD＝∠CBD，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
∴S△ABC＝S△ABD＋S△BCD＝AB·DE＋BC·DF＝DE·(AB＋BC)，
即75＝DE(16＋14)，
∴DE＝5.
24.(10分)[2022·鄂尔多斯]在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线.
第24题图
(1)如图1，点E，F分别是线段BD，AD上的点，且DE＝DF，AE与CF的延长线交于点M，则AE与CF的数量关系是________，位置关系是________；
(2)如图2，点E，F分别在DB和DA的延长线上，且DE＝DF，EA的延长线交CF于点M.
①(1)中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
②连接DM，求∠EMD的度数；
③若DM＝6 ，ED＝12，求EM的长.
解：(1)∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线，
∴AD＝BD＝CD，AD⊥BC，
∴∠ADE＝∠CDF＝90°，
又∵DE＝DF，
∴△ADE≌△CDF(SAS)，∴AE＝CF，∠DAE＝∠DCF，
∵∠DAE＋∠DEA＝90°，
∴∠DCF＋∠DEA＝90°，
∴∠EMC＝90°，
∴AE⊥CF.
故答案为：AE＝CF，AE⊥CF；
(2)①(1)中的结论还成立，
理由：同(1)可证△ADE≌△CDF(SAS)，
∴AE＝CF，∠E＝∠F，
∵∠F＋∠ECF＝90°，
∴∠E＋∠ECF＝90°，
∴∠EMC＝90°，
∴AE⊥CF；
②过点D作DG⊥AE于点G，DH⊥CF于点H，
第24题图
∵∠E＝∠F，∠DGE＝∠DHF＝90°，DE＝DF，
∴△DEG≌△DFH(AAS)，
∴DG＝DH，
又∵DG⊥AE，DH⊥CF，
∴DM平分∠EMC，
又∵∠EMC＝90°，
∴∠EMD＝∠EMC＝45°；
③∵∠EMD＝45°，∠DGM＝90°，
∴∠DMG＝∠GDM，
∴DG＝GM，
又∵DM＝6 ，
∴DG＝GM＝6，
∵DE＝12，
∴EG＝＝＝6 ，
∴EM＝GM＋EG＝6＋6 .
