期末综合测试卷
一、选择题(共12小题，每题4分，共48分)
1.[2023·威海]我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美.下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( A )
2.[2023秋·上海期末]下列变形中，是因式分解且正确的是( B )
A.x2＋y2＝(x＋y)(x－y)
B.a2－4a＋4＝(a－2)2
C.(a－3)(a＋7)＝a2＋4a－21
D.－x2＋6x－9＝(x－3)2
3.[2024·济南模拟]计算＋的结果是( B )
A. B.
C. D.
4.如图，直线y1＝kx＋b经过点A和点B，直线y2＝2x过点A，则不等式2x＜kx＋b的解集为( B )
第4题图
A.x＜－2 B.x＜－1
C.－2＜x＜0 D.－1＜x＜0
5.[2022·上海]有一个正n边形旋转90°后与自身重合，则n为( C )
A.6 B.9
C.12 D.15
6.如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点逆时针旋转角α得到的，点A′与A对应，则角α的大小为( C )
第6题图
A.30° B.60°
C.90° D.120°
7.[2022·安顺]如图，在△ABC中，∠ABC<90°，AB≠BC，BE是AC边上的中线.按下列步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N；②作直线MN，分别交BC，BE于点D，O；③连接CO，DE.则下列结论错误的是( D )
第7题图
A.OB＝OC B.∠BOD＝∠COD
C.DE∥AB D.△BOC≌△BDE
8.如图，在平行四边形ABCD中， AC＝10 cm, BD＝6 cm, ∠ODA＝90°，则AD的长为( D )
第8题图
A.8 cm B.6 cm
C.5 cm D.4 cm
9.[2023·广州]随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速60 km/h，动车提速后行驶480 km与提速前行驶360 km所用的时间相同.设动车提速后的平均速度为x km/h，则下列方程正确的是( B )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
10.[2023·邵阳模拟]若关于x的分式方程＝3的解是负数，则b的取值范围是( B )
A.b≠4 B.b>6且b≠4
C.b≤6且b≠4 D.b<6
11.[2022·黑龙江]如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P.若△ABC的面积是24，PD＝1.5，则PE的长是( A )
第11题图
A.2.5 B.2
C.3.5 D.3
12.如图，在 ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，连接EC，FD，G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，若AB＝6，BC＝8，∠BAD＝120°，则GH的长度是( B )
第12题图
A. B.
C. D.2
二、填空题(共6小题，每题4分，共24分)
13.[2023秋·济南期末]因式分解：ab2－25a＝a(b＋5)(b－5).
14.[2024·辽宁模拟]方程＝4的解为x＝－2.
15.[2022·牡丹江]如图，在平面直角坐标系中，点A(－1，2)，OC＝4，将平行四边形OABC绕点O旋转90°后，点B的对应点B′坐标是(－2，3)或(2，－3).
第15题图
16.[2024春·扬州期末]某关于x的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，根据图示该不等式组的解集为－1≤x<1.
第16题图
17.[2022·辽宁]如图，直线y＝2x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点D为OB的中点， OCDE的顶点C在x轴上，顶点E在直线AB上，则 OCDE的面积为2.
第17题图
18.如图，在 ABCD中，AB＝5，AD＝3，∠A＝60°，点E在边AD上且AE＝2DE，F是射线AB上的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转60°，得到EG，连接BG，DG，则BG－DG的最大值为1.
第18题图
三、解答题(共8小题，共78分)
19.(6分)先化简，再求值：(－)÷，其中x＝.
解：原式＝·
＝·
＝·
＝，
当x＝时，原式＝＝.
20.(6分)解不等式组并写出它的正整数解.
解：
解不等式①，得x＞－，
解不等式②，得x＜，
故不等式组的解集为－21.(10分)[2023春·日照期末]如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E.
(1)求证：AE＝2CE；
(2)连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由.
第21题图
解：(1)证明：连接BE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝30°，
∴∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝30°，
在Rt△BCE中，
BE＝2CE，
∴AE＝2CE；
第21题图
(2)△BCD是等边三角形，
理由：连接CD.
由(1)知∠ABE＝∠CBE＝30°，DE⊥AB，AC⊥BC，
∴DE＝CE，
在Rt△BDE和Rt△BCE中，
∴Rt△BDE≌Rt△BCE(HL)，
∴BD＝BC，
又∵∠ABC＝60°，
∴△BCD是等边三角形.
22.(12分)如图，已知坐标平面内的三个点A(3，5)，B(3，1)，O(0，0)，把△ABO向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得到△DEF.
(1)直接写出A，B，O三个对应点D，E，F的坐标；
(2)画出将△AOB绕O点逆时针方向旋转90°后得到的△A′OB′；
(3)求△DEF的面积.
第22题图
解：(1)点D，E，F的坐标分别为，(5，－2)，(2，－3)；
(2)如图，△A′OB′即为所求作；
第22题图
(3)△DEF的面积＝×4×3＝6.
23.(10分)[2023春 ·贵阳期末]某公司电商平台，在线销售甲、乙、丙三种跳绳，已知1根乙跳绳的售价比1根甲跳绳的售价多5元，1根丙跳绳的售价是1根甲跳绳售价的3倍，用360元购买丙跳绳的数量是用60元购买乙跳绳数量的3倍.
(1)求甲、乙、丙三种跳绳每根的售价分别是多少元？
(2)电商推出如下销售方案：甲、乙、丙三种跳绳搭配销售共80根，其中乙跳绳的数量是丙跳绳数量的2倍，且甲、丙两种跳绳数量之和不超过乙跳绳数量的3倍.请你帮忙计算，某校体育老师按此方案购买80根跳绳最少要花费多少元？
解：(1)设1根甲跳绳的售价为x元，则1根乙跳绳的售价为(x＋5)元，1根丙跳绳的售价为3x元，
根据题意，得＝×3，
解得x＝10，
经检验，x＝10是方程的解，且符合题意，
∴x＋5＝15，3x＝30.
答：甲、乙、丙三种跳绳每根的售价分别是10元、15元、30元；
(2)设80根的甲、乙、丙三种跳绳搭配中丙跳绳有m根，则乙跳绳有2m根，甲跳绳有(80－3m)根，
∴80－3m＋m≤2m·3，
∴m≥10，
设按此方案购买80根跳绳所需费用为y元，根据题意，得
y＝10(80－3m)＋30m＋30m＝30m＋800，
∵30＞0，
∴y随m的增大而增大，
∴m＝10时，y取最小值，且y最小＝1 100，
答：按此方案购买80根跳绳最少要花费1 100元.
24.(10分)[2024·湖南]如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E在边AB上，________.请从“①∠B＝∠AED；②AE＝BE，AE＝CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上(填序号)，再解决下列问题：
(1)求证：四边形BCDE为平行四边形；
(2)若AD⊥AB，AD＝8，BC＝10，求线段AE的长.
第24题图
解：(1)选择①，
证明：∵∠B＝∠AED，
∴DE∥CB，
∵AB∥CD，
∴四边形BCDE为平行四边形；
选择②，
证明：∵AE＝BE，AE＝CD，
∴CD＝BE，
∵AB∥CD，
∴四边形BCDE为平行四边形；
(2)由(1)，得DE＝BC＝10，
∵AD⊥AB，AD＝8，
∴AE＝＝6.
25.(12分)[2024春·福州期末]材料：把多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法.
例如：am＋an＋bm＋bn＝(am＋an)＋(bm＋bn)＝a(m＋n)＋b(m＋n)＝(a＋b)(m＋n).
(1)分解因式：ab＋a＋b＋1；
(2)若a，b(a>b)都是正整数且满足ab－a－b－4＝0，求a＋b的值；
(3)若a，b为实数且满足ab－a－b－5＝0，S＝2a2＋3ab＋b2＋5a－b，求S的最小值.
解：(1)ab＋a＋b＋1
＝(ab＋a)＋(b＋1)
＝a(b＋1)＋(b＋1)
＝(a＋1)(b＋1)；
(2)由ab－a－b－4＝0，得
ab－a－b＋1＝5，
a(b－1)－(b－1)＝5，
(a－1)(b－1)＝5，
∵a>b，
∴a－1>b－1，
∵a，b都是正整数，
又∵5＝5×1，
∴a－1＝5，b－1＝1，
解得a＝6，b＝2，
∴a＋b＝8；
(3)由ab－a－b－5＝0，得
ab＝a＋b＋5，
∴S＝2a2＋3ab＋b2＋5a－b
＝2a2＋3(a＋b＋5)＋b2＋5a－b
＝2a2＋3a＋3b＋15＋b2＋5a－b
＝2a2＋b2＋8a＋2b＋15
＝2a2＋8a＋8＋b2＋2b＋1＋6
＝2(a＋2)2＋(b＋1)2＋6，
∵2(a＋2)2≥0，(b＋1)2≥0，
∴S≥6，
当a＝－2，b＝－1时，S＝6，
∴S的最小值为6.
26.(12分)[2024·福州期中]如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点(不与点A重合).DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连接AE.
第26题图
(1)如图1，当点D与M重合时，求证：四边形是平行四边形.
(2)如图2，当点D不与M重合时，(1)中的结论还成立吗？请说明理由.
(3)如图3，延长BD交AC于点H，若BH⊥AC，且BH＝AM，求∠CAM的度数.
解：(1)证明：∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠ABM，
∵CE∥AM，
∴∠ECD＝∠ADB，
∵AM是△ABC的中线，且D与M重合，
∴BD＝DC，
∴△ABD≌△EDC(ASA)，
∴AB＝ED，
∵AB∥ED，
∴四边形ABDE是平行四边形；
(2)结论成立，理由如下：
如图2，过点M作MG∥DE交CE于G，
第26题图
∵CE∥AM，
∴四边形DMGE是平行四边形，
∴ED＝GM，
∵ED∥GM，AB∥ED，
∴AB∥MG，
由(1)同理可证：△ABM≌△GMC，
∴AB＝GM，
∴AB＝DE，
又∵AB∥ED，
∴四边形ABDE是平行四边形；
(3)如图3，取线段CH的中点I，连接MI，
第26题图
∵BM＝MC，
∴MI是△BHC的中位线，
∴MI∥BH，MI＝BH，
∵BH⊥AC，且BH＝AM，
∴MI＝AM，MI⊥AC，
延长MI至点N，使NI＝MI，连接AN，
第26题图
∵∠AIM＝∠AIN＝90°，AI＝AI，
∴△AMI≌△ANI(SAS)，
∴AM＝AN，∠MAI＝∠NAI，
又∵MI＝AM，MN＝2MI，
∴AM＝AN＝MN，
∴△AMN是等边三角形，
∴∠MAN＝60°，
∴∠MAI＝∠NAI＝∠MAN＝30°，
即∠CAM＝30°.期末综合测试卷
一、选择题(共12小题，每题4分，共48分)
1.[2023·威海]我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美.下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
2.[2023秋·上海期末]下列变形中，是因式分解且正确的是( )
A.x2＋y2＝(x＋y)(x－y)
B.a2－4a＋4＝(a－2)2
C.(a－3)(a＋7)＝a2＋4a－21
D.－x2＋6x－9＝(x－3)2
3.[2024·济南模拟]计算＋的结果是( )
A. B.
C. D.
4.如图，直线y1＝kx＋b经过点A和点B，直线y2＝2x过点A，则不等式2x＜kx＋b的解集为( )
第4题图
A.x＜－2 B.x＜－1
C.－2＜x＜0 D.－1＜x＜0
5.[2022·上海]有一个正n边形旋转90°后与自身重合，则n为( )
A.6 B.9
C.12 D.15
6.如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点逆时针旋转角α得到的，点A′与A对应，则角α的大小为( )
第6题图
A.30° B.60°
C.90° D.120°
7.[2022·安顺]如图，在△ABC中，∠ABC<90°，AB≠BC，BE是AC边上的中线.按下列步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N；②作直线MN，分别交BC，BE于点D，O；③连接CO，DE.则下列结论错误的是( )
第7题图
A.OB＝OC B.∠BOD＝∠COD
C.DE∥AB D.△BOC≌△BDE
8.如图，在平行四边形ABCD中， AC＝10 cm, BD＝6 cm, ∠ODA＝90°，则AD的长为( )
第8题图
A.8 cm B.6 cm
C.5 cm D.4 cm
9.[2023·广州]随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速60 km/h，动车提速后行驶480 km与提速前行驶360 km所用的时间相同.设动车提速后的平均速度为x km/h，则下列方程正确的是( )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
10.[2023·邵阳模拟]若关于x的分式方程＝3的解是负数，则b的取值范围是( )
A.b≠4 B.b>6且b≠4
C.b≤6且b≠4 D.b<6
11.[2022·黑龙江]如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P.若△ABC的面积是24，PD＝1.5，则PE的长是( )
第11题图
A.2.5 B.2
C.3.5 D.3
12.如图，在 ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，连接EC，FD，G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，若AB＝6，BC＝8，∠BAD＝120°，则GH的长度是( )
第12题图
A. B.
C. D.2
二、填空题(共6小题，每题4分，共24分)
13.[2023秋·济南期末]因式分解：ab2－25a＝ .
14.[2024·辽宁模拟]方程＝4的解为 .
15.[2022·牡丹江]如图，在平面直角坐标系中，点A(－1，2)，OC＝4，将平行四边形OABC绕点O旋转90°后，点B的对应点B′坐标是 .
第15题图
16.[2024春·扬州期末]某关于x的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，根据图示该不等式组的解集为 .
第16题图
17.[2022·辽宁]如图，直线y＝2x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点D为OB的中点， OCDE的顶点C在x轴上，顶点E在直线AB上，则 OCDE的面积为 .
第17题图
18.如图，在 ABCD中，AB＝5，AD＝3，∠A＝60°，点E在边AD上且AE＝2DE，F是射线AB上的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转60°，得到EG，连接BG，DG，则BG－DG的最大值为 .
第18题图
三、解答题(共8小题，共78分)
19.(6分)先化简，再求值：(－)÷，其中x＝.
20.(6分)解不等式组并写出它的正整数解.
21.(10分)[2023春·日照期末]如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E.
(1)求证：AE＝2CE；
(2)连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由.
第21题图
22.(12分)如图，已知坐标平面内的三个点A(3，5)，B(3，1)，O(0，0)，把△ABO向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得到△DEF.
(1)直接写出A，B，O三个对应点D，E，F的坐标；
(2)画出将△AOB绕O点逆时针方向旋转90°后得到的△A′OB′；
(3)求△DEF的面积.
第22题图
23.(10分)[2023春 ·贵阳期末]某公司电商平台，在线销售甲、乙、丙三种跳绳，已知1根乙跳绳的售价比1根甲跳绳的售价多5元，1根丙跳绳的售价是1根甲跳绳售价的3倍，用360元购买丙跳绳的数量是用60元购买乙跳绳数量的3倍.
(1)求甲、乙、丙三种跳绳每根的售价分别是多少元？
(2)电商推出如下销售方案：甲、乙、丙三种跳绳搭配销售共80根，其中乙跳绳的数量是丙跳绳数量的2倍，且甲、丙两种跳绳数量之和不超过乙跳绳数量的3倍.请你帮忙计算，某校体育老师按此方案购买80根跳绳最少要花费多少元？
24.(10分)[2024·湖南]如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E在边AB上， .请从“①∠B＝∠AED；②AE＝BE，AE＝CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上(填序号)，再解决下列问题：
(1)求证：四边形BCDE为平行四边形；
(2)若AD⊥AB，AD＝8，BC＝10，求线段AE的长.
第24题图
25.(12分)[2024春·福州期末]材料：把多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法.
例如：am＋an＋bm＋bn＝(am＋an)＋(bm＋bn)＝a(m＋n)＋b(m＋n)＝(a＋b)(m＋n).
(1)分解因式：ab＋a＋b＋1；
(2)若a，b(a>b)都是正整数且满足ab－a－b－4＝0，求a＋b的值；
(3)若a，b为实数且满足ab－a－b－5＝0，S＝2a2＋3ab＋b2＋5a－b，求S的最小值.
26.(12分)[2024·福州期中]如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点(不与点A重合).DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连接AE.
第26题图
(1)如图1，当点D与M重合时，求证：四边形是平行四边形.
(2)如图2，当点D不与M重合时，(1)中的结论还成立吗？请说明理由.
(3)如图3，延长BD交AC于点H，若BH⊥AC，且BH＝AM，求∠CAM的度数.
