类型一 平行四边形性质与判定的有关计算
1.[2023秋·眉山期末]如图，在 ABCD中，点E为CD边上一点，且BE＝BC，∠C＝55°，∠EBD＝25°，∠AEB的度数为( B )
第1题图
A.90° B.95°
C.100° D.105°
2.如图，在 ABCD中，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E，F.AB＝6，CF＝2，则CE＝5.
第2题图
3.[2023秋·东港期末]如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE，若OE＝1，则 ABCD的面积为4.
第3题图
4.如图，在 ABCD中，点E是BC边的中点，连接AE并延长，与DC的延长线交于点F.
(1)求证：CF＝CD；
(2)若AD＝13，AF＝10，AD＝2AB，连接DE，求DE的长.
第4题图
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵点F为DC的延长线上的一点，
∴AB∥DF，
∴∠BAE＝∠CFE，∠EBA＝∠ECF.
∵E为BC中点，
∴BE＝CE.
在△BAE和△CFE中，
∴△BAE≌△CFE(AAS)，
∴AB＝CF，
∴CF＝CD；
(2)∵CF＝CD，△BAE≌△CFE，
∴AE＝EF，DF＝2CD.
∵AB＝CD，∴DF＝2AB.
∵AD＝2AB，∴AD＝DF.
∵AE＝EF，∴DE⊥AF.
∵AD＝13，AF＝10，∴AE＝EF＝5.
∴DE＝＝＝12.
类型二 平行四边形性质与判定的综合运用
5.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，以线段AB为边向外作等边三角形ABD，点E是线段AD的中点，连接CE.
(1)求证：四边形BDEC为平行四边形；
(2)若AB＝6，求四边形BDEC的面积.
第5题图
解：(1)证明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，
∴∠ABC＝60°，BC＝AB，
∵△ABD是等边三角形，
∴∠DAB＝60°，AD＝AB，
∴∠DAC＝90°，
∴∠DAC＋∠ACB＝180°，
∴AD∥BC，
∵点E是线段AD的中点，
∴DE＝AD，
∴BC＝DE，
∵BC∥DE，
∴四边形BDEC为平行四边形；
(2)在Rt△ABC中，
∵∠BAC＝30°，AB＝6，
∴BC＝AB＝3，AC＝3 ，
∴S平行四边形BDEC＝3×3 ＝9 .
6.[2024春·娄底期末]如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC边上的点，且∠ABE＝∠CDF.
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；
(2)连接CE，若CE平分∠DCB，DF⊥BC，DF＝4，DE＝5，求平行四边形ABCD的周长.
第6题图
解：(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∠A＝∠DCF，AB＝CD，
∵∠ABE＝∠CDF，
∴△ABE≌△CDF(ASA)，
∴AE＝CF，
∴AD－AE＝BC－CF，即DE＝BF，
∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
(2)∵四边形BEDF是平行四边形，
∴BF＝DE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DEC＝∠ECB，
∵CE平分∠DCB，
∴∠DCE＝∠ECB，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴DE＝CD＝5，
∴BF＝DE＝5，
∵DF⊥BC，
∴CF＝＝＝3，
∴BC＝BF＋FC＝5＋3＝8，
∴平行四边形ABCD的周长＝2(BC＋CD)＝2×(8＋5)＝26.
7.在 ABCD中，点E为AB边的中点，连接CE，将△BCE沿着CE翻折，点B落在点G处，连接AG并延长，交CD于F.
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若CF＝5，△GCE的周长为20，求四边形ABCF的周长.
第7题图
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥FC.
∵点E是AB边的中点，∴AE＝BE.
∵将△BCE沿着CE翻折，点B落在点G处，
∴BE＝GE，∠CEB＝∠CEG.
∴AE＝GE，
∴∠FAE＝∠AGE.
∵∠CEB＝∠CEG＝ ∠BEG，
∠BEG＝∠FAE＋∠AGE，
∴∠FAE＝ ∠BEG，
∴∠FAE＝∠CEB，
∴AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形；
(2)由折叠的性质，得GE＝BE，GC＝BC，
∵△GCE的周长为20，
∴GE＋CE＋GC＝20，
∴BE＋CE＋BC＝20.
∵四边形AECF是平行四边形，
∴AF＝CE，AE＝CF＝5.
∴四边形ABCF的周长＝AB＋BC＋CF＋AF＝AE＋BE＋BC＋CE＋CF＝5＋20＋5＝30.
8.[2024春·毕节期末]在 ABCD中，连接对角线AC，AF，CG分别是∠CAD，∠ACD的平分线，AF，CG交于点O，E为BC上一点，且∠BAE＝∠DCG.
第8题图
(1)如图1，若△ACD是等边三角形，OC＝2，求△ACD的面积；
(2)如图2，若△ACD是等腰直角三角形，且∠CAD＝90°，求证：AC＝CE＋2OF.
解：(1)∵△ACD是等边三角形，
∴AC＝CD＝AD，∠ACD＝∠D＝∠CAD＝60°，
又∵AF，CG分别是∠CAD，∠ACD的平分线，
∴∠OAC＝∠OAG＝∠CAD＝30°，∠OCA＝∠ACD＝30°，CG⊥AD，
AG＝DG，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴OA＝OC＝2，
在Rt△AOG中，∠OAG＝30°，OA＝2，
∴OG＝OA＝×2＝1，
∴CG＝CO＋OG＝2＋1＝3，AG＝＝＝，
∴AD＝2AG＝2×＝2 ，
∴S△ACD＝AD·CG＝×2 ×3＝3 ，
∴△ACD的面积为3 ；
(2)证明：如图，延长OF到点M，使FM＝OF，连接CM，
第8题图
∵△ACD是等腰直角三角形，且∠CAD＝90°，AF，CG分别是∠CAD，∠ACD的平分线，
∴AF⊥CF，∠OAC＝∠D＝∠ACD＝45°，
∴∠ACG＝∠DCG＝∠ACD＝×45°＝22.5°，
∴∠AOG＝∠OAC＋∠ACG＝45°＋22.5°＝67.5°＝∠COF，∠AGC＝∠D＋∠DCG＝45°＋22.5°＝67.5°，
∴∠AOG＝∠AGO，
∴AO＝AG，
∵CF⊥OM，OF＝FM，
∴OC＝CM，
∴∠M＝∠COM＝67.5°，
∴∠ACM＝180°－∠CAM－∠M＝180°－45°－67.5°＝67.5°，
∴∠ACM＝∠M，
∴AC＝AM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，BC∥AD，
∴∠BAC＝∠ACD＝45°，
∴∠BAE＝∠DCG＝22.5°，
∴∠EAC＝45°－22.5°＝22.5°＝∠ACG，
∵AE∥CG，
∴四边形AECG是平行四边形，
∴CE＝AG＝OA，
∴AC＝AM＝OA＋OM＝CE＋2OF.
类型三 平行四边形与动点问题
第9题图
9.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8 cm，AD＝12 cm，点P在AD边上以每秒1 cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4 cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止(同时点Q也停止)，在运动以后，以P，D，Q，B四点组成平行四边形的次数有( C )
A.1次 B.2次
C.3次 D.4次
10.如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6 cm，BC＝8 cm，若动点P从A点出发，以每秒0.5 cm的速度沿线段AD向点D运动；点Q从C点出发以每秒2 cm的速度沿CB方向运动，当P点到达D点时，动点P，Q同时停止运动，回答下列问题：
第10题图
(1)设点P，Q同时出发，并运动了x秒，求当x为多少秒时，四边形PQCD为平行四边形；
(2)如图2，若四边形ABCD为平行四边形，AD＝BC＝6 cm，动点P从A点出发，以每秒0.5 cm的速度沿线段AD向点D运动；动点Q从C点出发以每秒2 cm的速度在BC间往返运动，当P点到达D点时，动点P，Q同时停止运动，设P，Q两点同时出发，并运动了t秒，在运动以后，求当t为多少秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形.请直接写出答案.
解：(1)当四边形PQCD为平行四边形时，
则PD＝CQ，∴6－0.5x＝2x，
解得x＝，
∴x＝时，四边形PQCD为平行四边形；
(2)由题意知，AP＝0.5t cm，
∴PD＝(6－0.5t) cm，
当以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形时，PD＝BQ，
当0解得t＝0舍去；
当3∴2t－6＝6－0.5t，
解得t＝4.8；
当6∴18－2t＝6－0.5t，
解得t＝8；
当9∴2t－18＝6－0.5t，
解得t＝9.6，
综上所述，t＝4.8或8或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形.类型一 平行四边形性质与判定的有关计算
1.[2023秋·眉山期末]如图，在 ABCD中，点E为CD边上一点，且BE＝BC，∠C＝55°，∠EBD＝25°，∠AEB的度数为( )
第1题图
A.90° B.95°
C.100° D.105°
2.如图，在 ABCD中，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E，F.AB＝6，CF＝2，则CE＝ .
第2题图
3.[2023秋·东港期末]如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE，若OE＝1，则 ABCD的面积为 .
第3题图
4.如图，在 ABCD中，点E是BC边的中点，连接AE并延长，与DC的延长线交于点F.
(1)求证：CF＝CD；
(2)若AD＝13，AF＝10，AD＝2AB，连接DE，求DE的长.
第4题图
类型二 平行四边形性质与判定的综合运用
5.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，以线段AB为边向外作等边三角形ABD，点E是线段AD的中点，连接CE.
(1)求证：四边形BDEC为平行四边形；
(2)若AB＝6，求四边形BDEC的面积.
第5题图
6.[2024春·娄底期末]如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC边上的点，且∠ABE＝∠CDF.
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；
(2)连接CE，若CE平分∠DCB，DF⊥BC，DF＝4，DE＝5，求平行四边形ABCD的周长.
第6题图
7.在 ABCD中，点E为AB边的中点，连接CE，将△BCE沿着CE翻折，点B落在点G处，连接AG并延长，交CD于F.
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若CF＝5，△GCE的周长为20，求四边形ABCF的周长.
第7题图
8.[2024春·毕节期末]在 ABCD中，连接对角线AC，AF，CG分别是∠CAD，∠ACD的平分线，AF，CG交于点O，E为BC上一点，且∠BAE＝∠DCG.
第8题图
(1)如图1，若△ACD是等边三角形，OC＝2，求△ACD的面积；
(2)如图2，若△ACD是等腰直角三角形，且∠CAD＝90°，求证：AC＝CE＋2OF.
类型三 平行四边形与动点问题
第9题图
9.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8 cm，AD＝12 cm，点P在AD边上以每秒1 cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4 cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止(同时点Q也停止)，在运动以后，以P，D，Q，B四点组成平行四边形的次数有( )
A.1次 B.2次
C.3次 D.4次
10.如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6 cm，BC＝8 cm，若动点P从A点出发，以每秒0.5 cm的速度沿线段AD向点D运动；点Q从C点出发以每秒2 cm的速度沿CB方向运动，当P点到达D点时，动点P，Q同时停止运动，回答下列问题：
第10题图
(1)设点P，Q同时出发，并运动了x秒，求当x为多少秒时，四边形PQCD为平行四边形；
(2)如图2，若四边形ABCD为平行四边形，AD＝BC＝6 cm，动点P从A点出发，以每秒0.5 cm的速度沿线段AD向点D运动；动点Q从C点出发以每秒2 cm的速度在BC间往返运动，当P点到达D点时，动点P，Q同时停止运动，设P，Q两点同时出发，并运动了t秒，在运动以后，求当t为多少秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形.请直接写出答案.
