数学：第三章估算与近似数知识回顾（冀教版七年级上）

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第三章《估算与近似数》知识回顾
本章的主要内容是了解生活中的大数，从估算和近似两方面培养数感，包括用熟悉的事物描述较大的数，用科学记数法表示较大的数，用科学计算器进行复杂的计算等。下面我们就对这一章的知识加以回顾，供同学们参考。
一、复习目标
1．掌握估算的方法，体会估算在生活中的作用。
2．了解近似数和有效数字的概念，能按要求取近似数，体会它在现实生活中的作用。
3．体会科学记数法的意义，能用科学记数法表示大数，并能说出精确到的数位以及有效数字的个数。
4．能用科学计算器进行数的加、减、乘、除及乘方运算，能借助计算器探究一些数字或算式的规律。
5．重视大数的实际意义，能对较大数字的信息作出合理的解释和推断，发展数感。
二、重难点提示
本章的重点是感受大数的含义，并能用科学记数法表示，以及掌握估算的方法和有效数字的概念。难点是近似数与有效数字的理解与应用。
三、知识归纳
1．对于大数，要多与现实生活中的具体问题相联系，从多角度、多种方式去感受大数、估计大数和表示大数，如可以从报刊杂志、电视广播、计算机网络等方面去选取素材。
2．估算主要有两种形式：一是对一些无法精确测量的量进行估算，二是对一些不必要很精确的量进行估算。估算结果的准确程度，一般决定于估算方案的合理性。不同的估算方法可能有不同的结果，因此估算时一要把各种因素考虑周全，二要使方案误差小且操作方便，更符合要求。
3．对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。要分清一个近似数的有效数字，很关键的一点是要弄清在这个近似数中，0在何时是有效数字，在何时不是有效数字，记住末尾作为补位的0仍是有效数字。在取近似值时，末尾的数字“0”不能随意去掉。如果随意去掉末尾的数字“0”，将使近似数在精确度、有效数字以及真值的取值范围上都发生变化。例如，对于近似数1.80和1.8而言，它们的意义是完全不同的：在精确度方面，末尾的数字“0”精确到百分位，而近似数1.8则精确到十分位；在有效数字方面，近似数1.80有三个有效数字1、8、0，而近似数1.8则有两个有效数字1和8；在真值的取值范围方面，近似数1.80的真值大于或等于1.795且小于1.805，而近似数1.8的真值大于或等于1.75且小于1.85。
4．精确度是指近似数的精确程度。一般的，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数精确到哪一位。近似数的精确度主要有两种形式：一是精确到哪一位，二是保留几个有效数字。
5．近似数中的“有效数字”和“精确度”是两个不同的概念。有效数字多的近似数的精确度不一定高；反之精确度高的近似数的有效数字也不一定多。比如，近似数892506有六个有效数字，但仅精确到个位，而近似数0.00001虽然精确到十万分位，但只有一个有效数字。当然，若对同一个准确数按不同的要求取近似值时，有效数字越多其精确度越高，反之亦然。
6．一般的，我们经常用四舍五入法取近似数，但在一些实际问题中，有时也采用去尾法或进一法取近似值。“进一法”是指精确度的下一位不管是几，舍去后都要进“1”的方法；“去尾法”与之相反，它对精确度的下一位不管是几，一律舍去。例如，某建筑工程中需将长为9米的螺纹钢截成2.5米长的螺纹钢，因为9÷2.5＝3.6，所以一根9米长的螺纹钢最多可截得3根2.5米长的螺纹钢，这里用的取近似值的方法就是“去尾法”；又如，要将21升酒精装在容积为5升的水桶中，因为21÷5＝4.2，所以至少需要这样的水桶5个，这里用的取近似值的方法就是“进一法”。
7．为了计数方便和表示形式规范，我们作如下规定：把一个较大的数写成（是一个只有一位整数的数，为正整数）的形式，这种计数方法即为科学计数法。在用科学计数法表示的数中，10的指数比原来的整数位少1。对于用科学记数法表示的近似数，乘号前的有效数字即为这个近似数的有效数字。要求这个近似数精确到哪一位，应先将科学记数法表示的数还原成原来的数，再看乘号前的末一位处于还原后数的哪一位上，即精确到哪一位。如近似数有两个有效数字3和5，而将还原成3500后可发现5处在百位上，所以近似数精确到百位。对于采用单位表示的近似数，确定其有效数字与精确度的方法与确定用科学记数法表示的近似数的有效数字与精确度的方法相类似，其有效数字只看单位前的数值即可，单位前的数值最后一位的实际数位就是它精确到的数位。如近似数1.26万有三个有效数字1、2、6，“万”前的最后一位“6”的实际数位是百位，所以它精确到百位。
四、思想方法总结
1．为了贴切的感受大数，真正理解其意义，我们通常选用以下几种方法：（1）换算单位；（2）与熟悉的事物比较；（3）变换感受角度。此外需要指出的是，在感受大数的过程中，同学们一定要以积极的态度参与估测活动，并在活动过程中积极与他人合作，充分交流思想，共同设计出合理的感知方案。
2．对于一些大数的相关计算，可以借助计算器来完成。
3．养成用数据说话的习惯，能借助数据描述难以触及的事物，
五、典型例题析解
例1．小亮的爸爸从市场花30元买回3箱苹果，箱子上写着：数量24个，净重4千克，包装尺寸40×30×20(cm3)，在这段话涉及的数据中，哪些是精确数，哪些是近似数
析解：在判断是精确数还是近似数时，一般要根据生活经验来判断。测量所得的数据都是近似数，如长度、质量等；能准确得到的数是精确数，如个数、箱数、所付钱数等.所以30、3、24是精确数，4、40、30、20是近似数.
例2．下面由四舍五人得到的近似数各精确到哪一位 各有哪几个有效数字
(1)51.4；(2)7.40；(3)300000；(4)30.2万.
析解：这个数的最末一位数处在哪一位，就说它精确到哪一位。(1)51.4精确到十分位(或精确到O.1)，有三个有效数字是5、1、4；(2)7.40精确到百分位(或精确到0.01)，有三个有效数字是7、4、0；(3)300000精确到个位，有效数字是：3，0，O，O，0，0；(4)30.2万精确到千位，有效数字是：3，O，2.
例3．用四舍五入法按要求取下列各数的近似数
(1)350100(精确到千位)；(2)350100(保留三位有效数字)； (3)350100(保留一位有效数字)
析解：对于较大的数按要求取近似数时，一般用科学记数法的形式.如350100精确到千位，先确定千位的位置，再对百位进行四舍五人为350000，最后写成3.50×105的形式作为结果，注意3.50中的0不能去掉。本题正确结果为：
(1)350l00≈3.50×105 (2)350100≈3.50×105； (3)350100≈4×l05.
例4．判断下列说法是否正确 并说明原因。
(1)近似数10.0与近似数10的精确度相同；
(2)近似数4千万和近似数4 000万精确度一样；
(3)2.718精确到十分位后(即精确到0.1)，有两个有效数字；
(4)近似数25.0和近似数25的有效数字相同，为2、5.
析解：本题考察的是对精确到的数位及有效数字等知识的认识。根据精确度及有效数字的意义可知：（1）不正确，因为10.0是精确到十分位，而10是精确到个位。（2）不正确，因为4千万精确到千万位，而4000万精确到万位。（3）正确，因为精确到十分位后2.718≈2.7, 有两个有效数字2、7。（4）不正确，因为25.0有三个有效数字，是2、5、0，而25只有两个有效数字2、5。
例5．利用计算器计算下列各式：
6×7=________，66×67=________，666×667=________，6666×6667=________.
根据上述结果，你发现规律了吗 不用计算器直接写出66666×66667=________.
析解：∵6×7=42，66×67=4422，666×667=444222，6666×6667=44442222，结果中只含有4和2两种数，并且4和2的个数与算式中被乘数中6的个数相同，所以猜想66666×66667=4444422222.规律为。
例6. 如何设计一个合理的方案,估算我们住宅楼的高度
析解: 方案1.测量楼梯一级台阶的高度,然后数一数两层楼间的台阶数,最后了解住宅楼的层数,利用公式：一级台阶高度×两层楼间台阶数×住宅楼层数,即可以估算出住宅楼的高度了。
方案2.用绳子从某层楼的窗口下垂到下一层楼的窗口的同一位置,然后测出这段绳子的长度,再根据住宅楼的层数, 就可以估算出住宅楼的高度。
方案3.因为太阳光线是平行光线，同一时刻不同物体的高度与影长是成比例的，所以可以在某一时刻测量一根直立在地面上的竹杆高度、影长及住宅楼的影长，利用公式：杆高：杆的影长＝楼高：楼的影长，通过计算即可得结论。
例7．某银行2004年新增加居民存款10亿元人民币。
（1）经测量，100张面值为100元的新版人民币大约厚0.9厘米，如果将10亿元面值为100元的人民币摞起来，大约有多高？
（2）一位出纳员数钱的速度是张/时，按每天数6小时计算，如果让这位出纳员数一遍10亿元面值为100元的人民币，她大约要数多少天？
析解：（1）10亿元面值为100元的人民币的总张数为：（张），总高度为：（厘米）=900（米），即相当于10栋30层摩天大楼的高度之和。
（2）10亿元面值为100元的人民币共有张，这位出纳员需用时：
（小时）（天）（天）。
说明：10亿元面值为100元的人民币摞起来的高度是厘米，为了更好的感知厘米，于是将单位厘米换算成单位米，即900米，这样相对于厘米就比较好感知了，然而900米有多高，好像还不十分形象具体，于是我们又借助摩天大楼的高度对比着去感受；
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