数学：第四章线段角复习教案（冀教版七年级上）

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第四章《线段 角》复习指导
本章主要研究最基本的几何图形线段和角的有关知识，是学习平面几何的基础，内容包括点和线，线段的长短比较，角和角的度量、角的大小比较、及角的特殊关系等。下面我们就对这一章的主要内容加以回顾，供同学们参考。
一、复习目标
1．在现实情景中，认识并会表示点、线段、射线、直线、角等简单的平面图形，了解有关图形的性质，发展空间观念。
2．掌握有关直线、线段公理，了解直线、射线、线段的区别及线段中点、两点间距离的定义。
3．会比较线段的长短和角的大小。
4．认识解角的度量单位，会进行角的换算，理解互余、互补的定义与性质。
5．会计算线段和角的和与差，会使用直尺和圆规作线段和角。
6．了解简单的几何事实，并会简单说理，发展思维能力。
二、重难点提示
本章的重点是线段、角的比较与和差计算，难点是对两点间距离的定义以及互余、互补的定义与性质的理解。
三、知识归纳
1．点是最基本的几何图形，点没有大小之分，常用它表示物体的位置。
2．直线、射线、线段的区别
名称 直线 射线 线段
图形
表示方法及读法 1.用一个小写字母表示，如直线l。2.用表示直线上的任意两点的大写字母表示，如直线AB或直线BA 用表示端点的大写字母和射线上的任意一点的大写字母表示，表示端点的字母写在前面，如射线OA 1.用小写字母表示，如线段a。2.用表示两端点的大写字母表示，如线段AB或线段BA
端点个数 0 1 2
延伸性 向两个方向无限延伸 向一个方向无限延伸 不能延伸
延长性 不存在延长问题 只能向一方延长（反向延长） 能向两方延长
作法 过A、B两点作直线AB 以O为端点作射线 连结AB
基本结论 经过两点有一条直线，并且只有一条直线 无 两点之间的连线中，线段最短
度量、比较大小 不能度量，不能比较大小（长短） 不能度量，不能比较大小（长短） 能度量，能比较大小（长短）
3．两点之间，线段最短。两点之间线段的长度叫做这两点的距离。
4．角有三种表示方法：（1）可用大写英文字母表示；（2）可用阿拉伯数字表示；（3）用小写希腊字母表示。当两个或两个以上的角有同一个顶点时，不能只用表示顶点的一个字母表示其中的一个角，否则会产生混乱。
5．角的度量单位是度、分、秒，在角的换算中，切记度、分、秒的换算是60进率。
6．估测、度量和叠合，都是比较线段长短和角的大小的重要方法，应根据实际情况和需要来选用。
7．角可以进行运算，角的运算包括两种情况：一种是对两个（或几个）角的度数进行加、减运算；另一种是从位置上将某一个角表示为另外两个角的和或差。
8．如果两个角的和等于90°，我们就称这两个角互为余角；如果两个角的和等于180°，我们就称这两个角互为补角。同角(或等角)的余角相等，同角(或等角)的补角相等。互为余角和互为补角反映的是两个角的特殊数量关系，不是位置关系。
四、思想方法总结
1．比较思维的方法
所谓比较，就是“在人脑中把各种事物或现象加以对比，来确定他们之间异同点和关系的思维过程”。恰当的运用比较，可以深刻理解抽象的几何概念，弄清它们的联系与区别。例如在学习直线、线段、射线这三个概念时，通过列出表格形式，我们可轻而易举的弄懂三者之间的联系与区别，掌握了概念本质，通过渗透比较思想，可培养观察事物和辨别事物的能力。
2．分类讨论思想方法
分类是解答数学问题常用的思想方法，分类必须按同一标准进行，而且要做到不重复，不遗漏。如本章中，线段、角的比较，结果分为相等、大于和小于三种情况。还有在解题过程中也常用分类思想讨论。如“已知线段，在线段上画线段，使它等于，求的长”，要分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况讨论等。
3．归纳思想
由简单事物的性质，总结规律，推出复杂事物的性质，这种思维方法称为归纳法。在解决数线段和角的个数问题时，常常用到这种思想方法。
4．方程思想
方程思想是解决数学问题的一种重要思想方法，解决一个问题，往往是由未知向已知转化，由陌生向熟悉转化，由复杂向简单转化。如在求线段的长度或角的度数以及涉及余角、补角问题时，常常运用代数方法求解，就用到了方程思想。
五、复习要点提示
1．学习中注意密切联系生活中的实例，注意观察分析几何图形，结合图形理解和掌握几何知识，同时要注意学习如何画出整洁、美观的图形。
2．初学几何，要特别注意几何语句的读法和用法；能根据几何语句正确画出图形；能根据已知的几何图形用几何语言叙述出一些事实。
3．注意我们画出的射线、直线都是有限的部分，但必须想象它们是
向一方或两方无限延伸的。如下图中的直线与射线，它们实际上
是相交的。
4．在复习过程中要再次体会“抽象”思维方法、“比较” 思维方法，分类思想的形成和应用。
六、典型例题析解
例1．例1．下列结论中，错误的是（ ）
A.互补的两个角若相等，则这两个角都是直角；B.直线是平角；
C.射线AB和射线BA是同一条射线； D.一个角的余角一定比这个角小。
析解：选项（B）混淆了直线与平角的概念，所以（B）错误；对于（C），显然忽视了在表示射线时，端点的字母一定要写在最前面，所以射线AB和射线BA的端点不同，不是一条射线，故（C）错误；对于（D），可任意举一个反例，如40度的角的余角就大于40度，所以（D）也错误。综上，应选（A）.
例2．如图，能用两种方法表示同一个角的是( )
A.∠1和∠C B.∠2和∠C C.∠3和∠A D.∠4和∠B
析解：用一个大写字母表示角时，只适用只有一个角的时候，否则不可以用这种方法，∠1和∠2都不能用∠C来表示，因为端点C处有两个角，如用∠C来表示，不知是指∠1还是指∠2，同样∠A也不能表示∠3。只有∠4和∠B表示的都是，故应选D.
评注：表示角时，首先要“明确”，其次才是“简单”，如果表示不明确，反而会引起更多的“麻烦”。
例3．都是钝角，甲、乙、丙、丁计算的结果依次为，
其中确有正确的结果，那么算得结果正确者是 （ ）
（）甲 （）乙 （）丙 （）丁
析解：由钝角定义知，如果是钝角，则，于是有，
所以，即。从而可得出，又，所以应是， 即甲计算正确，故选（）。
例4．把下列角化成以度表示的角
（1）； （2）； （3）
析解： 要把角化成以度表示的，就需要利用度、分、秒之间的进制关系，按从秒到分、再从分到度的顺序进行。
（1）
（2）
（3）
评注：度、分、秒之间是六十进制而不是十进制，也不是一百进制；换算过程中应采取换秒为分，再换分为度的顺序；“以低位化高位”，用除法。
例5．已知线段，直线上有一点，且，是线段的中点，求线段的长。
析解：题中只是说明三点在同一直线上，无法判断点是在线段上，还是在线段的延长线上，所以要分两种情况来求的长。
（1）当点在线段上时，如下图：
是的中点， 又，，，
（2）当点在线段的延长线上时，如下图：
是的中点， 又，，，
的长度为或。
评注：当题中给出的条件，不能判断一定是哪种位置关系时，要对所有可能的位置关系都进行考虑。
例6．长沙至北京间往返的特别快车，中途要停靠7个站（相邻两个站之间的路程不同），问最多有几种票价？有多少种不同的车票？
析解：长沙和北京连同中途的7个车站，可以看做直线上的9个点，两个车站之间的票价是一样的，可以看做每两个点确定的一条线段，由于共有线段[9(9-1)]÷2=36条，所以最多有36种车票价。由于车站是往返运行，因此车票数是票价数的2倍，应有36×2=72种不同的车票。
例7．如果一个角和它余角的比是1：3，求这个角的补角等于多少？
析解：主要考察余角和补角定义的应用。解题的关键是用代数式表示出这个角的余角和补角，然后根据已知数量关系列出方程，求出这个角的度数，再求出它补角的度数。
设这个角为，则，得，，即这个角的补角等于。
评注：数学中利用方程转化思想，可将“形”的问题转化为“数”的问题研究，使问题更简捷。
例8．你的一位同学打电话向你询问从地如何才能到达地，你需要在电话中告
诉他如何走如图所示的路线，你会怎样将路线说清楚 请用文字写出。
析解：本题主要考查方位角的应用，表示方向时，要先在观测点画出方位图，然后测出角度表示出来。一般以正北正南为基准，向东或向西旋转的角度表示方向，注意表示时，要先写是北还是南，再写偏东或偏西，偏多少度。本题中可将路线表示为：先从A向东走60米到B,接着从B向南偏东走30米到C，再从C向东走80米到D，接着从D向南走15米到E,最后从E向东走10米即到．
例9．如图，已知OB、OC是内部的两条射线，ON平分，OM平分,若，
，求的大小（用含的式
子表示）
析解：解答本题的关键是找出的关系，为此可引进未知数，设，然后利用和角、差角及角平分线的关系解题。
因为平分，平分，所以
又因，
所以
又
所以 ， 解这个关于的方程得 即.
A
B
C
D
E
F
60米
30米
80米
15米
10米
北
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