湖南省永州日升高级中学2024-2025学年高一下学期3月份月考数学试题(含详解)

日升高级中学2025年高一3月份月考
数学试题
本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为2 B．的最小值为1
C．的最小值为2 D．的最小值为2
2．已知命题：，命题：，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．若函数g（x）＝log3（ax2+2x–1）有最大值1，则实数a的值等于（ ）
A． B． C． D．4
4．若不等式对恒成立，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5，先将函数的周期变为原来的2倍，再将所得的图像向右平移个单位，则所得图像的函数解析式为（ ）．
A． B．
C． D．
6．定义域为R的函数满足:对任意的，有，则有（ ）
A． B．
C． D．
7，已知是定义在上的偶函数，当时，图象如图所示，则下列关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．在中，，，其面积为，则等于（ ）
A． B． C． D．
多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分.
9．已知函数f（x）＝|sinx||cosx|，则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）的图象关于直线对称
B．f（x）的周期为
C．（π，0）是f（x）的一个对称中心
D．f（x）在区间上单调递增
10，已知a>0,b>0,且a+b=1,则 (　　)
A.a2+b2≥　　　　
C.log2a+log2b≥-2　　　　D.
11，下列关于函数的叙述正确的是（ ）
A．的定义域为，值域为
B．函数为偶函数
C．当时，有最小值2，但没有最大值
D．函数有1个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知函数在上是增函数，则的取值范围是______.
13．若，则使函数的定义域为R且图象关于原点成中心对称的所有的值为______．
14．函数的单调递增区间是____________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15,已知集合，集合，若，求的取值范围为（ ）
16，已知向量
(1)若，求证：;
(2)若向量共线，求.
17，如图，四棱锥，底面为矩形，面，、分别为、的中点．
（1）求证：面；
（2）若，，求三棱锥的体积．
18．（2020·全国高一课时练习）在四边形ABCD中，AD//BC，AB＝，∠A＝120°，BD＝3．
（1）求AD的长；
（2）若∠BCD＝105°，求四边形ABCD的面积．
19，水葫芦原产于巴西，年作为观赏植物引入中国. 现在南方一些水域水葫芦已泛滥成灾严重影响航道安全和水生动物生长. 某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过个月其覆盖面积为，经过个月其覆盖面积为. 现水葫芦覆盖面积（单位）与经过时间个月的关系有两个函数模型与可供选择.
（参考数据： ）
（Ⅰ）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
（Ⅱ）求原先投放的水葫芦的面积并求约经过几个月该水域中水葫芦面积是当初投放的倍.
日升高级中学2025年高一3月份月考
数学答案
1，A解：A. ，当且仅当时等号成立，所以该选项正确；
B. ，当且仅当时取等，因为，所以等号不成立，所以函数的最小值不是1，所以该选项错误；
C. ，当且仅当时取等，因为，所以等号不成立，所以函数的最小值不是2，所以该选项错误；
D. 当时，，所以，所以函数的最小值为2错误，所以该选项错误.
2，【答案】B
【解析】
因为命题：或 ，命题：，
所以是的必要不充分条件，
故选：B
3，【答案】C
【解析】
解：由题意得：
∵函数有最大值1
有最大值3，即，解得：
故选：C
4，【答案】A
【解析】
当时，原不等式即为，不合题意，
∴，故，解得.
故选：A.
5，【答案】B
【解析】
函数的周期为π，周期变为原来的2倍即为2π，
故得函数的图像, 再将所得的图象向右平移个单位，
得的图象．
故选：B.
6，【答案】A
【解析】
定义域在上的函数满足：对任意的，，有，
可得函数是定义域在上的增函数，
所以（1）（3）．
故选：．
7，【答案】A
【解析】
由题意，函数是定义在上的偶函数，可得，
又由当时，函数为单调递减函数，所以，
所以.
故选：A.
8，【答案】C
【解析】由题意知，，即，解得，
由余弦定理得，即，由于，故答案为C.
9，【答案】AB
【解析】
因为函数f（x）＝|sinx||cosx|＝|sinxcosx||sin2x|，
画出函数图象，如图所示；
由图可知，f（x）的对称轴是x，k∈Z；
所以x是f（x）图象的一条对称轴， A正确；
f（x）的最小正周期是，所以B正确；
f（x）是偶函数，没有对称中心，C错误；
由图可知，f（x）|sin2x|在区间上是单调减函数，D错误.
故选：AB.
10，答案　ABD　
11，【答案】BC
【解析】
对A，的定义域为，因为，所以，故值域为，所以A错误;
对B，因为，所以是偶函数，B正确;
对C,当时，，所以C正确;
对D，如图，与有两个交点，所以有2个零点，所以D错误.
故选：BC.
12，【答案】
【解析】
由，所以，又函数在上是增函数
所以，求得.
故答案为：.
13，【答案】1，3
【解析】
的定义域是，不符合题意；
的定义域是R，其是奇函数，图象关于原点成中心对称，符合题意；
的定义域是，不符合题意；
的定义域是R，且是奇函数，图象关于原点成中心对称，符合题意.
故答案为：1，3
14，【答案】
【解析】
，或，
是增函数，在上递减，在上递增，
所以的增区间是．
故答案为：．
15，【解析】解不等式得，要使，
当集合时，，解得；
当集合时，，解得.
综上：.
16，【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】（1）当时，
又
（2）因为向量共线，即
当，则与矛盾，故舍去；
当时，由得：
又
另解：由得所以
17，【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）如下图所示，取的中点，连接、，
因为四边形为矩形，则且，
、分别为、的中点，则且，
为的中点，所以，且，所以，四边形为平行四边形，
所以，，
平面，平面，平面；
（2）如下图所示，连接，取的中点，连接，
为的中点，所以，点、到平面的距离相等，
所以，，
、分别为、的中点，则且，
平面，平面，
的面积为，
因此，.
18，【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵在△ABD中，AB＝，∠A＝120°，BD＝3，
∴由余弦定理得cos 120°＝，解得AD＝ (AD＝－2舍去)，
∴AD的长为．
（2）∵AD∥BC，∠A＝120°，BD＝3，AB＝AD＝，∠BCD＝105°，
∴∠DBC＝30°，∠BDC＝45°，
∴由正弦定理得＝＝，
解得BC＝3－3，DC＝．
如图
过点A作AE⊥BD，交BD于点E，过点C作CF⊥BD，交BD于点F，
则AE＝AB＝，CF＝BC＝，
∴四边形ABCD的面积
S＝S△ABD＋S△BDC＝BD·(AE＋CF)＝×3×(＋)＝
19，【答案】（1）（2）原先投放的水葫芦的面积为8m2, 约经过17个月该水域中水葫芦面积是当初投放的倍.
【解析】（Ⅰ）的增长速度越来越快，的增长速度越来越慢.
则有， 解得 ，
（Ⅱ）当时，
该经过个月该水域中水葫芦面积是当初投放的倍. 有
答：原先投放的水葫芦的面积为8m2, 约经过17个月该水域中水葫芦面积是当初投放的倍.