吉林省敦化市实验中学校2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试卷（含答案）

敦化市实验中学校高一年级下学期第一次月考
数学试卷
试时间120分钟 总分150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在四边形中，若，则（ ）
A．四边形一定是等腰梯形 B．四边形一定是菱形
C．四边形一定是直角梯形 D．四边形一定是平行四边形
2．与向量反向的单位向量是（ ）
A． B． C． D．
3．为得到函数的图象，需把函数图象上的所有点（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
4．已知，且与的夹角为，则（ ）
A．1 B． C． D．2
5．已知，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
6．已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．在中，若内角的对边分别为，，则的形状为（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
8．如图，在中，，，，则（ ）

A．2 B． C． D．4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列说法正确的是（ ）
A．零向量没有大小，没有方向
B．已知非零平面向量，若是平面所有向量的一组基底，且不是基底，则实数
C．已知非零平面向量，若存在非零向量使得，则
D．平面上三点的坐标分别为若点D与A，B，C三点能构成平行四边形的四个顶点，则D的坐标可以是
10．在中，角所对的边分别为，下列说法正确的是（ ）
A．在锐角中，不等式恒成立
B．若，则
C．若，则
D．若，则是钝角三角形
11．如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中，，且点P在以AD中点O为圆心，OA为半径的半圆上，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知向量若______.
13．函数的部分图象如图所示，则_______.
14．如图，在中，边是的三等分点，为中点，且，则_______.

解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
已知，是平面内一对不共线的向量，且，，．
(1)若与共线，求实数的值；
(2)若，求的值．
16．（本小题满分15分）
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)若.（i）求的值：（ii）求的值.
17．（本小题满分15分）
如图所示，在中，已知,,点在上，且，点是的中点，连接相交于点.
(1)求线段的长.
(2)求的余弦值.
18．（本小题满分17分）
若已知向量，，设函数.
(1)若且，求角的大小；
(2)已知，均为锐角，，，求的值.
19．（本小题满分17分）
如图，圆C的半径为3，其中A，B为圆C上两点.
(1)若，当k为何值时，与垂直？
(2)若G为的重心，直线l过点G交边AB于点P，交边AC于点Q，且，求 最小值.
(3)若的最小值为1，求的值.
敦化市实验中学校高一年级下学期第一次月考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
D A D C B B B C BD ACD BCD
11．BCD
【详解】对于B，因为，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，所以在边长为3的等边三角形ABC中，，
则，故B正确；
对于C，如图，以点为原点建立平面直角坐标系，
则，因为点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，设，
则，
所以，
因为，所以，所以，
所以，即，故C正确；
对于A，因为，
所以，
即，
所以，，
所以，，
则，
因为，所以，所以，
所以，即，故A错误；
对于D，由，因为，所以当时，取得最大值，故D正确.故选：BCD.
12. 13. 14.1
15题【详解】（1）解：因为，，
所以，.
因为与共线，所以存在唯一的实数，使得，
，即，解得.
（2）解：因为，，，且，
所以，
所以，解得，，
所以.
16题【详解】（1）由正弦定理及，
得
（2）（i）由余弦定理有，
（ii）因为，所以，
从而，
则，
17题【详解】（1）
=
(2)由（1）可知，
18题【详解】（1），，
，，，
，，，，；
（2），
，，，，
，，，
，，，
.
19题【详解】（1）因为，
所以由余弦定理得，即，所以.若与垂直，则，
所以，所以，
解得，即时，与垂直；
（2）因为为的重心，所以，
又因为，所以，
由于三点共线，所以存在实数使得，所以
化简为，所以，所以.
显然，则，
当且仅当时，即时，取最值.则的最小值为.
（3）设与的夹角为，在中，，
所以，
又
，
所以当时，有最小值，所以，解得，
即取最小值1时，．