江苏省常州市第二中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省常州二中高一（下）月考数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，则点B的坐标为( )
A. B. C. D.
2.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
3.已知向量，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知，，在上的投影向量为，则与的夹角为( )
A. B. C. 或 D.
5.设，，，则有( )
A. B. C. D.
6.已知，则的值是( )
A. B. C. D.
7.已知圆O的半径为13，PQ和MN是圆O的两条动弦，若，，则的最大值是( )
A. 17
B. 20
C. 34
D. 48
8.已知函数在处取得最大值，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列化简正确的是( )
A. B.
C. D.
10.下列关于平面向量的说法中正确的是( )
A. 若且，则
B. 在中，若，则点D为BC边上的中点
C. 已知，均为非零向量，若，则
D. 在中，D为BC的中点，若，则是在上的投影向量
11.如图，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点A，B是“六芒星”如图的两个顶点，动点P在“六芒星”上内部以及边界，若，则的取值可能是( )
A. B. 1 C. 5 D. 9
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，且，则的值是______.
13.平行四边形ABCD中，F是CD边中点，，点M在线段不包括端点上，若，则的最小值为 .
14.已知函数，若在区间内没有零点，的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分
已知，
分别求，的值；
若角终边上一点，求的值．
16.本小题15分
如图，在中，D为BC的四等分点，且靠近点B，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设，
试用，表示；
证明：B，E，F三点共线．
17.本小题15分
如图，在菱形ABCD中，，，E，F分别是边AB，BC上的点，且，，连接ED、AF，交点为
设，求t的值；
求的余弦值.
18.本小题15分
如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN
若点A为弧MN的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；
当A在何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？
19.本小题19分
已知向量，，、、是坐标平面上的三点，使得，
若，的坐标为，求；
若，，求的最大值；
若存在使得当时，为等边三角形，求的所有可能值.
答案和解析
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】CD
10.【答案】BCD
11.【答案】BC
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：，，，
，
若角终边上一点，则，，

16.【答案】解：中，，，
，
，
；
证明：，
，
，
与共线，且直线BF与直线BE有公共点B，
，E，F三点共线．
17.【答案】解：，，
，
，G，D三点共线，
存在，使得，
，解得；
在中，，，，由余弦定理得，，，
在中，，，，由余弦定理得，，，
，

18.【答案】解：如图，作于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，
，
，，
，
，
设，
则，，，
，
，
，
即时，，此时A在弧MN的四等分点处．
19.【答案】解：若，则，
则，
所以；
因为，不妨设，
由向量，
得
所以
，
若，则，，
则，
所以，当时，取最大值12；
，
，
所以，
，
因为为等边三角形，
所以，
，，
所以，
，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即，且
所以或，
当时，由可得或，
当时，由可得或，
所以的所有可能值为、、