江苏省海门中学2024-2025学年高一下学期3月质量调研测试数学试题（含图片版答案）

2024～2025学年第二学期3月质量调研测试
高一数学
本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知向量＝(2，3)，＝(x，5)，若⊥，则x＝( )
A. B.1 C. D.－1
2．已知α∈(0，π)，tan α＝，则cos2α＝( )
A. B. C. D.
3．已知向量＝(x＋1，x)，＝(x，2)，则( )
A.“x＝－3”是“⊥”的必要条件 B.“x＝－3”是“//”的必要条件
C.“x＝0”是“⊥”的充分条件 D.“x＝－1＋”是“//”的充分条件
4．设D为 ABC所在平面内一点，，则
A. B.
C. D.
5．已知a终边与单位圆的交点P(x，)，且a是第二象限角，则的值等于 ( )
A. B.－ C.3 D.－3
6．在 ABC中，若sin A cos(－B)＝1－sin(－A)cos B，则这个三角形是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
7．为了得到y＝sin2x＋cos2x的图象，只要把y＝cos2x的图象上所有的点 ( ).
A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度
8．我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体II·黑暗森林》中的“水滴”是三体文明使用强互作用力(SIM)材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称之为“水滴”小王是《三体》的忠实读者，他利用几何作图软件画出了他心目中的“水滴”；由线段AB，AC和优弧BC围成，AB，AC与圆弧分别切于点B、C，直线BC与水平方向垂直(如图)，已知“水滴”的水平宽度与竖直高度之比为9：5，则cos∠BAC＝( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请把答案填涂在答题卡相应的位置上.
9．对于任意的非零平面向量，，，下列结论正确的是 ( )
A.·＝· B.若·＝·，则＝
C.(＋)·＝·＋· D.·(·)＝(·)·
10．已知α，β∈(0，)，α＋β＞，则下列不等关系一定正确的是 ( )
A.sin(α＋β)＞sin α＋sin β B.cos(α＋β)＜cos α＋cos β
C.sin α＋sin β＞1 D.cos α＋cos β＜
11．如图①，蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底(由三个相同的菱形构成)，巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜，如图②是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，它的边长为1，P是 DEF内部(包括边界)的动点，则 ( )
A. B.
C.若P为线段EF的中点，则在上的投影向量为－
D.的最大值为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，请把答案填写在答题卡相应位置上．
12．已知＝(3，4)，＝(4，－2)，若2－与k＋2为共线向量，则实数k＝ .
13．已知sin(α－)＋cos α＝，则cos(2α＋)＝ .
14．如图，在 ABC中，点P在BC上，且满足，过点P的直线与AB，AC所在直线分别交于点M，N，若，m＞0，n＞0，则m＋2n的最小值为 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．(本小题满分13分)
已知||＝1，||＝2，与的夹角是60°.
(1)求－，|＋|； (2)求＋和的夹角的余弦值．
16．(本小题满分15分)
在①tan α＝4，②cos 2α＝－，③中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题.
已知0＜α＜，且 .
(1)求sin(α－)的值； (2)若0＜β＜α＜，sin(α－β)＝，求β.
说明：若选择多个条件解答，则按第一个选择给分.
17．(本小题满分15分)
已知向量＝(2cos x，1)，＝(－cos(x＋),),x∈[0,].
(1)若//，求x的值；
(2)记f(x)＝·，若对于任意x1，x2∈[0，]，|f(x1)－f(x2)|，λ恒成立，求实数λ的最小值．
18．(本小题满分17分)
已知O是线段AB外一点，若
(1)设点G是 ABC的重心，证明：
(2)设点A1、A2是线段AB的三等分点， OAA1、 OA1A2及 OA2B的重心依次为G1、G2、G3.
①试用向量、表示；
②依据①的推理，设点A1、A2、…、An－1线段AB的n等分点，G1、G2、…、Gn、 OAA1、 OA1A2、…、 OAn－1B的重心。
请你写出：及 (用、表示不必证明)；
③若.
19．(本小题满分17分)
对于常数集合M＝{θ1，θ2，…，θn}和变量θ，定义
μ＝为θ相对集合M的“n元余弦方差”。
(1)若集合M＝{,}，θ＝0，求θ相对集合M的二元余弦方差。
(2)当集合M＝{－，0，}，θ∈R时，求θ相对集合M的三元的余弦方差。
(3)在直角坐标系中，已知A(－2，3)，B(2，6)，M＝{－}，μ为θ相对集合M的一元余弦方差，函数h(θ)＝4μ，且φ(x)＝h()－2，请问在y＝φ(x)的图像上，是否存在一点P，使得，若存在，求出点P的指标；若不存在，说明理由。