中考数学几何模型决胜88招模型44 勾股定理之弦图模型（含解析）

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模型44 勾股定理之弦图模型
跟踪练习
1. 如图, 点 E, F, P, Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且AF=BP=CQ=DE, 则下列结论不一定正确的是 ( )
A.∠AFP=∠BPQ
B. EF∥QP
C.四边形 EFPQ是正方形
D.四边形 EFPQ的面积是四边形ABCD 面积的一半
2. 如图，我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，则直角三角形较短的直角边a与较长的直角边b的比值是( )
A. B. C. D.
3. 如图, 直线a∥b∥c, 直线a与直线b之间的距离为2， 直线b与直线c之间的距离为4.正方形ABCD 的对角线AC与 BD相交于点O，若顶点A，D，C分别在直线a, b, c上, 则△AOD的面积为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
4. 如图是“弦图”的示意图， “弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就.它由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，每个直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c.请你运用此图形证明勾股定理：
1. D 解析: ∵四边形ABCD是正方形,∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°, AB=BC=CD=AD, ∵ AF=BP=CQ=DE, ∴ DF=CE=BQ=AP, ∴ △APF ≌ △DFE ≌△CEQ ≌ △BQP(SAS) , ∴ FP=EF=QE=PQ, ∠AFP=∠BPQ, 故A选项正确,不符合题意; ∵FP=EF=QE=PQ, ∴四边形 EFPQ是菱形, ∴ EF ∥ QP, 故B 选项正确, 不符合题意; ∵ ∠AFP=∠BPQ, ∠AFP+∠APF=90°, ∴∠APF+∠BPQ=90°, ∴∠FPQ=90°, ∴ 四 边 形EFPQ是正方形，故C选项正确，不符合题意； ∵四边形PQEF的面积： 四边形 ABCD的面积=AB , 若四边形EFPQ的面积是四边形ABCD面积的一半， 则 即 若 则四边形 EFPQ 的面积不是四边形ABCD面积的一半， 故D选项不一定正确，符合题意.故选D.
2. B 解析：设大正方形的边长为c， ∵大正方形的面积是 13， ∵一个直角三角形的面积是 c +2ab=13+2×6=13+12=25, ∴a+b=5.
∵小正方形的面积为( 即b-a=1,
∴ b=3, a=2, 故选B.
3. A 解析: 如图,过 D 作DE⊥a于E,DF⊥c于F,∵四边形ABCD 是正方形,∴ DA=DC,∵ ∠ADE+∠CDF=90°,∠CDF+∠DCF=90°,∴ ∠ADE=∠DCF,在△DAE 与△CDF 中,∠AED=∠DFC,∠ADE=∠DCF,AD=DC,∴△DAE ≌△CDF(AAS), ∴ DE=CF=2, ∴ CD = 的面积为20÷4=5.故选 A.
4. 解析：证明： 由题图可知：
所以