中考数学几何模型决胜88招模型38 二倍角模型（含解析）

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模型38 二倍角模型
跟踪练习
1. 问题:已知△ABC中,∠BAC=2∠ACB,点 D 是△ABC内的一点, 且AD=CD, BD=BA. 探究∠DBC与∠ABC度数的比值.
请你完成下列探究过程：
先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.
(1) 当∠BAC=90°时, 根据问题中的条件补全下图；
观察图形，AB与AC的数量关系为 ; 当推出∠DAC=15°时,可进一步推出∠DBC的度数为 ; 可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为 ；
(2) 当∠BAC<90°时, 请你画出图形, 探究∠DBC与∠ABC度数的比值是否与(1)中的结论相同，写出你的猜想并加以证明.
2. 如图, 二次函数y=k(x-1) +2的图象与一次函数y=kx-k+2的图象交于A，B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x轴，y轴交于点C，D, 其中k<0.
(1)求A，B两点的横坐标.
(2)二次函数图象的对称轴与x轴交于点 E，是否存在实数k，使得∠ODC=2∠BEC. 若存在, 求出k的值；若不存在，请说明理由.
3. 如图，抛物线 交x轴于A(1,0),B两点,与y轴交于点C(0,-3).
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图,连接AC,点 P 在抛物线上, 且满足∠PAB=2∠ACO, 求点P的坐标.
4. 如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点 A，与y轴交于点 B，抛物线 经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点 D 为直线AB上方抛物线上的一个动点， 当∠ABD=2∠BAC时, 求点 D 的坐标.
1.解析： (1)补全图形如下图：
相等 15° 提示：
①当∠BAC=90°时, ∵∠BAC=2∠ACB,∴ ∠ACB=45°.
在△ABC 中,. 45°, ∴∠ACB=∠ABC,
∴AB=AC(等角对等边).
②当∠DAC=15°时,.
∵ BD=BA, ∴ ∠BDA=∠BAD=75°,
∴ ∠DBC的度数为15°.
③∵∠DBC=15°, ∠ABC=45°,
∴∠DBC:∠ABC=1:3,
∴∠DBC与∠ABC度数的比值为
(2) 猜想: ∠DBC与∠ABC度数的比值与(1)中结论相同.
证明: 如图, 作∠KCA=∠BAC, 过点B作BK∥AC交CK于点K, 连接DK.
易知四边形ABKC是等腰梯形，
∴ CK=AB.
∵ DC=DA, ∴∠DCA=∠DAC.
∵∠KCA=∠BAC, ∴∠KCD=∠3,
∴△KCD≌△BAD(SAS),
∴ ∠2=∠4, KD=BD,
∴ KD=BD=BA=KC.
∵BK∥AC, ∴∠ACB=∠6.
∵ ∠BAC=2∠ACB, 且∠KCA=∠BAC,
∴ ∠5=∠ACB, ∴∠5=∠6, ∴ KC=KB,
∴ KD=BD=KB, ∴∠KBD=60°.
∴ ∠BAC=2∠ACB=120°-2∠1.
∵∠6+∠1+∠2+∠BAC=180°,
∴ ∠2=2∠1,
∴∠DBC与∠ABC度数的比值为
2. 解析: (1)令 解得x =1, x =2,
故点A的横坐标为1，点B的横坐标为2.
(2)存在，k的值为 或 如图，在D点上方取一点 M，使得DM=DC, 连接MC.易得 ∴∠OMC=∠BEC.
∵y= kx-k+2的图象分别与x轴,y轴交于点C,D,
∴OM=OD+DM=OD+DC=
由(1)知A点坐标为(1, 2), B点坐标为(2,k+2).易知E点坐标为(1, 0),
|k+2|,
又∵∠OMC=∠BEC,∴tan∠OMC=tan∠BEC,即
当--2当k≤-2时, 则
解得 (舍去).
综上所述，k的值为 或
3. 解析: (1)将点A(1,0), C(0,-3)代入
得 解得
故抛物线的解析式为
(2)如图，作点A关于y轴的对称点A'，连接A'C, 过点A作AD⊥A'C于点 D,则∠ACA'=2∠ACO.
∵点A(1, 0), 点C(0, - 3),
∴点A'(-1, 0) ,
∴ AA'=2, OC=3, A'O=1,
在 Rt△AA'D 中,
又∵ ∠PAB=2∠ACO, ∠ACA'=2∠ACO,
∴∠PAB=∠ACA', ∴tan∠PAB=
将角的正切值转化为直线的斜率， ∴分两种情况：
当点P在x轴下方时，即如图点P 处， ∴直线PA的解析式为 由
解得
故点 P的坐标为
当点P在x轴上方时，即如图点P 处， ∴直线PA的解析式为 由 解得
故点P的坐标为
综上，点P的坐标为 3
4. 解析: (1) ∵直线 与x轴交于点A，与y轴交于B， ∴点A的坐标为(4, 0), 点B的坐标为(0, 2),将A，B两点的坐标代入 c, 得 解得 故抛物线的解析式为
(2)如图，过点B作x轴的平行线，作直线 BA关于该平行线对称的直线， 与抛物线的交点为D点.
∴直线 BD的解析式为
由
解得
故点D的坐标为(2, 3).