2024-2025学年河南省南阳市六校高一下学期4月期中考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年河南省南阳市六校高一下学期4月期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.若角满足，则角为( )
A. 第一或第四象限角 B. 第二或第三象限角 C. 第三或第四象限角 D. 第一或第三象限角
3.在中，已知，则( )
A. B. C. 或 D. 或
4.已知向量，不共线，，且与共线，则( )
A. B. C. D.
5.已知平面向量满足，，若向量与的夹角为，则( )
A. B. C. D.
6.若函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，且为奇函数，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，，且与交于点，设，则( )
A. B. C. D.
8.已知正三角形的边长为，点，都在边上，且，，为线段上一点，为线段的中点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若非零向量满足，，则
B.
C. 若为单位向量，则
D. 向量可以作为平面内的一个基底
10.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C.
D. 若将的图象向左平移个单位长度可以得到的图象，则为奇函数
11.已知函数，则( )
A. 的图象关于直线对称 B. 是周期函数
C. 对任意的恒成立 D. 在上单调递减
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，折扇的扇面可看作从一个圆面中前下扇形制作而成如图，扇面的两条弧长分别为，的长度为，则扇环的面积为 ．
13.南水北调中线工程源头位于丹江口水库，重点解决河南，河北，北京，天津的水资源短缺问题．如图所示，，，为山的两侧处于同一水平线上的三点，在山顶处测得点，，的俯角分别为，，，计划沿直线开通引水隧洞，现已测得，则隧洞的长度为 ．
参考数据：．
14.已知在平行四边形中，，过点作于点，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，以原点为顶点，轴非负半轴为始边作角与，它们的终边分别与以为圆心的单位圆相交于点，，且点的坐标为单位圆与轴的非负半轴交于点，的面积是的面积的倍．
求的值；
求的值．
16.本小题分
已知向量，，且在方向上的投影数量为．
求；
若与的夹角是锐角，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知函数的图象向左平移个单位长度后与原来的图象重合．
若，求的值域；
求函数的值域．
18.本小题分
已知函数的部分图象如图所示．
求的解析式；
求在区间上的单调性；
若函数在区间上恰有个零点，求的取值范围．
19.本小题分
在中，已知角，，的对边分别为，，，为边上一点．
若，，求；
若，平分，，求的取值范围；
若于点，且，求的最大值．
参考答案
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15.解：因为在单位圆上，且位于第一象限，
所以且，解得，所以，
所以，；
因为的面积是的面积的倍，
所以，
又，所以，即，又，
解得或舍去；
所以．

16.解：因为，，所以，，
又在方向上的投影数量为，
所以，解得；
由可知，
所以，，
因为与的夹角是锐角，
所以且与不共线；
当时，即，解得；
当与共线时，，解得；
综上可得实数的取值范围为．

17.解：因为函数的图象向左平移个单位长度后与原来的图象重合，
所以，所以，又，所以，
所以，且其最小正周期，
所以在上的值域与的值域相同，
由，则，所以，
所以当时的值域为．
因为，
又，所以，
所以，即函数的值域为．

18.解：由图象可知，解得：
又由于，所以，
由图象及五点法作图可知：，所以，
因为，所以，所以．
由知，，
因为，所以，
当时，即时，单调递增，
当时，即时，单调递减，
所以的单调递增区间为，的单调递减区间为．
，函数在区间上恰有个零点，
等价于在区间上恰有个零点．
时，，令，则图象的第二个零点为，即，
第三个零点为，即，
所以．

19.解：因为，
由余弦定理可得，整理得，
又，所以，则，
所以，所以，
由余弦定理，
又，所以；
因为，即，
所以，
由余弦定理，
所以，
所以，
因为，且，所以，当且仅当时取等号，则
所以，令，则
所以，
因为在上单调递增，
当时，当时，
所以，即的取值范围为．
设，由，所以，
又，
即，
又，所以，
所以，
如图在中过点作的垂线且使，则，
因为，所以，
即，所以，
所以的最大值为．

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